Rechenaufgaben

[giffi marauder]

Dann ist die Lösung nicht gut erklärt.
Zum Nachvollziehen ist es vielleicht hilfreich, wenn wir zuerst annehmen 50 Ameisen seine links von Anna und 50 Ameisen rechts von Anna.
Anna ist also die 51. Ameise von links. Jetzt startet die Aktion: nach einer Minute ist Anna immer noch die 51. Ameise von links und ihr Fähnchen ist wieder dort wo es am Anfang war, in der Mitte. Die 50 Fähnchen die anfangs links von Annas Fähnchen waren, sind nach dieser Minute rechts von ihrem Fähnchen und die 50 Fähnchen, die rechts von ihr waren, sind nach einer Minute links von ihrem Fähnchen.
Also, nach einer Minute 50 Fähnchen links von Annas Fähnchen (welches somit das 51. Fähnchen von links ist) und Anna ist die 51. Ameise von links. Also hat Anna wieder ihr Fähnchen.
Und jetzt überlegt man sich, dass Anna ihr ursprüngliches Fähnchen nur dann wieder hat, falls anfǎnglich 50 Ameisen links und 50 Ameisen rechts von ihr waren.

Ja, soweit hatte ich das schon verstanden.
Gefragt war die Wahrscheinlkeit, dass Anna wieder in der Mitte ist.
Wir wissen, dass das Fähnchen von Anna jedenfalls ist der Mitte ist.
Berechnet wurde dann die Wahrscheinlichkeit, dass Anna ihr Fähnchen wieder hat, weil sie dann natürlich jedenfalls in der Mitte sein muss.
Dies ist nur dann der Fall, wenn sich Anna an Position 51 befindet.

Unklar ist mit noch, ob Anna auch ohne Fähnchen in der Mitte sein kann.
Und da hab ich ein Denkproblem sowohl mit der Dimensionslosigkeit der Ameisen als auch mit den Gleichzeitigkeiten bzw. was noch passiert und was nicht.

Ein Pulk mit Anna läuft nach links, der Rest nach rechts, alle kehren um und landen nach 1 min. wieder in der Mitte.
Da drehen sie sich noch ein bisschen im Kreis und tauschen Fähnchen, wegbewegen tun sie sich aber nicht mehr.
Welche Position Anna im Pulk einnimmt und wie groß er ist, mag eine Rolle dabei spielen, ob sie ihr Fähnchen
wieder hat, aber auf ihre Position in der Mitte des Stabes hat das keine Auswirkung.

Aber vielleicht denke ich da zu kompliziert.

[kad]

Ja, soweit hatte ich das schon verstanden.
Gefragt war die Wahrscheinlichkeit, dass Anna wieder in der Mitte ist.

Wir haben gesehen, dass Anna wieder in der Mitte ist (nach einer Minute), falls beim Start 50 Ameisen links von ihr sind und 50 rechts.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist somit gleich der Wahrscheinlichkeit, dass beim ursprünglichen zufälligen Setzen der Ameisen auf den Stab, 50 rechts der Mitte sind und 50 links der Mitte.
Und das ist
2^-100 * (100 50). (Auf wieviele Arten kann ich 50 Ameisen aus 100 auswählen 100 über 50) mal der Wahrscheinlichkeit für ein spezifisches Setzen (1/2)^100


Das ist (mit Stirlingformel) etwa 0,0798, also fast 8 Prozent

[kad]

Unklar ist mit noch, ob Anna auch ohne Fähnchen in der Mitte sein kann.

Das Fähnchen von Anna ist doch in jedem Fall in der Mitte (vor und nach der Minute Aktion).

[giffi marauder]

Es hat noch viele Rätsel in diesem Buch. Nach folgendem machen wir eine Scheherazade Pause.


"Hier ist noch eine", sagte Scheherazade. "Ibn kam einmal in einen Laden und stahl ein Drittel der Silbermünzen plus ein Drittel einer Münze." "Moment mal!", sagte der König. "Wie konnte er ein Drittel einer Münze stehlen? Hat er ein Stück abgebrochen?" "Nein, natürlich nicht", lachte Scheherazade. "Ich meinte, dass ein Drittel der Anzahl der Münzen, die er gefunden hat, plus die Zahl ⅓, die Anzahl der Münzen ist, die er genommen hat, was zufällig eine ganze Zahl ist." "Oh, ich verstehe", sagte der König. "Fahre fort!" "Nun, kurz darauf betrat Hasib den Laden und stahl ein Viertel der verbliebenen Münzen, plus ein Viertel einer Münze. Bald darauf kam Abu herein und stahl ein Fünftel der verbliebenen Münzen, plus drei Fünftel einer Münze. Schließlich kam ein anderer von Ali Babas Dieben herein und stahl die restlichen 409 Münzen. Wie viele Münzen hat Ibn gefunden?"

Dröseln wir das mal auf:

Spoiler

N=?
Ibn stiehlt N/3+1/3=(N+1)/3
Rest = N-(N+1)/3= (3N-N-1)/3=(2N-1)/3
Hasan stiehlt 1/4 vom Rest und 1/4 = (2N-1)/12+1/4=(2N-1+3)/12=(2N+2)/12=(N+1)/6
Rest = (2N-1)/3-(N+1)/6=(4N-2-N-1)/6=(3N-3)/6=(N-1)/2
Abu stiehlt 1/5 vom Rest und 3/5 also (N-1)/10+3/5= (N-1+6)/10=(N+5)/10
Rest = (N-1)/2-(N+5)/10=(5N-5-N-5)/10=(4N-10)/10=(2N-5)5=409
-> N=(409*5+5)/2= 2.050

Anzahl der Münzen = 2050
Ibn: (1366+2/3)+1/3 =1367 (Rest 683)
Hasib: (170+3/4)+1/4 = 171 (Rest 512)
Abu: (102+2/5)+3/5=103 (Rest 409)

[giffi marauder]

Unklar ist mit noch, ob Anna auch ohne Fähnchen in der Mitte sein kann.

Das Fähnchen von Anna ist doch in jedem Fall in der Mitte (vor und nach der Minute Aktion).

Nein ich meinte, ob Fähnchen und Anna in der Mitte sein können, ohne dass Anna im Besitz ihres Fähnchens ist.
Ich geh davon aus, dass die Ameisen keine Breite bzw. Länge haben.
Bei mir ist Mitte nicht gleich Mitte.
Einmal im Sinne von Anna hat die Nr. 51 und jeweils 50 Ameisen links und rechts von sich
und einmal im Sinne von in der Mitte des Staabes.
Insofern können bei mir alle Ameisen von der Stab-Mitte starten und dort auch wieder ankommen,
auch wenn sie nicht die Nr. 51 tragen.
In diesem Fall wären alle Ameisen (samt Anna) wieder in der Mitte, nur das Fähnchen hat dann halt irgendwer.

Beim ursprünglichen Rätsel hat es keine Rolle gespielt, ob mehrere (dimensionslose) Ameisen am gleich Punkt sein konnten,
weil die Fähnchen dann eben gleichzeitig runtergefallen sind.
Ist das in diesem Fall tatsächlich auch ignorierbar?

Wenn wir uns die Ameisen nicht als Punkte sondern als Kugeln mit e(psilon) Druchmeser denken
und alle (mit Anna in der Mitte der Ameisen (Nr. 51) und Startpunkt genau der Mitte des Stabes) in eine Richtung laufen,
dann kann Anna ja nur, die Distanz von 1/2-50e zurücklegen bevor sie ansteht.
Laufen die Ameisen dicht an dicht, dann drehen sie zeitlos alle gleichzeitg um und laufen wieder zurück.
Anna landet dann aber nach 1 Minute nicht in der Mitte, weil sie ja für 2x 1/2-50e (hin und retour) keine Minute benötigt,
sondern exakt bei Mitte+100e.

Und wo ist jetzt eigentlich das besch. Fähnchen?

Du siehst mein Problem?

[kad]

Es hat noch viele Rätsel in diesem Buch. Nach folgendem machen wir eine Scheherazade Pause.


"Hier ist noch eine", sagte Scheherazade. "Ibn kam einmal in einen Laden und stahl ein Drittel der Silbermünzen plus ein Drittel einer Münze." "Moment mal!", sagte der König. "Wie konnte er ein Drittel einer Münze stehlen? Hat er ein Stück abgebrochen?" "Nein, natürlich nicht", lachte Scheherazade. "Ich meinte, dass ein Drittel der Anzahl der Münzen, die er gefunden hat, plus die Zahl ⅓, die Anzahl der Münzen ist, die er genommen hat, was zufällig eine ganze Zahl ist." "Oh, ich verstehe", sagte der König. "Fahre fort!" "Nun, kurz darauf betrat Hasib den Laden und stahl ein Viertel der verbliebenen Münzen, plus ein Viertel einer Münze. Bald darauf kam Abu herein und stahl ein Fünftel der verbliebenen Münzen, plus drei Fünftel einer Münze. Schließlich kam ein anderer von Ali Babas Dieben herein und stahl die restlichen 409 Münzen. Wie viele Münzen hat Ibn gefunden?"

Dröseln wir das mal auf:

Spoiler

N=?
Ibn stiehlt N/3+1/3=(N+1)/3
Rest = N-(N+1)/3= (3N-N-1)/3=(2N-1)/3
Hasan stiehlt 1/4 vom Rest und 1/4 = (2N-1)/12+1/4=(2N-1+3)/12=(2N+2)/12=(N+1)/6
Rest = (2N-1)/3-(N+1)/6=(4N-2-N-1)/6=(3N-3)/6=(N-1)/2
Abu stiehlt 1/5 vom Rest und 3/5 also (N-1)/10+3/5= (N-1+6)/10=(N+5)/10
Rest = (N-1)/2-(N+5)/10=(5N-5-N-5)/10=(4N-10)/10=(2N-5)5=409
-> N=(409*5+5)/2= 2.050

Anzahl der Münzen = 2050
Ibn: (1366+2/3)+1/3 =1367 (Rest 683)
Hasib: (170+3/4)+1/4 = 171 (Rest 512)
Abu: (102+2/5)+3/5=103 (Rest 409)

Ja, aber

Spoiler

Du machst einen kleinen Flüchtigkeitsfehler. Und schon ist 2050 falsch.

[giffi marauder]

Es hat noch viele Rätsel in diesem Buch. Nach folgendem machen wir eine Scheherazade Pause.


"Hier ist noch eine", sagte Scheherazade. "Ibn kam einmal in einen Laden und stahl ein Drittel der Silbermünzen plus ein Drittel einer Münze." "Moment mal!", sagte der König. "Wie konnte er ein Drittel einer Münze stehlen? Hat er ein Stück abgebrochen?" "Nein, natürlich nicht", lachte Scheherazade. "Ich meinte, dass ein Drittel der Anzahl der Münzen, die er gefunden hat, plus die Zahl ⅓, die Anzahl der Münzen ist, die er genommen hat, was zufällig eine ganze Zahl ist." "Oh, ich verstehe", sagte der König. "Fahre fort!" "Nun, kurz darauf betrat Hasib den Laden und stahl ein Viertel der verbliebenen Münzen, plus ein Viertel einer Münze. Bald darauf kam Abu herein und stahl ein Fünftel der verbliebenen Münzen, plus drei Fünftel einer Münze. Schließlich kam ein anderer von Ali Babas Dieben herein und stahl die restlichen 409 Münzen. Wie viele Münzen hat Ibn gefunden?"

Dröseln wir das mal auf:

Spoiler

N=?
Ibn stiehlt N/3+1/3=(N+1)/3
Rest = N-(N+1)/3= (3N-N-1)/3=(2N-1)/3
Hasan stiehlt 1/4 vom Rest und 1/4 = (2N-1)/12+1/4=(2N-1+3)/12=(2N+2)/12=(N+1)/6
Rest = (2N-1)/3-(N+1)/6=(4N-2-N-1)/6=(3N-3)/6=(N-1)/2
Abu stiehlt 1/5 vom Rest und 3/5 also (N-1)/10+3/5= (N-1+6)/10=(N+5)/10
Rest = (N-1)/2-(N+5)/10=(5N-5-N-5)/10=(4N-10)/10=(2N-5)5=409
-> N=(409*5+5)/2= 2.050

Anzahl der Münzen = 2050
Ibn: (1366+2/3)+1/3 =1367 (Rest 683)
Hasib: (170+3/4)+1/4 = 171 (Rest 512)
Abu: (102+2/5)+3/5=103 (Rest 409)

Ja, aber

Spoiler

Du machst einen kleinen Flüchtigkeitsfehler. Und schon ist 2050 falsch.

Das kommt davon, wenn man erst am Zettel rechnet und dann die falschen Zahlen abtippt.

Spoiler

...
-> N=(409*5+5)/2= 1.025

Anzahl der Münzen = 1.025
Ibn: (341+2/3)+1/3 =342 (Rest 683)
...

[kad]

Jetzt stimmt es perfekt!

[kad]

Ich hoffe ihr habt an der folgenden Aufgabe auch Freude.

Kann Deutschland in ein Quadrat eingeschrieben werden?

Wir beziehen uns hier auf die Form von Deutschland, die durch eine (beliebige) Projektion auf eine Ebene entsteht.

Die Foristen aus Österreich und der Schweiz können die Aufgabe mit ihrem eigenen Land lösen.

[giffi marauder]

Ich hoffe ihr habt an der folgenden Aufgabe auch Freude.

Kann Deutschland in ein Quadrat eingeschrieben werden?

Wir beziehen uns hier auf die Form von Deutschland, die durch eine (beliebige) Projektion auf eine Ebene entsteht.

Die Foristen aus Österreich und der Schweiz können die Aufgabe mit ihrem eigenen Land lösen.

Musste erst mal googeln was da gemeint sein könnte.
Also die Konturlinie von D innerhalb eines Quadrats zeichnen, so dass jede Seite des Quadrates mind. an einem Punkt berührt wird?
Eine Berührung in der Ecke zählt dabei für beide Seiten.

Spoiler

Mein Ansatz wäre folgender:

Man ermittelt die zwei am weitesten vonandern entfernten Punkte auf der Kontur.
Dies ist dann die Diagonale eines Quadrates.
Dann wird dieses Quadrat so weit vergrößert, dass alle Punkte der Kontur am Rand oder innerhalb liegen.

[kad]

Genau so ist das gemeint

[Eisrose]

Ich hoffe ihr habt an der folgenden Aufgabe auch Freude.

Kann Deutschland in ein Quadrat eingeschrieben werden?

Wir beziehen uns hier auf die Form von Deutschland, die durch eine (beliebige) Projektion auf eine Ebene entsteht.

Die Foristen aus Österreich und der Schweiz können die Aufgabe mit ihrem eigenen Land lösen.

Musste erst mal googeln was da gemeint sein könnte.
Also die Konturlinie von D innerhalb eines Quadrats zeichnen, so dass jede Seite des Quadrates mind. an einem Punkt berührt wird?

Ich denke, man nimmt die maximale Nord-Süd- und Ost-West-Ausdehnung und packt diese (durch Drehung) in ein entsprechendes Quadrat.

[kad]

Ich hoffe ihr habt an der folgenden Aufgabe auch Freude.

Kann Deutschland in ein Quadrat eingeschrieben werden?

Wir beziehen uns hier auf die Form von Deutschland, die durch eine (beliebige) Projektion auf eine Ebene entsteht.

Die Foristen aus Österreich und der Schweiz können die Aufgabe mit ihrem eigenen Land lösen.

Musste erst mal googeln was da gemeint sein könnte.
Also die Konturlinie von D innerhalb eines Quadrats zeichnen, so dass jede Seite des Quadrates mind. an einem Punkt berührt wird?

Ich denke, man nimmt die maximale Nord-Süd- und Ost-West-Ausdehnung und packt diese (durch Drehung) in ein entsprechendes Quadrat.

Bei deiner Konstruktion hat man zuerst ein Rechteck.
Wieso sollte bei „Drehung „ ein Quadrat entstehen und nicht Rechtecke?

[giffi marauder]

Ich hoffe ihr habt an der folgenden Aufgabe auch Freude.

Kann Deutschland in ein Quadrat eingeschrieben werden?

Wir beziehen uns hier auf die Form von Deutschland, die durch eine (beliebige) Projektion auf eine Ebene entsteht.

Die Foristen aus Österreich und der Schweiz können die Aufgabe mit ihrem eigenen Land lösen.

Musste erst mal googeln was da gemeint sein könnte.
Also die Konturlinie von D innerhalb eines Quadrats zeichnen, so dass jede Seite des Quadrates mind. an einem Punkt berührt wird?

Ich denke, man nimmt die maximale Nord-Süd- und Ost-West-Ausdehnung und packt diese (durch Drehung) in ein entsprechendes Quadrat.

Ja, das dachte ich auch.
Kontur in Rechteck (Minima und Maxima der Koordinaten), Rechteck in Quadarat.
Dann berühren zwar die Ecken des Rechteckes das Quadrat, aber nicht zwingend die Kontur selbst.
Also rekursiv einfach weitermachen.
Gedrehte Kontur wieder in Rechteck, Rechteck wieder in neues Quadrat.
etc.
Mit der Idee, dass das Rechteck immer quadratischer wird und somit zum optimalen Quadrat konvertiert.

Da ein Rechteck aber immer genau mit 45 Grad ins Quadrat gedreht wird,
bleiben dann aber alle anderen Positionierungen aussen vor.
Für ein Minimales Quadrat reicht das wohl nicht.

[kad]

Ich hoffe ihr habt an der folgenden Aufgabe auch Freude.

Kann Deutschland in ein Quadrat eingeschrieben werden?

Wir beziehen uns hier auf die Form von Deutschland, die durch eine (beliebige) Projektion auf eine Ebene entsteht.

Die Foristen aus Österreich und der Schweiz können die Aufgabe mit ihrem eigenen Land lösen.

Musste erst mal googeln was da gemeint sein könnte.
Also die Konturlinie von D innerhalb eines Quadrats zeichnen, so dass jede Seite des Quadrates mind. an einem Punkt berührt wird?
Eine Berührung in der Ecke zählt dabei für beide Seiten.

Spoiler

Mein Ansatz wäre folgender:

Man ermittelt die zwei am weitesten vonandern entfernten Punkte auf der Kontur.
Dies ist dann die Diagonale eines Quadrates.
Dann wird dieses Quadrat so weit vergrößert, dass alle Punkte der Kontur am Rand oder innerhalb liegen.

Spoiler

Wieso sollte das Quadrat, das du mit dessen Diagonale konstruierst beim Aufblasen die Fläche einschreiben?