Rechenaufgaben

[kad]

Eine quadratische Formation von Armeekadetten, 20 Meter lang auf der Seite, marschiert in einem konstanten Tempo vorwärts. Das Maskottchen der Kompanie, ein kleiner Terrier, beginnt in der Mitte der hintersten Reihe (Position A), trabt in einer geraden Linie vorwärts zur Mitte der vordersten Reihe und trabt dann wieder in einer geraden Linie zurück zur Mitte der hintersten Reihe. In dem Moment, in dem er zu Position A zurückkehrt, haben die Kadetten genau 20 Meter zurückgelegt. Angenommen, der Hund trabt mit konstanter Geschwindigkeit und verliert keine Zeit beim Wenden, wie viele Meter legt er dann zurück?

Spoiler

Da die hintere Reihe nach Ablauf der Zeit genau dort ist, wo am Anfang die erste war,
legen die Soldaten 20 Meter zurück während der Hund 20 + 2x Meter zurücklegt.
Diese x Meter ist er erst weiter als die Soldaten gelaufen um zur 1. Reihe aufzuschließen und muss dann diese x Meter wieder zurücklaufen.
Die Geschwindigkeit des Hundes ist damit um den Faktor f=(20+2x)/20 höher als die der Soldaten.
Damit ist er insgesamt wegen der Proportionalität von Geschwindigkeit und Weg f*20 Meter gelaufen.
Da x die Strecke ist, die die Soldaten hinter sich bringen bis der Hund nach (20+x) in der vorderen Reihe ist
ist (20-x) die Strecke die die Soldaten noch zurücklegen müssen, während der Hund x zurückläuft.
Da sowohl Soldaten wie Hund diese Teilabschnitte in der jeweils gleichen Zeit sowie konstanten Geschwindigkeiten zurücklegen,
ergibt sich folgende Gleichungen für f:
f=(20+x)/x
f=x/(20-x)
-> (20+x)/x=x/(20-x)
-> (20+x)*(20-x)=x²
-> 400 =2x²
-> x= 14,14
-> Weg des Hundes =20+2*14,14 bzw. f*20 = 2,414*20 Meter = 48,28 Meter

(f=1+1/sqrt(2))

Auch das stimmt. Bravo!
Schwieriger ist folgende Variation

Spoiler

Um das schwierigere Rätsel zu lösen hilft vielleicht der alternative Lösungsweg zum einfacheren Rätsel:

1 sei die Länge des Quadrats der Kadetten und auch die Zeit, die sie brauchen, um diese Länge zu marschieren. Ihre Geschwindigkeit sei ebenfalls 1. x sei die Gesamtstrecke, die der Hund zurückgelegt hat, sowie seine Geschwindigkeit. Auf dem Hinweg ist die Geschwindigkeit des Hundes relativ zu den Kadetten x - 1. Auf dem Rückweg ist seine Geschwindigkeit relativ zu den Kadetten x + 1. Jede Fahrt ist eine Strecke von 1 (relativ zu den Kadetten), und die beiden Fahrten werden in einer Zeiteinheit abgeschlossen, so dass die folgende Gleichung geschrieben werden kann:

1/(x-1) + 1/(x+1) = 1

Das ergibt x^2 - 2x - 1 = 0
mit Lösung 1+sqrt(2) (Wie bei dir, modulo dem Schreibfehler bei f).

Jetzt noch mit 20 m Multiplizieren.