Rechenaufgaben

[kad]

Eine quadratische Formation von Armeekadetten, 20 Meter lang auf der Seite, marschiert in einem konstanten Tempo vorwärts. Das Maskottchen der Kompanie, ein kleiner Terrier, beginnt in der Mitte der hintersten Reihe (Position A), trabt in einer geraden Linie vorwärts zur Mitte der vordersten Reihe und trabt dann wieder in einer geraden Linie zurück zur Mitte der hintersten Reihe. In dem Moment, in dem er zu Position A zurückkehrt, haben die Kadetten genau 20 Meter zurückgelegt. Angenommen, der Hund trabt mit konstanter Geschwindigkeit und verliert keine Zeit beim Wenden, wie viele Meter legt er dann zurück?

Spoiler

Da die hintere Reihe nach Ablauf der Zeit genau dort ist, wo am Anfang die erste war,
legen die Soldaten 20 Meter zurück während der Hund 20 + 2x Meter zurücklegt.
Diese x Meter ist er erst weiter als die Soldaten gelaufen um zur 1. Reihe aufzuschließen und muss dann diese x Meter wieder zurücklaufen.
Die Geschwindigkeit des Hundes ist damit um den Faktor f=(20+2x)/20 höher als die der Soldaten.
Damit ist er insgesamt wegen der Proportionalität von Geschwindigkeit und Weg f*20 Meter gelaufen.
Da x die Strecke ist, die die Soldaten hinter sich bringen bis der Hund nach (20+x) in der vorderen Reihe ist
ist (20-x) die Strecke die die Soldaten noch zurücklegen müssen, während der Hund x zurückläuft.
Da sowohl Soldaten wie Hund diese Teilabschnitte in der jeweils gleichen Zeit sowie konstanten Geschwindigkeiten zurücklegen,
ergibt sich folgende Gleichungen für f:
f=(20+x)/x
f=x/(20-x)
-> (20+x)/x=x/(20-x)
-> (20+x)*(20-x)=x²
-> 400 =2x²
-> x= 14,14
-> Weg des Hundes =20+2*14,14 bzw. f*20 = 2,414*20 Meter = 48,28 Meter

(f=1+1/sqrt(2))

Auch das stimmt. Bravo!
Schwieriger ist folgende Variation

Spoiler

Um das schwierigere Rätsel zu lösen hilft vielleicht der alternative Lösungsweg zum einfacheren Rätsel:

1 sei die Länge des Quadrats der Kadetten und auch die Zeit, die sie brauchen, um diese Länge zu marschieren. Ihre Geschwindigkeit sei ebenfalls 1. x sei die Gesamtstrecke, die der Hund zurückgelegt hat, sowie seine Geschwindigkeit. Auf dem Hinweg ist die Geschwindigkeit des Hundes relativ zu den Kadetten x - 1. Auf dem Rückweg ist seine Geschwindigkeit relativ zu den Kadetten x + 1. Jede Fahrt ist eine Strecke von 1 (relativ zu den Kadetten), und die beiden Fahrten werden in einer Zeiteinheit abgeschlossen, so dass die folgende Gleichung geschrieben werden kann:

1/(x-1) + 1/(x+1) = 1

Das ergibt x^2 - 2x - 1 = 0
mit Lösung 1+sqrt(2) (Wie bei dir, modulo dem Schreibfehler bei f).

Jetzt noch mit 20 m Multiplizieren.

[kad]

Etwas schwieriger ist der Klassiker


Selbst die einfachsten Aufgaben im Haushalt können in operational Research komplizierte Probleme aufwerfen. Nehmen wir die Zubereitung von drei Scheiben heißem, gebuttertem Toast. Der Toaster ist ein altmodischer Typ mit Scharniertüren an beiden Seiten. Er fasst zwei Brotscheiben auf einmal, toastet aber jede Scheibe nur auf einer Seite. Um beide Seiten zu toasten, muss man die Türen öffnen und die Scheiben umdrehen. Es dauert drei Sekunden, um eine Scheibe Brot in den Toaster einzulegen, drei Sekunden, um sie herauszunehmen, und drei Sekunden, um eine Scheibe umzudrehen, ohne sie herauszunehmen. Für jeden dieser Vorgänge werden beide Hände benötigt, was bedeutet, dass es nicht möglich ist, zwei Scheiben gleichzeitig einzulegen, herauszunehmen oder zu wenden. Auch ist es nicht möglich, eine Scheibe mit Butter zu bestreichen, während eine andere Scheibe in den Toaster eingelegt, gewendet oder herausgenommen wird. Die Toastzeit für eine Seite eines Brotes beträgt dreißig Sekunden. Das Buttern einer Scheibe dauert zwölf Sekunden. Jede Scheibe wird nur auf einer Seite gebuttert. Keine Seite darf gebuttert werden, bevor sie nicht getoastet wurde. Eine Scheibe, die auf einer Seite getoastet und gebuttert wurde, kann zum Toasten auf der anderen Seite in den Toaster zurückgelegt werden. Der Toaster ist zu Beginn aufgewärmt. In wie kurzer Zeit können drei Scheiben Brot auf beiden Seiten getoastet und mit Butter bestrichen werden?

Spoiler

128?
(43x3-1)
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Spoiler

Der Rätselerfinder hatte gemeint, es sei minimal in 120 s machbar - und wurde dann überrascht, dass es eine Lösung mit 114 s gibt.

Spoiler

Darf man
a) das Buttern unterbrechen und
b) ev. sogar zwischendurch toasten?

Spoiler

Mit a) meinst du, den Toast halb Buttern und dann etwas anderes machen?
Nein.

Aber eine Seite einer Brotscheibe muss nicht auf einmal getoastet werden - man darf unterbrechen

Lösung

Spoiler

Wenn mir kein Fehler passiert ist

Toast.jpeg (79.56 KiB) 165 mal betrachtet

[giffi marauder]

Eine quadratische Formation von Armeekadetten, 20 Meter lang auf der Seite, marschiert in einem konstanten Tempo vorwärts. Das Maskottchen der Kompanie, ein kleiner Terrier, beginnt in der Mitte der hintersten Reihe (Position A), trabt in einer geraden Linie vorwärts zur Mitte der vordersten Reihe und trabt dann wieder in einer geraden Linie zurück zur Mitte der hintersten Reihe. In dem Moment, in dem er zu Position A zurückkehrt, haben die Kadetten genau 20 Meter zurückgelegt. Angenommen, der Hund trabt mit konstanter Geschwindigkeit und verliert keine Zeit beim Wenden, wie viele Meter legt er dann zurück?

Spoiler

Da die hintere Reihe nach Ablauf der Zeit genau dort ist, wo am Anfang die erste war,
legen die Soldaten 20 Meter zurück während der Hund 20 + 2x Meter zurücklegt.
Diese x Meter ist er erst weiter als die Soldaten gelaufen um zur 1. Reihe aufzuschließen und muss dann diese x Meter wieder zurücklaufen.
Die Geschwindigkeit des Hundes ist damit um den Faktor f=(20+2x)/20 höher als die der Soldaten.
Damit ist er insgesamt wegen der Proportionalität von Geschwindigkeit und Weg f*20 Meter gelaufen.
Da x die Strecke ist, die die Soldaten hinter sich bringen bis der Hund nach (20+x) in der vorderen Reihe ist
ist (20-x) die Strecke die die Soldaten noch zurücklegen müssen, während der Hund x zurückläuft.
Da sowohl Soldaten wie Hund diese Teilabschnitte in der jeweils gleichen Zeit sowie konstanten Geschwindigkeiten zurücklegen,
ergibt sich folgende Gleichungen für f:
f=(20+x)/x
f=x/(20-x)
-> (20+x)/x=x/(20-x)
-> (20+x)*(20-x)=x²
-> 400 =2x²
-> x= 14,14
-> Weg des Hundes =20+2*14,14 bzw. f*20 = 2,414*20 Meter = 48,28 Meter

(f=1+1/sqrt(2))

Auch das stimmt. Bravo!
Schwieriger ist folgende Variation

Spoiler

Um das schwierigere Rätsel zu lösen hilft vielleicht der alternative Lösungsweg zum einfacheren Rätsel:

1 sei die Länge des Quadrats der Kadetten und auch die Zeit, die sie brauchen, um diese Länge zu marschieren. Ihre Geschwindigkeit sei ebenfalls 1. x sei die Gesamtstrecke, die der Hund zurückgelegt hat, sowie seine Geschwindigkeit. Auf dem Hinweg ist die Geschwindigkeit des Hundes relativ zu den Kadetten x - 1. Auf dem Rückweg ist seine Geschwindigkeit relativ zu den Kadetten x + 1. Jede Fahrt ist eine Strecke von 1 (relativ zu den Kadetten), und die beiden Fahrten werden in einer Zeiteinheit abgeschlossen, so dass die folgende Gleichung geschrieben werden kann:

1/(x-1) + 1/(x+1) = 1

Das ergibt x^2 - 2x - 1 = 0
mit Lösung 1+sqrt(2) (Wie bei dir, modulo dem Schreibfehler bei f).

Jetzt noch mit 20 m Multiplizieren.

Spoiler

Ja, das mit er Normierung hab ich beim ersten Rätsel schon gesehen.

zeitgleiche Wege:
Katdetten : Maskottchen
a) y : d= sqrt(0,5+y²), da das Maskottchen ja nicht stur nach rechts, sondern etwas Diagonal laufen muss.
b) x: x+1 (wie im ersten Beispiel gerade nach vorne zur 1. Reihe)
c) 2y : 2d (von rechts vorne nach links vorne)
e) z : 1-z (von links vorne nach links hinten, wobei die Kadetten dem Maskotchen entgegenkommen)
f) y : d (von links hinten in die Mitte)

Die Gesamtstrecke der Kadetten ist damit 1=4y+x+z und somit z=1-4y-x
Die Gesamtstrecke des Maskottchens: 4d+(1+x)+(1-z)=4d+x+2-1+4y+x=4d+1+2x+4y

Analog zum ersten Beispiel hätten wir dann:
(1-z)/z=(1+x)/x
oder auch:
(4y+x)/(1-4y-x)=(1+x)/x

...
tja.

[kad]

Eine quadratische Formation von Armeekadetten, 20 Meter lang auf der Seite, marschiert in einem konstanten Tempo vorwärts. Das Maskottchen der Kompanie, ein kleiner Terrier, beginnt in der Mitte der hintersten Reihe (Position A), trabt in einer geraden Linie vorwärts zur Mitte der vordersten Reihe und trabt dann wieder in einer geraden Linie zurück zur Mitte der hintersten Reihe. In dem Moment, in dem er zu Position A zurückkehrt, haben die Kadetten genau 20 Meter zurückgelegt. Angenommen, der Hund trabt mit konstanter Geschwindigkeit und verliert keine Zeit beim Wenden, wie viele Meter legt er dann zurück?

Spoiler

Da die hintere Reihe nach Ablauf der Zeit genau dort ist, wo am Anfang die erste war,
legen die Soldaten 20 Meter zurück während der Hund 20 + 2x Meter zurücklegt.
Diese x Meter ist er erst weiter als die Soldaten gelaufen um zur 1. Reihe aufzuschließen und muss dann diese x Meter wieder zurücklaufen.
Die Geschwindigkeit des Hundes ist damit um den Faktor f=(20+2x)/20 höher als die der Soldaten.
Damit ist er insgesamt wegen der Proportionalität von Geschwindigkeit und Weg f*20 Meter gelaufen.
Da x die Strecke ist, die die Soldaten hinter sich bringen bis der Hund nach (20+x) in der vorderen Reihe ist
ist (20-x) die Strecke die die Soldaten noch zurücklegen müssen, während der Hund x zurückläuft.
Da sowohl Soldaten wie Hund diese Teilabschnitte in der jeweils gleichen Zeit sowie konstanten Geschwindigkeiten zurücklegen,
ergibt sich folgende Gleichungen für f:
f=(20+x)/x
f=x/(20-x)
-> (20+x)/x=x/(20-x)
-> (20+x)*(20-x)=x²
-> 400 =2x²
-> x= 14,14
-> Weg des Hundes =20+2*14,14 bzw. f*20 = 2,414*20 Meter = 48,28 Meter

(f=1+1/sqrt(2))

Auch das stimmt. Bravo!
Schwieriger ist folgende Variation

Spoiler

Um das schwierigere Rätsel zu lösen hilft vielleicht der alternative Lösungsweg zum einfacheren Rätsel:

1 sei die Länge des Quadrats der Kadetten und auch die Zeit, die sie brauchen, um diese Länge zu marschieren. Ihre Geschwindigkeit sei ebenfalls 1. x sei die Gesamtstrecke, die der Hund zurückgelegt hat, sowie seine Geschwindigkeit. Auf dem Hinweg ist die Geschwindigkeit des Hundes relativ zu den Kadetten x - 1. Auf dem Rückweg ist seine Geschwindigkeit relativ zu den Kadetten x + 1. Jede Fahrt ist eine Strecke von 1 (relativ zu den Kadetten), und die beiden Fahrten werden in einer Zeiteinheit abgeschlossen, so dass die folgende Gleichung geschrieben werden kann:

1/(x-1) + 1/(x+1) = 1

Das ergibt x^2 - 2x - 1 = 0
mit Lösung 1+sqrt(2) (Wie bei dir, modulo dem Schreibfehler bei f).

Jetzt noch mit 20 m Multiplizieren.

Spoiler

Ja, das mit er Normierung hab ich beim ersten Rätsel schon gesehen.

zeitgleiche Wege:
Katdetten : Maskottchen
a) y : d= sqrt(0,5+y²), da das Maskottchen ja nicht stur nach rechts, sondern etwas Diagonal laufen muss.
b) x: x+1 (wie im ersten Beispiel gerade nach vorne zur 1. Reihe)
c) 2y : 2d (von rechts vorne nach links vorne)
e) z : 1-z (von links vorne nach links hinten, wobei die Kadetten dem Maskotchen entgegenkommen)
f) y : d (von links hinten in die Mitte)

Die Gesamtstrecke der Kadetten ist damit 1=4y+x+z und somit z=1-4y-x
Die Gesamtstrecke des Maskottchens: 4d+(1+x)+(1-z)=4d+x+2-1+4y+x=4d+1+2x+4y

Analog zum ersten Beispiel hätten wir dann:
(1-z)/z=(1+x)/x
oder auch:
(4y+x)/(1-4y-x)=(1+x)/x

...
tja.

Spoiler

Entlang der alternativen Lösung

1 sei die Länge des Quadrats der Kadetten und auch die Zeit, die sie brauchen, um diese Länge zu marschieren. Ihre Geschwindigkeit sei ebenfalls 1. x sei die Gesamtstrecke, die der Hund zurückgelegt hat, sowie seine Geschwindigkeit. Auf dem Hinweg ist die Geschwindigkeit des Hundes relativ zu den Kadetten x - 1. Auf dem Rückweg ist seine Geschwindigkeit relativ zu den Kadetten x + 1. Die Geschwindigkeit auf den Querfahrten, relativ zu den Kadetten, ist sqrt(x^2-1). Der Kreislauf wird in einer Zeiteinheit abgeschlossen.
Jetzt müssen wir nur noch die Gleichung

1/(x-1) + 1/(x+1) = 1

entsprechend anpassen.

[kad]

Dieses Rätsel passt zum Roman von Kai Hirdt 3344


Ein Ingenieur, der für seine Fähigkeit bekannt war, sich dreidimensionale Strukturen vorzustellen, trank gerade Kaffee und aß Donuts. Bevor er einen Zuckerwürfel in seine Tasse fallen ließ, legte er den Würfel auf den Tisch und dachte: Wenn ich eine horizontale Ebene durch den Mittelpunkt des Würfels führe, ist der Querschnitt natürlich ein Quadrat. Wenn ich sie senkrecht durch den Mittelpunkt und die vier Ecken des Würfels führe, wird der Querschnitt ein längliches Rechteck sein. Nehmen wir nun an, ich schneide den Würfel auf diese Weise mit dem Hobel.... Zu seiner Überraschung war sein geistiges Bild des Querschnitts ein regelmäßiges Sechseck. Wie wurde der Schnitt gemacht? Wenn die Seite des Würfels einen Zentimeter beträgt, wie groß ist dann die Seite des Sechsecks?

[PHOENIX]

Man schneidet den Würfel mit einer Ebene, die genau die Mittelpunkte von sechs Kanten des Würfels verbindet. Diese Schnittebene liegt schräg, sodass sie sechs Kanten berührt und dadurch ein regelmäßiges Sechseck als Schnittfläche erzeugt.

Seitenlänge 1cm:

Das regelmäßige Sechseck entsteht so, dass seine Seitenlänge identisch mit der Würfelkantenlänge ist, da die Schnittpunkte genau auf den Mittelpunkten der Kanten des Würfels liegen und diese Kanten somit alle gleich lang sind.

Gab es Zucker im Hirdt-Roman oder habe ich das überlesen?

[kad]

Man schneidet den Würfel mit einer Ebene, die genau die Mittelpunkte von sechs Kanten des Würfels verbindet. Diese Schnittebene liegt schräg, sodass sie sechs Kanten berührt und dadurch ein regelmäßiges Sechseck als Schnittfläche erzeugt.

Seitenlänge 1cm:

Das regelmäßige Sechseck entsteht so, dass seine Seitenlänge identisch mit der Würfelkantenlänge ist, da die Schnittpunkte genau auf den Mittelpunkten der Kanten des Würfels liegen und diese Kanten somit alle gleich lang sind.

Gab es Zucker im Hirdt-Roman oder habe ich das überlesen?

Ja, so ergibt sich das Hexagon.
Für dessen Seitenlänge habe ich ein anderes Resultat bekommen als du.

[springhuhn]

Quadratwurzel aus 0,5?

[kad]

Genau

[kad]

Nicht so schwierig

Eine bestimmte Stadt hat eine gründliche Untersuchung durchgeführt und festgestellt, dass 2 % ihrer Bürger Drogen nehmen. Diese Zahl ist solide und unumstritten. Angenommen, es wird ein Drogentest eingesetzt, der zu 98 % genau ist. Das heißt, wenn ein Bürger Drogen konsumiert, wird der Test in 98 % der Fälle positiv ausfallen. Bei Nichtkonsumenten ist der Test in 98 % der Fälle negativ. Eine Person wird nach dem Zufallsprinzip ausgewählt, dem Test unterzogen, und das Ergebnis ist positiv. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Drogenkonsumenten handelt?

[giffi marauder]

Nicht so schwierig

Eine bestimmte Stadt hat eine gründliche Untersuchung durchgeführt und festgestellt, dass 2 % ihrer Bürger Drogen nehmen. Diese Zahl ist solide und unumstritten. Angenommen, es wird ein Drogentest eingesetzt, der zu 98 % genau ist. Das heißt, wenn ein Bürger Drogen konsumiert, wird der Test in 98 % der Fälle positiv ausfallen. Bei Nichtkonsumenten ist der Test in 98 % der Fälle negativ. Eine Person wird nach dem Zufallsprinzip ausgewählt, dem Test unterzogen, und das Ergebnis ist positiv. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Drogenkonsumenten handelt?

Spoiler

Da er positiv getestet wurde, ist er entweder
a) ein richtig erkannter Dorgenkonsument 2%*98%, oder
b) ein falsch erkannter Nicht-Drogenkonsument 98%*2%
Da die Wahrscheinlichkeit beider Möglichkeiten ist gleich hoch ist bin ich für 50%

[kad]

Nicht so schwierig

Eine bestimmte Stadt hat eine gründliche Untersuchung durchgeführt und festgestellt, dass 2 % ihrer Bürger Drogen nehmen. Diese Zahl ist solide und unumstritten. Angenommen, es wird ein Drogentest eingesetzt, der zu 98 % genau ist. Das heißt, wenn ein Bürger Drogen konsumiert, wird der Test in 98 % der Fälle positiv ausfallen. Bei Nichtkonsumenten ist der Test in 98 % der Fälle negativ. Eine Person wird nach dem Zufallsprinzip ausgewählt, dem Test unterzogen, und das Ergebnis ist positiv. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Drogenkonsumenten handelt?

Spoiler

Da er positiv getestet wurde, ist er entweder
a) ein richtig erkannter Dorgenkonsument 2%*98%, oder
b) ein falsch erkannter Nicht-Drogenkonsument 98%*2%
Da die Wahrscheinlichkeit beider Möglichkeiten ist gleich hoch ist bin ich für 50%

Das stimmt (natürlich)!

[kad]

Auch einfach - morgen wird es schwieriger….

Zwei Freunde möchten sich das ganze Jahr über zweimal im Monat zum Frühstück treffen, jedoch niemals an aufeinanderfolgenden Tagen. Auf wie viele Arten können sie diese beiden Tage im Monat auswählen, sodass sie sich niemals an aufeinanderfolgenden Tagen treffen? (Nehmen Sie an, ein Monat habe 30 Tage.)

[giffi marauder]

Auch einfach - morgen wird es schwieriger….

Zwei Freunde möchten sich das ganze Jahr über zweimal im Monat zum Frühstück treffen, jedoch niemals an aufeinanderfolgenden Tagen. Auf wie viele Arten können sie diese beiden Tage im Monat auswählen, sodass sie sich niemals an aufeinanderfolgenden Tagen treffen? (Nehmen Sie an, ein Monat habe 30 Tage.)

Spoiler

Aus "Auf wie viele Arten können sie diese beiden Tage im Monat auswählen" schließe ich, dass diese beiden gewählten Tage für alle Monate gleich sind.

Nehmen wir den Jänner, dann haben wir folgende Möglichkeiten:
1,3 bis 1,30 (28)
2,4 bis 2,30 (27)
...
28,30 (1)

Das wäre dann die Summe von 1 bis 28=28*29/2=406 Möglichkeiten.
Allerdings geht 1,30 nicht, weil ja der 1. Februar auf den 30. Jänner folgt.
Damit sind es 405 Möglichkeiten.

[kad]

Auch einfach - morgen wird es schwieriger….

Zwei Freunde möchten sich das ganze Jahr über zweimal im Monat zum Frühstück treffen, jedoch niemals an aufeinanderfolgenden Tagen. Auf wie viele Arten können sie diese beiden Tage im Monat auswählen, sodass sie sich niemals an aufeinanderfolgenden Tagen treffen? (Nehmen Sie an, ein Monat habe 30 Tage.)

Spoiler

Aus "Auf wie viele Arten können sie diese beiden Tage im Monat auswählen" schließe ich, dass diese beiden gewählten Tage für alle Monate gleich sind.

Nehmen wir den Jänner, dann haben wir folgende Möglichkeiten:
1,3 bis 1,30 (28)
2,4 bis 2,30 (27)
...
28,30 (1)

Das wäre dann die Summe von 1 bis 28=28*29/2=406 Möglichkeiten.
Allerdings geht 1,30 nicht, weil ja der 1. Februar auf den 30. Jänner folgt.
Damit sind es 405 Möglichkeiten.

Wiederum richtig!