Rechenaufgaben

[kad]

Ich hoffe giffi ist jetzt nicht sauer.

Er hat keine Zeit sauer zu sein. Die Aufgabe ist noch nicht gelöst.

[giffi marauder]

Nein ist er natürlich nicht und da ich heute auch nicht auf Klo musste,
konnte ich die Lösung fertig erträumen.
1/x^n und x<1 ist natürlich doppelt gemoppelt.

Hier also schön aufgedröselt in Vorkomma (V) und Nachkommabereich(N)
(√2+1)^n = [V]+[N]

Spoiler

(√2+1)^n = [(√2+1)^n + (√2 - 1)^n -1] + [1 - (√2 - 1)^n]

Und da (√2 - 1)^n gegen 0 konvergiert, konvergiert der Nachkommabereich gegen 1
womit bei hinreichend großem n ziemlich viele 9'er hinter dem Komma stehen.

Eigentlich ziemlich einfach.

Ob jetzt bei n=500 die 98.Stelle der letzte 9'er ist oder ob das auch schon bei kleinerem n so wäre,
mag jetzt Eisrose beantworten.

[kad]

Nein ist er natürlich nicht und da ich heute auch nicht auf Klo musste,
konnte ich die Lösung fertig erträumen.
1/x^n und x<1 ist natürlich doppelt gemoppelt.

Hier also schön aufgedröselt in Vorkomma (V) und Nachkommabereich(N)
(√2+1)^n = [V]+[N]

Spoiler

(√2+1)^n = [(√2+1)^n + (√2 - 1)^n -1] + [1 - (√2 - 1)^n]

Und da (√2 - 1)^n gegen 0 konvergiert, konvergiert der Nachkommabereich gegen 1
womit bei hinreichend großem n ziemlich viele 9'er hinter dem Komma stehen.

Eigentlich ziemlich einfach.

Ob jetzt bei n=500 die 98.Stelle der letzte 9'er ist oder ob das auch schon bei kleinerem n so wäre,
mag jetzt Eisrose beantworten.

Spoiler

Richtig.
Man könnte noch folgern

(√2 - 1)^500 < (1/2)^500 < ((1/2)^5)^100 < 10^(-100), womit dann klar ist, dass die 98. Stelle eine 9 ist.

[kad]

Ihr sagt, ob ihr eine Pause wollt, oder ob ich das nächste Rätsel stellen soll. Und: ich stelle nicht nur gerne Rätsel, ich löse auch gerne. Noten für Lösungen habe ich schon lange nicht mehr bekommen - wäre mal wieder etwas.

[kad]

Ungefragt ein Rätsel. Wer ist wer?

Eine löst, einer validiert, einer kommentiert.

[giffi marauder]

Ungefragt ein Rätsel. Wer ist wer?

Eine löst, einer validiert, einer kommentiert.

Na, jetzt wirds aber persönlich.

[giffi marauder]

Hier eines meiner Lieblingsrätsel.
(Hatten wir aber schon mal noch im alten PR-Forum)

100 Ameisen werden auf einen fünf Meter langen, geraden Ast gesetzt.
Jede Ameise wählt (zufällig) links oder rechts als Laufrichtung, und läuft dann mit einer Geschwindigkeit von 1 Meter pro Minute in diese Richtung. Immer wenn zwei Ameisen auf einander treffen, drehen beide um und laufen dann in die Gegenrichtung weiter.
Wenn eine Ameise ein Astende erreicht, dann fällt sie vom Ast.

Wie lange dauert es höchstens, bis alle Ameisen runtergefallen sind.

[giffi marauder]

Ob jetzt bei n=500 die 98.Stelle der letzte 9'er ist oder ob das auch schon bei kleinerem n so wäre,
mag jetzt Eisrose beantworten.

Bei n=500 bis zur 191. Nachkommastelle: alles Neunen! Bei n=400 bis zur 153. Nachkommastelle: alles Neunen!

[Eisrose]

Hier eines meiner Lieblingsrätsel.
(Hatten wir aber schon mal noch im alten PR-Forum)

100 Ameisen werden auf einen fünf Meter langen, geraden Ast gesetzt.
Jede Ameise wählt (zufällig) links oder rechts als Laufrichtung, und läuft dann mit einer Geschwindigkeit von 1 Meter pro Minute in diese Richtung. Immer wenn zwei Ameisen auf einander treffen, drehen beide um und laufen dann in die Gegenrichtung weiter.
Wenn eine Ameise ein Astende erreicht, dann fällt sie vom Ast.

Wie lange dauert es höchstens, bis alle Ameisen runtergefallen sind.

Spoiler

Also meine spontane Vermutung wäre 5 Minuten. Das ist die Zeit, die eine Ameise benötigt, um von einem Astende zum anderen Astende zu laufen, wenn alle Ameisen in der gleichen Richtung laufen. Meine Vermutung wäre, dass das nicht länger wird, wenn die Ameisen beim Aufeinandertreffen die Richtung wechseln.

[kad]

Hier eines meiner Lieblingsrätsel.
(Hatten wir aber schon mal noch im alten PR-Forum)

100 Ameisen werden auf einen fünf Meter langen, geraden Ast gesetzt.
Jede Ameise wählt (zufällig) links oder rechts als Laufrichtung, und läuft dann mit einer Geschwindigkeit von 1 Meter pro Minute in diese Richtung. Immer wenn zwei Ameisen auf einander treffen, drehen beide um und laufen dann in die Gegenrichtung weiter.
Wenn eine Ameise ein Astende erreicht, dann fällt sie vom Ast.

Wie lange dauert es höchstens, bis alle Ameisen runtergefallen sind.

Spoiler

Ich bin auch für 5 Minuten (die Zeit, welche eine Ameise braucht, um 5 Meter zurückzulegen).
Wenn sich zwei Ameisen treffen, wechseln sie die Richtung. Weil die Ameisen ununterscheidbar sind, entspricht das aber einem “Durchwandern” und somit sind die Kollisionen nicht relevant.

[giffi marauder]

Hier eines meiner Lieblingsrätsel.
(Hatten wir aber schon mal noch im alten PR-Forum)

100 Ameisen werden auf einen fünf Meter langen, geraden Ast gesetzt.
Jede Ameise wählt (zufällig) links oder rechts als Laufrichtung, und läuft dann mit einer Geschwindigkeit von 1 Meter pro Minute in diese Richtung. Immer wenn zwei Ameisen auf einander treffen, drehen beide um und laufen dann in die Gegenrichtung weiter.
Wenn eine Ameise ein Astende erreicht, dann fällt sie vom Ast.

Wie lange dauert es höchstens, bis alle Ameisen runtergefallen sind.

Spoiler

Ich bin auch für 5 Minuten (die Zeit, welche eine Ameise braucht, um 5 Meter zurückzulegen).
Wenn sich zwei Ameisen treffen, wechseln sie die Richtung. Weil die Ameisen ununterscheidbar sind, entspricht das aber einem “Durchwandern” und somit sind die Kollisionen nicht relevant.

"...Weil die Ameisen ununterscheidbar sind,..."
Ok, wir malen eine Ameise rot an.

[kad]

Hier eines meiner Lieblingsrätsel.
(Hatten wir aber schon mal noch im alten PR-Forum)

100 Ameisen werden auf einen fünf Meter langen, geraden Ast gesetzt.
Jede Ameise wählt (zufällig) links oder rechts als Laufrichtung, und läuft dann mit einer Geschwindigkeit von 1 Meter pro Minute in diese Richtung. Immer wenn zwei Ameisen auf einander treffen, drehen beide um und laufen dann in die Gegenrichtung weiter.
Wenn eine Ameise ein Astende erreicht, dann fällt sie vom Ast.

Wie lange dauert es höchstens, bis alle Ameisen runtergefallen sind.

Spoiler

Ich bin auch für 5 Minuten (die Zeit, welche eine Ameise braucht, um 5 Meter zurückzulegen).
Wenn sich zwei Ameisen treffen, wechseln sie die Richtung. Weil die Ameisen ununterscheidbar sind, entspricht das aber einem “Durchwandern” und somit sind die Kollisionen nicht relevant.

"...Weil die Ameisen ununterscheidbar sind,..."
Ok, wir malen eine Ameise rot an.

Ok. Bei einer Kollision von Ameise a1 mit Ameise a2, tauschen wir Merkmal m1 von Ameise a1 mit dem Merkmal m2 von Ameise a2. Ameise a1 hat dann Merkmal m2 und Ameise a2 Merkmal m1.
Sieht doch wie durchwandern aus, oder?

[Tell Sackett]

Spoiler

Da die längst anzunehmende Strecke 5 m sind, würde ich auch sagen, dass es max. 5 Minuten dauert.
(Je Nachdem *wo* die Ameisen abgesetzt werden, ist eigendlich alles möglich zwischen 0 - 5 Minuten, oder?)

[giffi marauder]

Hier eines meiner Lieblingsrätsel.
(Hatten wir aber schon mal noch im alten PR-Forum)

100 Ameisen werden auf einen fünf Meter langen, geraden Ast gesetzt.
Jede Ameise wählt (zufällig) links oder rechts als Laufrichtung, und läuft dann mit einer Geschwindigkeit von 1 Meter pro Minute in diese Richtung. Immer wenn zwei Ameisen auf einander treffen, drehen beide um und laufen dann in die Gegenrichtung weiter.
Wenn eine Ameise ein Astende erreicht, dann fällt sie vom Ast.

Wie lange dauert es höchstens, bis alle Ameisen runtergefallen sind.

Spoiler

Ich bin auch für 5 Minuten (die Zeit, welche eine Ameise braucht, um 5 Meter zurückzulegen).
Wenn sich zwei Ameisen treffen, wechseln sie die Richtung. Weil die Ameisen ununterscheidbar sind, entspricht das aber einem “Durchwandern” und somit sind die Kollisionen nicht relevant.

"...Weil die Ameisen ununterscheidbar sind,..."
Ok, wir malen eine Ameise rot an.

Ok. Bei einer Kollision von Ameise a1 mit Ameise a2, tauschen wir Merkmal m1 von Ameise a1 mit dem Merkmal m2 von Ameise a2. Ameise a1 hat dann Merkmal m2 und Ameise a2 Merkmal m1.
Sieht doch wie durchwandern aus, oder?

Spoiler

Richtig, aber ob die Ameisen unterscheidbar sind oder nicht, spielt keine Rolle.
Man könnte auch den Bewegungsimpuls austauschen oder jeder Ameise ein gleiches Fähnchen in die Hand drücken,
das bei Begegnung übergeben wird.
Was immer "es" auch ist, "es" bewegt sich somit gleichförmig maximal einmal von einem Ende zum anderen und weg ist "es".
Samt "seiner" Träger-Ameise.
Dies gilt für jedes der 100 "es" und somit auch für jede der 100 Ameisen.
Damit sind die 5 Minuten richtig.

[Eisrose]

Spoiler

Richtig, aber ob die Ameisen unterscheidbar sind oder nicht, spielt keine Rolle.
Man könnte auch den Bewegungsimpuls austauschen oder jeder Ameise ein gleiches Fähnchen in die Hand drücken,
das bei Begegnung übergeben wird.
Was immer "es" auch ist, "es" bewegt sich somit gleichförmig maximal einmal von einem Ende zum anderen und weg ist "es".
Samt "seiner" Träger-Ameise.
Dies gilt für jedes der 100 "es" und somit auch für jede der 100 Ameisen.
Damit sind die 5 Minuten richtig.

Spoiler

Jetzt hab ich auch verstanden warum 5 Minuten die maximale Zeit ist. Wenn es zum Aufeinandertreffen zwischen zwei Ameisen kommt, spielt es überhaupt keine Rolle, ob die Ameisen aneinander vorbeilaufen oder jeweils in die entgegengesetzte Richtung. Im letzteren Fall läuft die eine Ameise sozusagen für die andere weiter. Also länger als 5 m kanns nie werden.