Rechenaufgaben

[kad]

Klassisch

Zeige, dass bei einer kürzlich abgehaltenen Tagung von Biophysikern die Anzahl der anwesenden Wissenschaftlern die sich ungerade Male die Hand schüttelten, gerade ist.

Die Lösung

Spoiler

Zu Beginn der Tagung, noch bevor es zum Händeschütteln gekommen ist, beträgt die Anzahl der Personen, die sich eine ungerade Anzahl von Händen gegeben haben, 0. Der erste Händedruck ergibt zwei „ungerade Personen“. Von nun an gibt es drei Arten von Händeschütteln: zwischen zwei geraden Personen, zwei ungeraden Personen oder einer ungeraden und einer geraden Person. Jeder Händedruck zwischen zwei geraden Personen erhöht die Anzahl der ungeraden Personen um 2. Jeder Händedruck zwischen zwei ungeraden Personen verringert die Anzahl der ungeraden Personen um 2. Jeder Händedruck zwischen einer geraden und einer ungeraden Personen macht aus einer ungeraden Person eine gerade und aus einer geraden Person eine ungerade, wobei die Anzahl der ungeraden Personen unverändert bleibt. Es gibt daher keine Möglichkeit, dass die gerade Anzahl der ungeraden Personen ihre Parität verschiebt; sie muss immer eine gerade Zahl bleiben.

[kad]

Klassisch

In H. G. Wells' Roman "Die ersten Menschen auf dem Mond" wird unser natürlicher Satellit von intelligenten Insekten bewohnt, die in Höhlen unter der Oberfläche leben. Nehmen wir an, diese Kreaturen haben eine Entfernungseinheit, die wir "Lunar" nennen. Sie wurde so gewählt, weil die Oberfläche des Mondes, ausgedrückt in Quadratlunaren, genau dem Volumen des Mondes in Kubiklunaren entspricht. Der Durchmesser des Mondes beträgt 3474 Kilometer. Wie viele Kilometer lang ist ein Lunar?

[kad]

Eine quadratische Formation von Armeekadetten, 20 Meter lang auf der Seite, marschiert in einem konstanten Tempo vorwärts. Das Maskottchen der Kompanie, ein kleiner Terrier, beginnt in der Mitte der hintersten Reihe (Position A), trabt in einer geraden Linie vorwärts zur Mitte der vordersten Reihe und trabt dann wieder in einer geraden Linie zurück zur Mitte der hintersten Reihe. In dem Moment, in dem er zu Position A zurückkehrt, haben die Kadetten genau 20 Meter zurückgelegt. Angenommen, der Hund trabt mit konstanter Geschwindigkeit und verliert keine Zeit beim Wenden, wie viele Meter legt er dann zurück?

[giffi marauder]

Klassisch

In H. G. Wells' Roman "Die ersten Menschen auf dem Mond" wird unser natürlicher Satellit von intelligenten Insekten bewohnt, die in Höhlen unter der Oberfläche leben. Nehmen wir an, diese Kreaturen haben eine Entfernungseinheit, die wir "Lunar" nennen. Sie wurde so gewählt, weil die Oberfläche des Mondes, ausgedrückt in Quadratlunaren, genau dem Volumen des Mondes in Kubiklunaren entspricht. Der Durchmesser des Mondes beträgt 3474 Kilometer. Wie viele Kilometer lang ist ein Lunar?

Spoiler

O=d²l²pi
V=1/6*d³l³pi
O=V
d²l²pi = 1/6*d³l³pi
->
1 =1/6dl
d=6l
6l=3474 km
l=579 km

[giffi marauder]

Eine quadratische Formation von Armeekadetten, 20 Meter lang auf der Seite, marschiert in einem konstanten Tempo vorwärts. Das Maskottchen der Kompanie, ein kleiner Terrier, beginnt in der Mitte der hintersten Reihe (Position A), trabt in einer geraden Linie vorwärts zur Mitte der vordersten Reihe und trabt dann wieder in einer geraden Linie zurück zur Mitte der hintersten Reihe. In dem Moment, in dem er zu Position A zurückkehrt, haben die Kadetten genau 20 Meter zurückgelegt. Angenommen, der Hund trabt mit konstanter Geschwindigkeit und verliert keine Zeit beim Wenden, wie viele Meter legt er dann zurück?

Spoiler

Da die hintere Reihe nach Ablauf der Zeit genau dort ist, wo am Anfang die erste war,
legen die Soldaten 20 Meter zurück während der Hund 20 + 2x Meter zurücklegt.
Diese x Meter ist er erst weiter als die Soldaten gelaufen um zur 1. Reihe aufzuschließen und muss dann diese x Meter wieder zurücklaufen.
Die Geschwindigkeit des Hundes ist damit um den Faktor f=(20+2x)/20 höher als die der Soldaten.
Damit ist er insgesamt wegen der Proportionalität von Geschwindigkeit und Weg f*20 Meter gelaufen.
Da x die Strecke ist, die die Soldaten hinter sich bringen bis der Hund nach (20+x) in der vorderen Reihe ist
ist (20-x) die Strecke die die Soldaten noch zurücklegen müssen, während der Hund x zurückläuft.
Da sowohl Soldaten wie Hund diese Teilabschnitte in der jeweils gleichen Zeit sowie konstanten Geschwindigkeiten zurücklegen,
ergibt sich folgende Gleichungen für f:
f=(20+x)/x
f=x/(20-x)
-> (20+x)/x=x/(20-x)
-> (20+x)*(20-x)=x²
-> 400 =2x²
-> x= 14,14
-> Weg des Hundes =20+2*14,14 bzw. f*20 = 2,414*20 Meter = 48,28 Meter

(f=1+1/sqrt(2))

[kad]

Klassisch

In H. G. Wells' Roman "Die ersten Menschen auf dem Mond" wird unser natürlicher Satellit von intelligenten Insekten bewohnt, die in Höhlen unter der Oberfläche leben. Nehmen wir an, diese Kreaturen haben eine Entfernungseinheit, die wir "Lunar" nennen. Sie wurde so gewählt, weil die Oberfläche des Mondes, ausgedrückt in Quadratlunaren, genau dem Volumen des Mondes in Kubiklunaren entspricht. Der Durchmesser des Mondes beträgt 3474 Kilometer. Wie viele Kilometer lang ist ein Lunar?

Spoiler

O=d²l²pi
V=1/6*d³l³pi
O=V
d²l²pi = 1/6*d³l³pi
->
1 =1/6dl
d=6l
6l=3474 km
l=579 km

Richtig.

[kad]

Eine quadratische Formation von Armeekadetten, 20 Meter lang auf der Seite, marschiert in einem konstanten Tempo vorwärts. Das Maskottchen der Kompanie, ein kleiner Terrier, beginnt in der Mitte der hintersten Reihe (Position A), trabt in einer geraden Linie vorwärts zur Mitte der vordersten Reihe und trabt dann wieder in einer geraden Linie zurück zur Mitte der hintersten Reihe. In dem Moment, in dem er zu Position A zurückkehrt, haben die Kadetten genau 20 Meter zurückgelegt. Angenommen, der Hund trabt mit konstanter Geschwindigkeit und verliert keine Zeit beim Wenden, wie viele Meter legt er dann zurück?

Spoiler

Da die hintere Reihe nach Ablauf der Zeit genau dort ist, wo am Anfang die erste war,
legen die Soldaten 20 Meter zurück während der Hund 20 + 2x Meter zurücklegt.
Diese x Meter ist er erst weiter als die Soldaten gelaufen um zur 1. Reihe aufzuschließen und muss dann diese x Meter wieder zurücklaufen.
Die Geschwindigkeit des Hundes ist damit um den Faktor f=(20+2x)/20 höher als die der Soldaten.
Damit ist er insgesamt wegen der Proportionalität von Geschwindigkeit und Weg f*20 Meter gelaufen.
Da x die Strecke ist, die die Soldaten hinter sich bringen bis der Hund nach (20+x) in der vorderen Reihe ist
ist (20-x) die Strecke die die Soldaten noch zurücklegen müssen, während der Hund x zurückläuft.
Da sowohl Soldaten wie Hund diese Teilabschnitte in der jeweils gleichen Zeit sowie konstanten Geschwindigkeiten zurücklegen,
ergibt sich folgende Gleichungen für f:
f=(20+x)/x
f=x/(20-x)
-> (20+x)/x=x/(20-x)
-> (20+x)*(20-x)=x²
-> 400 =2x²
-> x= 14,14
-> Weg des Hundes =20+2*14,14 bzw. f*20 = 2,414*20 Meter = 48,28 Meter

(f=1+1/sqrt(2))

Auch das stimmt. Bravo!
Schwieriger ist folgende Variation

[Tell Sackett]

Ihr müsstet doch eigentlich alle cerebral überhitzen...
Was tut ihr dagegen

[kad]

Anstatt vorwärts und rückwärts durch die marschierenden Kadetten zu gehen, trabt das Maskottchen mit konstanter Geschwindigkeit um die Außenseite der Formation, wobei es sich immer so nah wie möglich am Rand befindet. (Für das Problem nehmen wir an, dass er am Rand der Formation entlang trabt.) Wie zuvor ist die Formation 20 Meter marschiert, wenn der Hund zu Punkt A zurückkehrt. Wie lang ist der Weg des Hundes?

Ein Rätsel vom Grossmeister.

[kad]

Ihr müsstet doch eigentlich alle cerebral überhitzen...
Was tut ihr dagegen

Ich stelle ja nur Rätsel und versuche dann die Lösungen von giffi zu verstehen…..
Vielleicht stellt wieder mal jemand anderes ein Rätsel, damit ich überhitzen kann .

[giffi marauder]

Ihr müsstet doch eigentlich alle cerebral überhitzen...
Was tut ihr dagegen

Ich stelle ja nur Rätsel und versuche dann die Lösungen von giffi zu verstehen…..

Vielleicht stellt wieder mal jemand anderes ein Rätsel, damit ich überhitzen kann .

Ist bei mir wie mit Witzen,
wenn ich die Pointe hör, erinnere ich mich manchmal den schon gehört zu haben.
Erzählen könnte ich davon aber keinen.

[kad]

Das obige Sam Loyd Rätsel ist schwierig.
Das folgende ist leichter zu lösen:

Ein Flugzeug fliegt in gerader Linie von Flughafen A nach Flughafen B und zurück in gerader Linie von B nach A. Es fliegt mit konstanter Motorendrehzahl und es hat keinen Wind. Wird die Reisezeit für denselben Hin- und Rückflug länger, kürzer oder gleich lang sein, wenn während beider Flüge bei gleicher Motordrehzahl ein konstanter Wind von A nach B weht?

[giffi marauder]

Das obige Sam Loyd Rätsel ist schwierig.

ja
Ich kenne zwar schon alle Wege, hab aber noch zu viele Variablen.
Da fehlt mir noch die Erleuchtung.

Das folgende ist leichter zu lösen:

Ein Flugzeug fliegt in gerader Linie von Flughafen A nach Flughafen B und zurück in gerader Linie von B nach A. Es fliegt mit konstanter Motorendrehzahl und es hat keinen Wind. Wird die Reisezeit für denselben Hin- und Rückflug länger, kürzer oder gleich lang sein, wenn während beider Flüge bei gleicher Motordrehzahl ein konstanter Wind von A nach B weht?

Spoiler

Mein Tipp ist ungleich lang.
Anschaulich ausgedrückt ist der mögliche Zeit-Vorteil durch Rückenwind begrenzt,
der Nachteil durch Gegenwind allerdings nicht.

Wäre die Windgeschwindigkeit gleich der Flugzeuggeschwindigkeit, dann wären wir zwar in der halben Zeit in B,
kämen aber retour nach A nicht vom Fleck.

Wir haben die Grundformel W=T*g (Weg ist Zeit * Geschwindigkeit)
Damit ist das gesuchte T = W/g
und g steht im Nenner.

Die Windgeschwindigkeit gw ist einmal zu g zu addieren und einmal von g abzuziehen.
t_hin=w/(g+gw)
t_zurück=w/(g-gw)

In Summe: T=[w(g-gw)+g(g+gw)]/(g²-gw²)

Denn Fall, das gw>g ist, lassen wir mal aussen vor,
denn da Flugzeuge im Normalfall gegen den Wind landen,
wär der Hinflug zwar flugs, die Landung aber so gut wie unmöglich.

[kad]

Das obige Sam Loyd Rätsel ist schwierig.

ja
Ich kenne zwar schon alle Wege, hab aber noch zu viele Variablen.
Da fehlt mir noch die Erleuchtung.

Das folgende ist leichter zu lösen:

Ein Flugzeug fliegt in gerader Linie von Flughafen A nach Flughafen B und zurück in gerader Linie von B nach A. Es fliegt mit konstanter Motorendrehzahl und es hat keinen Wind. Wird die Reisezeit für denselben Hin- und Rückflug länger, kürzer oder gleich lang sein, wenn während beider Flüge bei gleicher Motordrehzahl ein konstanter Wind von A nach B weht?

Spoiler

Mein Tipp ist ungleich lang.
Anschaulich ausgedrückt ist der mögliche Zeit-Vorteil durch Rückenwind begrenzt,
der Nachteil durch Gegenwind allerdings nicht.

Wäre die Windgeschwindigkeit gleich der Flugzeuggeschwindigkeit, dann wären wir in der halben Zeit dort,
kämen aber retour nicht vom Fleck.

Wir haben die Grundformel W=T*g (Weg ist Zeit * Geschwindigkeit)
Damit ist das gesuchte T = W/g
und g steht im Nenner.

Die Windgeschwindigkeit gw ist einmal zu g zu addieren und einmal von g abzuziehen.
t_hin=w/(g+gw)
t_zurück=w/(g-gw)

In Summe: T=[w(g-gw)+g(g+gw)]/(g²-gw²)

Denn Fall, das gw>g ist, lassen wir mal aussen vor,
denn da Flugzeuge im Normalfall gegen den Wind landen,
wär der Hinflug zwar flugs, die Landung aber so gut wie unmöglich.

Richtig!

[kad]

Etwas schwieriger ist der Klassiker


Selbst die einfachsten Aufgaben im Haushalt können in operational Research komplizierte Probleme aufwerfen. Nehmen wir die Zubereitung von drei Scheiben heißem, gebuttertem Toast. Der Toaster ist ein altmodischer Typ mit Scharniertüren an beiden Seiten. Er fasst zwei Brotscheiben auf einmal, toastet aber jede Scheibe nur auf einer Seite. Um beide Seiten zu toasten, muss man die Türen öffnen und die Scheiben umdrehen. Es dauert drei Sekunden, um eine Scheibe Brot in den Toaster einzulegen, drei Sekunden, um sie herauszunehmen, und drei Sekunden, um eine Scheibe umzudrehen, ohne sie herauszunehmen. Für jeden dieser Vorgänge werden beide Hände benötigt, was bedeutet, dass es nicht möglich ist, zwei Scheiben gleichzeitig einzulegen, herauszunehmen oder zu wenden. Auch ist es nicht möglich, eine Scheibe mit Butter zu bestreichen, während eine andere Scheibe in den Toaster eingelegt, gewendet oder herausgenommen wird. Die Toastzeit für eine Seite eines Brotes beträgt dreißig Sekunden. Das Buttern einer Scheibe dauert zwölf Sekunden. Jede Scheibe wird nur auf einer Seite gebuttert. Keine Seite darf gebuttert werden, bevor sie nicht getoastet wurde. Eine Scheibe, die auf einer Seite getoastet und gebuttert wurde, kann zum Toasten auf der anderen Seite in den Toaster zurückgelegt werden. Der Toaster ist zu Beginn aufgewärmt. In wie kurzer Zeit können drei Scheiben Brot auf beiden Seiten getoastet und mit Butter bestrichen werden?