Rechenaufgaben

[kad]

Eine quadratische Formation von Armeekadetten, 20 Meter lang auf der Seite, marschiert in einem konstanten Tempo vorwärts. Das Maskottchen der Kompanie, ein kleiner Terrier, beginnt in der Mitte der hintersten Reihe (Position A), trabt in einer geraden Linie vorwärts zur Mitte der vordersten Reihe und trabt dann wieder in einer geraden Linie zurück zur Mitte der hintersten Reihe. In dem Moment, in dem er zu Position A zurückkehrt, haben die Kadetten genau 20 Meter zurückgelegt. Angenommen, der Hund trabt mit konstanter Geschwindigkeit und verliert keine Zeit beim Wenden, wie viele Meter legt er dann zurück?

Spoiler

Da die hintere Reihe nach Ablauf der Zeit genau dort ist, wo am Anfang die erste war,
legen die Soldaten 20 Meter zurück während der Hund 20 + 2x Meter zurücklegt.
Diese x Meter ist er erst weiter als die Soldaten gelaufen um zur 1. Reihe aufzuschließen und muss dann diese x Meter wieder zurücklaufen.
Die Geschwindigkeit des Hundes ist damit um den Faktor f=(20+2x)/20 höher als die der Soldaten.
Damit ist er insgesamt wegen der Proportionalität von Geschwindigkeit und Weg f*20 Meter gelaufen.
Da x die Strecke ist, die die Soldaten hinter sich bringen bis der Hund nach (20+x) in der vorderen Reihe ist
ist (20-x) die Strecke die die Soldaten noch zurücklegen müssen, während der Hund x zurückläuft.
Da sowohl Soldaten wie Hund diese Teilabschnitte in der jeweils gleichen Zeit sowie konstanten Geschwindigkeiten zurücklegen,
ergibt sich folgende Gleichungen für f:
f=(20+x)/x
f=x/(20-x)
-> (20+x)/x=x/(20-x)
-> (20+x)*(20-x)=x²
-> 400 =2x²
-> x= 14,14
-> Weg des Hundes =20+2*14,14 bzw. f*20 = 2,414*20 Meter = 48,28 Meter

(f=1+1/sqrt(2))

Auch das stimmt. Bravo!
Schwieriger ist folgende Variation

Spoiler

Um das schwierigere Rätsel zu lösen hilft vielleicht der alternative Lösungsweg zum einfacheren Rätsel:

1 sei die Länge des Quadrats der Kadetten und auch die Zeit, die sie brauchen, um diese Länge zu marschieren. Ihre Geschwindigkeit sei ebenfalls 1. x sei die Gesamtstrecke, die der Hund zurückgelegt hat, sowie seine Geschwindigkeit. Auf dem Hinweg ist die Geschwindigkeit des Hundes relativ zu den Kadetten x - 1. Auf dem Rückweg ist seine Geschwindigkeit relativ zu den Kadetten x + 1. Jede Fahrt ist eine Strecke von 1 (relativ zu den Kadetten), und die beiden Fahrten werden in einer Zeiteinheit abgeschlossen, so dass die folgende Gleichung geschrieben werden kann:

1/(x-1) + 1/(x+1) = 1

Das ergibt x^2 - 2x - 1 = 0
mit Lösung 1+sqrt(2) (Wie bei dir, modulo dem Schreibfehler bei f).

Jetzt noch mit 20 m Multiplizieren.

Spoiler

Ja, das mit er Normierung hab ich beim ersten Rätsel schon gesehen.

zeitgleiche Wege:
Katdetten : Maskottchen
a) y : d= sqrt(0,5+y²), da das Maskottchen ja nicht stur nach rechts, sondern etwas Diagonal laufen muss.
b) x: x+1 (wie im ersten Beispiel gerade nach vorne zur 1. Reihe)
c) 2y : 2d (von rechts vorne nach links vorne)
e) z : 1-z (von links vorne nach links hinten, wobei die Kadetten dem Maskotchen entgegenkommen)
f) y : d (von links hinten in die Mitte)

Die Gesamtstrecke der Kadetten ist damit 1=4y+x+z und somit z=1-4y-x
Die Gesamtstrecke des Maskottchens: 4d+(1+x)+(1-z)=4d+x+2-1+4y+x=4d+1+2x+4y

Analog zum ersten Beispiel hätten wir dann:
(1-z)/z=(1+x)/x
oder auch:
(4y+x)/(1-4y-x)=(1+x)/x

...
tja.

Spoiler

Entlang der alternativen Lösung

1 sei die Länge des Quadrats der Kadetten und auch die Zeit, die sie brauchen, um diese Länge zu marschieren. Ihre Geschwindigkeit sei ebenfalls 1. x sei die Gesamtstrecke, die der Hund zurückgelegt hat, sowie seine Geschwindigkeit. Auf dem Hinweg ist die Geschwindigkeit des Hundes relativ zu den Kadetten x - 1. Auf dem Rückweg ist seine Geschwindigkeit relativ zu den Kadetten x + 1. Die Geschwindigkeit auf den Querfahrten, relativ zu den Kadetten, ist sqrt(x^2-1). Der Kreislauf wird in einer Zeiteinheit abgeschlossen.
Jetzt müssen wir nur noch die Gleichung

1/(x-1) + 1/(x+1) = 1

entsprechend anpassen.

Lösung

Spoiler

Wie zuvor sei 1 die Seite des Quadrats und auch die Zeit, die die Kadetten brauchen, um die Strecke zu gehen. Ihre Geschwindigkeit ist dann ebenfalls 1. x sei die Strecke, die der Hund zurücklegt, und auch seine Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit des Hundes in Bezug auf die Geschwindigkeit des Platzes ist x - 1 auf seiner Vorwärtsfahrt, sqrt(x^2-1) auf jeder seiner beiden Querfahrten und x + 1 auf seiner Rückwärtsfahrt. Der Kreislauf wird in einer Zeiteinheit geschlossen, so dass wir diese Gleichung aufstellen können:
1/(x-1) + 2/sqrt(x^2-1) + 1/(x+1) = 1
Dies lässt sich als quartische Gleichung ausdrücken: x^4 - 4x^3 -2x^2 + 4x + 5 =0.
Nur eine positive reelle Wurzel kommt in Frage: 4,18112+. Wir multiplizieren dies mit 20, um die gewünschte Antwort zu erhalten: 83.62+ Meter.

[kad]

Ein Klassiker

Eine Gruppe von Flugzeugen befindet sich auf einer kleinen Insel. Der Tank jedes Flugzeugs fasst gerade genug Treibstoff, um es um die halbe Welt zu bringen. Während des Fluges kann eine beliebige Menge Treibstoff vom Tank des einen Flugzeugs in den Tank des anderen umgefüllt werden. Die einzige Quelle für Treibstoff ist auf der Insel, und für die Zwecke des Problems wird angenommen, dass weder in der Luft noch am Boden Zeit beim Auftanken verloren geht. Welches ist die kleinste Anzahl von Flugzeugen, die den Flug eines Flugzeugs um die Welt auf einem Großkreis gewährleistet, unter der Annahme, dass die Flugzeuge die gleiche konstante Geschwindigkeit und den gleichen Treibstoffverbrauch haben und dass alle Flugzeuge sicher zu ihrer Basis auf der Insel zurückkehren?

[giffi marauder]

Ein Klassiker

Eine Gruppe von Flugzeugen befindet sich auf einer kleinen Insel. Der Tank jedes Flugzeugs fasst gerade genug Treibstoff, um es um die halbe Welt zu bringen. Während des Fluges kann eine beliebige Menge Treibstoff vom Tank des einen Flugzeugs in den Tank des anderen umgefüllt werden. Die einzige Quelle für Treibstoff ist auf der Insel, und für die Zwecke des Problems wird angenommen, dass weder in der Luft noch am Boden Zeit beim Auftanken verloren geht. Welches ist die kleinste Anzahl von Flugzeugen, die den Flug eines Flugzeugs um die Welt auf einem Großkreis gewährleistet, unter der Annahme, dass die Flugzeuge die gleiche konstante Geschwindigkeit und den gleichen Treibstoffverbrauch haben und dass alle Flugzeuge sicher zu ihrer Basis auf der Insel zurückkehren?

Spoiler

Ich komm auf die Schnelle mal auf 6 Flüge.
Wir teilen den Großkreis in zwei Teile und diese wiederum in 3, als insgesamt 6 Positionen und Teilstrecken.
Pro Teilstrecke braucht jedes Flugzeut 1/3 Tankinhalt.

F1 und F2 fliegen gemeinsam von 0 nach 1 und haben beide noch 2/3 vom Sprit.
F2 gibt davon die Hälfte an F1 und fliegt zurück.
F1 hat damit an Position 1 3/3 und kommt damit bis nach 4.

2 Zeiteinheiten nach F1 und F2 starten die Maschinen F3 und F4 in die Gegenrichtung.
Bei Postion 5 betankt F4 die F3 mit 1/3 voll und fliegt zurück nach 6.
Die nun wieder volle F3 fliegt nach 4 und trifft dort zeitgleich mit F1 ein.
Die F4 betankt mit der Hälfte ihres Sprits von 2/3 die F1 und beide fliegen mit 1/3 Sprit nach 5.
Dort treffen sie mit F5 zusammen, die eine Zeitheit vorher losflog und jetzt noch 2/3 Tank hat.

Hier wird brüderlich geteilt, damit haben F1, F3 und F5 jeweils 2/9 im Tank,
und schaffen damit 2/3 der restliche Strecke von 5 nach 6.

Hier kommt dann F6 ins Spiel.
Die braucht bis zum Treffpunkt 1/9 und für zurück auch 1/9 und kann damit noch 7/9
an die anderen beiden abgeben.

Da die beiden somit mit 2,5/9 ins Ziel kommen, gehts ev. auch mit einem Flug weniger.

[/Spoiler

[kad]

Ein Klassiker

Eine Gruppe von Flugzeugen befindet sich auf einer kleinen Insel. Der Tank jedes Flugzeugs fasst gerade genug Treibstoff, um es um die halbe Welt zu bringen. Während des Fluges kann eine beliebige Menge Treibstoff vom Tank des einen Flugzeugs in den Tank des anderen umgefüllt werden. Die einzige Quelle für Treibstoff ist auf der Insel, und für die Zwecke des Problems wird angenommen, dass weder in der Luft noch am Boden Zeit beim Auftanken verloren geht. Welches ist die kleinste Anzahl von Flugzeugen, die den Flug eines Flugzeugs um die Welt auf einem Großkreis gewährleistet, unter der Annahme, dass die Flugzeuge die gleiche konstante Geschwindigkeit und den gleichen Treibstoffverbrauch haben und dass alle Flugzeuge sicher zu ihrer Basis auf der Insel zurückkehren?

Spoiler

Ich komm auf die Schnelle mal auf 6 Flüge.
Wir teilen den Großkreis in zwei Teile und diese wiederum in 3, als insgesamt 6 Positionen und Teilstrecken.
Pro Teilstrecke braucht jedes Flugzeut 1/3 Tankinhalt.

F1 und F2 fliegen gemeinsam von 0 nach 1 und haben beide noch 2/3 vom Sprit.
F2 gibt davon die Hälfte an F1 und fliegt zurück.
F1 hat damit an Position 1 3/3 und kommt damit bis nach 4.

2 Zeiteinheiten nach F1 und F2 starten die Maschinen F3 und F4 in die Gegenrichtung.
Bei Postion 5 betankt F4 die F3 mit 1/3 voll und fliegt zurück nach 6.
Die nun wieder volle F3 fliegt nach 4 und trifft dort zeitgleich mit F1 ein.
Die F4 betankt mit der Hälfte ihres Sprits von 2/3 die F1 und beide fliegen mit 1/3 Sprit nach 5.
Dort treffen sie mit F5 zusammen, die eine Zeitheit vorher losflog und jetzt noch 2/3 Tank hat.

Hier wird brüderlich geteilt, damit haben F1, F3 und F5 jeweils 2/9 im Tank,
und schaffen damit 2/3 der restliche Strecke von 5 nach 6.

Hier kommt dann F6 ins Spiel.
Die braucht bis zum Treffpunkt 1/9 und für zurück auch 1/9 und kann damit noch 7/9
an die anderen beiden abgeben.

Da die beiden somit mit 2,5/9 ins Ziel kommen, gehts ev. auch mit einem Flug weniger.

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Spoiler

Falls ich deine Lösung richtig verstehe, brauchst du 6 Flugzeuge für die Aufgabe.
Es geht mit weniger.

[giffi marauder]

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Eine Gruppe von Flugzeugen befindet sich auf einer kleinen Insel. Der Tank jedes Flugzeugs fasst gerade genug Treibstoff, um es um die halbe Welt zu bringen. Während des Fluges kann eine beliebige Menge Treibstoff vom Tank des einen Flugzeugs in den Tank des anderen umgefüllt werden. Die einzige Quelle für Treibstoff ist auf der Insel, und für die Zwecke des Problems wird angenommen, dass weder in der Luft noch am Boden Zeit beim Auftanken verloren geht. Welches ist die kleinste Anzahl von Flugzeugen, die den Flug eines Flugzeugs um die Welt auf einem Großkreis gewährleistet, unter der Annahme, dass die Flugzeuge die gleiche konstante Geschwindigkeit und den gleichen Treibstoffverbrauch haben und dass alle Flugzeuge sicher zu ihrer Basis auf der Insel zurückkehren?

Spoiler

Ich komm auf die Schnelle mal auf 6 Flüge.
Wir teilen den Großkreis in zwei Teile und diese wiederum in 3, als insgesamt 6 Positionen und Teilstrecken.
Pro Teilstrecke braucht jedes Flugzeut 1/3 Tankinhalt.

F1 und F2 fliegen gemeinsam von 0 nach 1 und haben beide noch 2/3 vom Sprit.
F2 gibt davon die Hälfte an F1 und fliegt zurück.
F1 hat damit an Position 1 3/3 und kommt damit bis nach 4.

2 Zeiteinheiten nach F1 und F2 starten die Maschinen F3 und F4 in die Gegenrichtung.
Bei Postion 5 betankt F4 die F3 mit 1/3 voll und fliegt zurück nach 6.
Die nun wieder volle F3 fliegt nach 4 und trifft dort zeitgleich mit F1 ein.
Die F4 betankt mit der Hälfte ihres Sprits von 2/3 die F1 und beide fliegen mit 1/3 Sprit nach 5.
Dort treffen sie mit F5 zusammen, die eine Zeitheit vorher losflog und jetzt noch 2/3 Tank hat.

Hier wird brüderlich geteilt, damit haben F1, F3 und F5 jeweils 2/9 im Tank,
und schaffen damit 2/3 der restliche Strecke von 5 nach 6.

Hier kommt dann F6 ins Spiel.
Die braucht bis zum Treffpunkt 1/9 und für zurück auch 1/9 und kann damit noch 7/9
an die anderen beiden abgeben.

Da die beiden somit mit 2,5/9 ins Ziel kommen, gehts ev. auch mit einem Flug weniger.

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Spoiler

Falls ich deine Lösung richtig verstehe, brauchst du 6 Flugzeuge für die Aufgabe.
Es geht mit weniger.

Spoiler

Äh nein, ich brauche 6 Flüge F1 bis F6
Dachte danach war gefragt.

Diese können auch mit nur 4 Flugzeugen gemacht werden.

[kad]

Ein Klassiker

Eine Gruppe von Flugzeugen befindet sich auf einer kleinen Insel. Der Tank jedes Flugzeugs fasst gerade genug Treibstoff, um es um die halbe Welt zu bringen. Während des Fluges kann eine beliebige Menge Treibstoff vom Tank des einen Flugzeugs in den Tank des anderen umgefüllt werden. Die einzige Quelle für Treibstoff ist auf der Insel, und für die Zwecke des Problems wird angenommen, dass weder in der Luft noch am Boden Zeit beim Auftanken verloren geht. Welches ist die kleinste Anzahl von Flugzeugen, die den Flug eines Flugzeugs um die Welt auf einem Großkreis gewährleistet, unter der Annahme, dass die Flugzeuge die gleiche konstante Geschwindigkeit und den gleichen Treibstoffverbrauch haben und dass alle Flugzeuge sicher zu ihrer Basis auf der Insel zurückkehren?

Spoiler

Ich komm auf die Schnelle mal auf 6 Flüge.
Wir teilen den Großkreis in zwei Teile und diese wiederum in 3, als insgesamt 6 Positionen und Teilstrecken.
Pro Teilstrecke braucht jedes Flugzeut 1/3 Tankinhalt.

F1 und F2 fliegen gemeinsam von 0 nach 1 und haben beide noch 2/3 vom Sprit.
F2 gibt davon die Hälfte an F1 und fliegt zurück.
F1 hat damit an Position 1 3/3 und kommt damit bis nach 4.

2 Zeiteinheiten nach F1 und F2 starten die Maschinen F3 und F4 in die Gegenrichtung.
Bei Postion 5 betankt F4 die F3 mit 1/3 voll und fliegt zurück nach 6.
Die nun wieder volle F3 fliegt nach 4 und trifft dort zeitgleich mit F1 ein.
Die F4 betankt mit der Hälfte ihres Sprits von 2/3 die F1 und beide fliegen mit 1/3 Sprit nach 5.
Dort treffen sie mit F5 zusammen, die eine Zeitheit vorher losflog und jetzt noch 2/3 Tank hat.

Hier wird brüderlich geteilt, damit haben F1, F3 und F5 jeweils 2/9 im Tank,
und schaffen damit 2/3 der restliche Strecke von 5 nach 6.

Hier kommt dann F6 ins Spiel.
Die braucht bis zum Treffpunkt 1/9 und für zurück auch 1/9 und kann damit noch 7/9
an die anderen beiden abgeben.

Da die beiden somit mit 2,5/9 ins Ziel kommen, gehts ev. auch mit einem Flug weniger.

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Spoiler

Falls ich deine Lösung richtig verstehe, brauchst du 6 Flugzeuge für die Aufgabe.
Es geht mit weniger.

Spoiler

Äh nein, ich brauche 6 Flüge F1 bis F6
Dachte danach war gefragt.

Diese können auch mit nur 4 Flugzeugen gemacht werden.

Spoiler

Es geht mit weniger als 4 Flugzeugen.

[giffi marauder]

Ein Klassiker

Eine Gruppe von Flugzeugen befindet sich auf einer kleinen Insel. Der Tank jedes Flugzeugs fasst gerade genug Treibstoff, um es um die halbe Welt zu bringen. Während des Fluges kann eine beliebige Menge Treibstoff vom Tank des einen Flugzeugs in den Tank des anderen umgefüllt werden. Die einzige Quelle für Treibstoff ist auf der Insel, und für die Zwecke des Problems wird angenommen, dass weder in der Luft noch am Boden Zeit beim Auftanken verloren geht. Welches ist die kleinste Anzahl von Flugzeugen, die den Flug eines Flugzeugs um die Welt auf einem Großkreis gewährleistet, unter der Annahme, dass die Flugzeuge die gleiche konstante Geschwindigkeit und den gleichen Treibstoffverbrauch haben und dass alle Flugzeuge sicher zu ihrer Basis auf der Insel zurückkehren?

Spoiler

Ich komm auf die Schnelle mal auf 6 Flüge.
Wir teilen den Großkreis in zwei Teile und diese wiederum in 3, als insgesamt 6 Positionen und Teilstrecken.
Pro Teilstrecke braucht jedes Flugzeut 1/3 Tankinhalt.

F1 und F2 fliegen gemeinsam von 0 nach 1 und haben beide noch 2/3 vom Sprit.
F2 gibt davon die Hälfte an F1 und fliegt zurück.
F1 hat damit an Position 1 3/3 und kommt damit bis nach 4.

2 Zeiteinheiten nach F1 und F2 starten die Maschinen F3 und F4 in die Gegenrichtung.
Bei Postion 5 betankt F4 die F3 mit 1/3 voll und fliegt zurück nach 6.
Die nun wieder volle F3 fliegt nach 4 und trifft dort zeitgleich mit F1 ein.
Die F4 betankt mit der Hälfte ihres Sprits von 2/3 die F1 und beide fliegen mit 1/3 Sprit nach 5.
Dort treffen sie mit F5 zusammen, die eine Zeitheit vorher losflog und jetzt noch 2/3 Tank hat.

Hier wird brüderlich geteilt, damit haben F1, F3 und F5 jeweils 2/9 im Tank,
und schaffen damit 2/3 der restliche Strecke von 5 nach 6.

Hier kommt dann F6 ins Spiel.
Die braucht bis zum Treffpunkt 1/9 und für zurück auch 1/9 und kann damit noch 7/9
an die anderen beiden abgeben.

Da die beiden somit mit 2,5/9 ins Ziel kommen, gehts ev. auch mit einem Flug weniger.

[/Spoiler

Spoiler

Falls ich deine Lösung richtig verstehe, brauchst du 6 Flugzeuge für die Aufgabe.
Es geht mit weniger.

Spoiler

Äh nein, ich brauche 6 Flüge F1 bis F6
Dachte danach war gefragt.

Diese können auch mit nur 4 Flugzeugen gemacht werden.

Spoiler

Es geht mit weniger als 4 Flugzeugen.

Spoiler

Hab ich mir schon fast gedacht.
Weil ja nach den 6 Flügen mit nur 4 verschiedenen Flugzeugen trotzdem Sprit über ist.

[kad]

Ein Klassiker

Am Rande einer 800 Kilometer breiten Wüste gibt es einen unbegrenzten Vorrat an Benzin, aber in der Wüste selbst gibt es keine Quelle. Ein Lastwagen kann genug Benzin für eine Strecke von 500 Kilometer mit sich führen (dies wird als eine "Ladung" bezeichnet), und er kann seine eigenen Tankstellen an jedem beliebigen Ort entlang des Weges errichten. Diese Tankstellen können beliebig groß sein, und es wird davon ausgegangen, dass es keine Verdunstungsverluste gibt. Wie groß ist die Mindestmenge (in Ladungen) an Benzin, die der Lastwagen benötigt, um die Wüste zu durchqueren? Gibt es eine Grenze für die Breite der Wüste, die der Lastwagen durchqueren kann?