Rechenaufgaben

[giffi marauder]

Im Schach-Retroanalyse Problembuch von Raymond Smullyan (die Schachgeheimnisse des Kalifen) ist das das erste Rätsel. R. Smullyan kennt man auch vom Buch “Dame oder Tiger”.

Smullyan?
War da nicht mal was mit Vögel.
Ah das, aus dem Jahr 1986

[kad]

Im Schach-Retroanalyse Problembuch von Raymond Smullyan (die Schachgeheimnisse des Kalifen) ist das das erste Rätsel. R. Smullyan kennt man auch vom Buch “Dame oder Tiger”.

Smullyan?
War da nicht mal was mit Vögel.
Ah das, aus dem Jahr 1986

Genau. Und er hat noch einige andere Bücher geschrieben und immer wieder die Gödel Resultate anschaulich dargestellt.

[kad]

Für alle, die sich beim gossip Rätsel langweilen:
Finde die 98. Nachkommastelle von (√2 + 1)^500, in Dezimaldarstellung.

Wenn ich den Überblick behalten habe ist dieses Rätsel noch offen. Und da kann man sogar etwas rechnen. Keine höhere Mathematik. Wer sich an den binomischen Lehrsatz erinnern kann ist im Vorteil.
Und damit die Formel nicht falsch verstanden wird (ich schaffte es nicht 500 hochzustellen..)
Wurzel aus 2. 1 dazuzählen. Das Resultat hoch 500.

Mit Mathematica oder mit einem perl Programm kann man die 98. Stelle sicher berechnen.
Mit “Und da kann man sogar etwas rechnen” hatte ich etwas einfacheres gemeint.
Vielleicht könnte man neben (√2 + 1)^500 auch (√2 - 1)^500 betrachten …….

[kad]

Für alle, die sich beim gossip Rätsel langweilen:
Finde die 98. Nachkommastelle von (√2 + 1)^500, in Dezimaldarstellung.

Wenn ich den Überblick behalten habe ist dieses Rätsel noch offen. Und da kann man sogar etwas rechnen. Keine höhere Mathematik. Wer sich an den binomischen Lehrsatz erinnern kann ist im Vorteil.
Und damit die Formel nicht falsch verstanden wird (ich schaffte es nicht 500 hochzustellen..)
Wurzel aus 2. 1 dazuzählen. Das Resultat hoch 500.

Mit Mathematica oder mit einem perl Programm kann man die 98. Stelle sicher berechnen.
Mit “Und da kann man sogar etwas rechnen” hatte ich etwas einfacheres gemeint.
Vielleicht könnte man neben (√2 + 1)^500 auch (√2 - 1)^500 betrachten …….

Oder noch besser (1 - √2)^500….

[Eisrose]

Mit Mathematica oder mit einem perl Programm kann man die 98. Stelle sicher berechnen.

Ja, mit einem Perlprogramm kann man das berechnen. Das meinte ich ja oben mit "ich habe das mittels Math::BigFloat in Perl mal einfach ausgerechnet", lach.

Code: Alles auswählen

use strict;
use warnings;
use Math::BigFloat;

Math::BigFloat->precision(500);
Math::BigFloat->accuracy(500);

my $sqrt2 = Math::BigFloat->new(2)->bsqrt();
my $result = ($sqrt2 + 1) ** 500;

print $result."\n";

$result =~ s/^[^\.]*\.//; 
print substr($result, 97, 1);

Da ich jetzt auch die Präzision auf 500 setzen konnte (dazu braucht man accuracy()), bin ich mir sogar sicher, dass das Ergebnis jetzt stimmt. Es bleibt dabei:

Spoiler

In meinem Ergebnis kommen übrigens jede Menge Neunen vor, lach. Die 98. Stelle ist danach eine Neun. Die 66. Stelle oder 133. Stelle übrigens auch, da bis zur 191. Nachkommastelle alles Neunen sind. Erst dann wirds differenzierter.

Spoiler

Die ganze Zahl lautet dann übrigens:

244254553588842220385395292592936109606544808081936362405412237371804894769294838323696719826269906861217826508363714319509177459225906338471437527755495751851514445446410167328362725686851873.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999590591051299982417925158384426887587195230466456822005032412583541345643868438992942207495842407616445621588178152501

Mit “Und da kann man sogar etwas rechnen” hatte ich etwas einfacheres gemeint.

Das in einen Computer einzutippen IST einfacher, lach.

[Eisrose]

Oder noch besser (1 - √2)^500….

Ja. Da sieht mans deutlich:

Spoiler

0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000040940894870001758207484161557311241280476953354317799496758741645865435613156100705779250415759238355437841182184732008484820136391802309270670667108453426131077510807455391966871348522790299647368800009792393228806237481957649145772192122994705327477333301036080935804366180707318751385950414977601232011452540164479519929595920901327466286308329087687603288495181017429368634869184916768197685066212104135234356860194746096477095829253691414031725293976382303197484875002345856457965732572942936333

[kad]

Ja, mit einem Perlprogramm kann man das berechnen. Das meinte ich ja oben mit "ich habe das mittels Math::BigFloat in Perl mal einfach ausgerechnet", lach.

Code: Alles auswählen

use strict;
use warnings;
use Math::BigFloat;

Math::BigFloat->precision(500);
Math::BigFloat->accuracy(500);

my $sqrt2 = Math::BigFloat->new(2)->bsqrt();
my $result = ($sqrt2 + 1) ** 500;

print $result."\n";

$result =~ s/^[^\.]*\.//; 
print substr($result, 97, 1);

Da ich jetzt auch die Präzision auf 500 setzen konnte (dazu braucht man accuracy()), bin ich mir sogar sicher, dass das Ergebnis jetzt stimmt. Es bleibt dabei:

Spoiler

In meinem Ergebnis kommen übrigens jede Menge Neunen vor, lach. Die 98. Stelle ist danach eine Neun. Die 66. Stelle oder 133. Stelle übrigens auch, da bis zur 191. Nachkommastelle alles Neunen sind. Erst dann wirds differenzierter.

Spoiler

Die ganze Zahl lautet dann übrigens:

244254553588842220385395292592936109606544808081936362405412237371804894769294838323696719826269906861217826508363714319509177459225906338471437527755495751851514445446410167328362725686851873.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999590591051299982417925158384426887587195230466456822005032412583541345643868438992942207495842407616445621588178152501

Ja, du hast schon gestern die richtige Lösung angegeben. Du bist schnell.
Wer Zeit und Lust hat, kann versuchen die Aufgabe mit Bleistift und Papier zu lösen.
Dazu könnte man die Zahl
(1 + √2)^500 + (1 - √2)^500 betrachten.

[Eisrose]

Ja, du hast schon gestern die richtige Lösung angegeben. Du bist schnell.

Das in einen Taschenrechner (Computer) einzugeben ist vielleicht schnell aber nicht originell, lach.

[giffi marauder]

Ja, mit einem Perlprogramm kann man das berechnen. Das meinte ich ja oben mit "ich habe das mittels Math::BigFloat in Perl mal einfach ausgerechnet", lach.

Code: Alles auswählen

use strict;
use warnings;
use Math::BigFloat;

Math::BigFloat->precision(500);
Math::BigFloat->accuracy(500);

my $sqrt2 = Math::BigFloat->new(2)->bsqrt();
my $result = ($sqrt2 + 1) ** 500;

print $result."\n";

$result =~ s/^[^\.]*\.//; 
print substr($result, 97, 1);

Da ich jetzt auch die Präzision auf 500 setzen konnte (dazu braucht man accuracy()), bin ich mir sogar sicher, dass das Ergebnis jetzt stimmt. Es bleibt dabei:

Spoiler

In meinem Ergebnis kommen übrigens jede Menge Neunen vor, lach. Die 98. Stelle ist danach eine Neun. Die 66. Stelle oder 133. Stelle übrigens auch, da bis zur 191. Nachkommastelle alles Neunen sind. Erst dann wirds differenzierter.

Spoiler

Die ganze Zahl lautet dann übrigens:

244254553588842220385395292592936109606544808081936362405412237371804894769294838323696719826269906861217826508363714319509177459225906338471437527755495751851514445446410167328362725686851873.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999590591051299982417925158384426887587195230466456822005032412583541345643868438992942207495842407616445621588178152501

Ja, du hast schon gestern die richtige Lösung angegeben. Du bist schnell.
Wer Zeit und Lust hat, kann versuchen die Aufgabe mit Bleistift und Papier zu lösen.
Dazu könnte man die Zahl
(1 + √2)^500 + (1 - √2)^500 betrachten.

Wie könnte man es ohne "rechnen" sondern mit Mathe lösen.
Gesucht ist die 98. Stelle von (einer irrationalen Zahl deren Nachkommastellen wir nicht kennen +1)^500
Da diese Zahl sehr groß ist, ist deren 98. Nachkommastelle wohl selbst nicht direkt bestimmbar, sondern möglicherweise
indirekt durch Konvergenz hin zu einer natürlichen Zahl.
Also entweder ist dann die 98. Nachkommastelle die 0 wie in N+0,0000.....,y
oder die 9 wie in N-0,00000....y= N-1+0,99999..............

Diese Zahl könnte also ganz allgemein als G(n)-1/x^n geschrieben werden.
Wobei x< 1 sein müsste.

(√2+1)^n + (√2 - 1)^n mit n=2k (also gerade) ist jedenfalls ein Ganzahl, da sich die ungeraden Potenzen aufheben.

Weiters ist (√2 - 1) <1 und somit ein nicht ungeeigneter Kandidat für die Konvergenz wäre.
Eine hübsche Formel für unser Problem wäre demnach
(√2+1)^n+ (√2 - 1)^n - 1/(√2 - 1)^n

Weiters ist (√2+1)^n * (√2 - 1)^n = ((√2+1) * (√2 - 1))^n = (2-1)^n =1

Also setzen wir das mal für die 1 im dritten Term ein.
(√2+1)^n * (√2 - 1)^n/(√2 - 1)^n = (√2+1)^n
Unsere Gesamtzahl wäre damit
(√2+1)^n + (√2 - 1)^n -(√2 + 1)^n = (√2 - 1)^n


Shit.

[kad]

Ja, mit einem Perlprogramm kann man das berechnen. Das meinte ich ja oben mit "ich habe das mittels Math::BigFloat in Perl mal einfach ausgerechnet", lach.

Code: Alles auswählen

use strict;
use warnings;
use Math::BigFloat;

Math::BigFloat->precision(500);
Math::BigFloat->accuracy(500);

my $sqrt2 = Math::BigFloat->new(2)->bsqrt();
my $result = ($sqrt2 + 1) ** 500;

print $result."\n";

$result =~ s/^[^\.]*\.//; 
print substr($result, 97, 1);

Da ich jetzt auch die Präzision auf 500 setzen konnte (dazu braucht man accuracy()), bin ich mir sogar sicher, dass das Ergebnis jetzt stimmt. Es bleibt dabei:

Spoiler

In meinem Ergebnis kommen übrigens jede Menge Neunen vor, lach. Die 98. Stelle ist danach eine Neun. Die 66. Stelle oder 133. Stelle übrigens auch, da bis zur 191. Nachkommastelle alles Neunen sind. Erst dann wirds differenzierter.

Spoiler

Die ganze Zahl lautet dann übrigens:

244254553588842220385395292592936109606544808081936362405412237371804894769294838323696719826269906861217826508363714319509177459225906338471437527755495751851514445446410167328362725686851873.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999590591051299982417925158384426887587195230466456822005032412583541345643868438992942207495842407616445621588178152501

Ja, du hast schon gestern die richtige Lösung angegeben. Du bist schnell.
Wer Zeit und Lust hat, kann versuchen die Aufgabe mit Bleistift und Papier zu lösen.
Dazu könnte man die Zahl
(1 + √2)^500 + (1 - √2)^500 betrachten.

Wie könnte man es ohne "rechnen" sondern mit Mathe lösen.
Gesucht ist die 98. Stelle von (einer irrationalen Zahl deren Nachkommastellen wir nicht kennen +1)^500
Da diese Zahl sehr groß ist, ist deren 98. Nachkommastelle wohl selbst nicht direkt bestimmbar, sondern möglicherweise
indirekt durch Konvergenz hin zu einer natürlichen Zahl.
Also entweder ist dann die 98. Nachkommastelle die 0 wie in N+0,0000.....,y
oder die 9 wie in N-0,00000....y= N-1+0,99999..............

Diese Zahl könnte also ganz allgemein als G(n)-1/x^n geschrieben werden.
Wobei x< 1 sein müsste.

(√2+1)^n + (√2 - 1)^n mit n=2k (also gerade) ist jedenfalls ein Ganzahl, da sich die ungeraden Potenzen aufheben.

Weiters ist (√2 - 1) <1 und somit ein nicht ungeeigneter Kandidat für die Konvergenz wäre.
Eine hübsche Formel für unser Problem wäre demnach
(√2+1)^n+ (√2 - 1)^n - 1/(√2 - 1)^n

Weiters ist (√2+1)^n * (√2 - 1)^n = ((√2+1) * (√2 - 1))^n = (2-1)^n =1

Also setzen wir das mal für die 1 im dritten Term ein.
(√2+1)^n * (√2 - 1)^n/(√2 - 1)^n = (√2+1)^n
Unsere Gesamtzahl wäre damit
(√2+1)^n + (√2 - 1)^n -(√2 + 1)^n = (√2 - 1)^n


Shit.

Zweigen wir nach
“Weiters ist (√2 - 1) <1 …”
nicht ab, sondern bleiben noch bei dieser Zahl. Man könnte sie mit 2k potenzieren. Wie gross ist sie dann etwa?

[Cybermancer]

Wie könnte man es ohne "rechnen" sondern mit Mathe lösen.
Gesucht ist die 98. Stelle von (einer irrationalen Zahl deren Nachkommastellen wir nicht kennen +1)^500
Da diese Zahl sehr groß ist, ist deren 98. Nachkommastelle wohl selbst nicht direkt bestimmbar, sondern möglicherweise
indirekt durch Konvergenz hin zu einer natürlichen Zahl.
Also entweder ist dann die 98. Nachkommastelle die 0 wie in N+0,0000.....,y
oder die 9 wie in N-0,00000....y= N-1+0,99999..............

Musst du explizit zeigen.
Die Konvergenzgeschwindigkeit kann sehr langsam sein.

Diese Zahl könnte also ganz allgemein als G(n)-1/x^n geschrieben werden.
Wobei x< 1 sein müsste.

G(n) nicht definiert, x nicht definiert. Ich nehme mal an das G(n) = (2^(1/2) +1) + (2^(1/2) -1) und x = (2^(1/2) +1)

(√2+1)^n + (√2 - 1)^n mit n=2k (also gerade) ist jedenfalls ein Ganzahl, da sich die ungeraden Potenzen aufheben.

Korrekt

Weiters ist (√2 - 1) <1 und somit ein nicht ungeeigneter Kandidat für die Konvergenz wäre.
Eine hübsche Formel für unser Problem wäre demnach
(√2+1)^n+ (√2 - 1)^n - 1/(√2 - 1)^n

Falsch! Da (meiner Vermutung entsprechend) x= (2^(1/2) +1) ist 1/x = (2^(1/2) -1), da wie unten ausgeführt ( (2^(1/2) +1)*(2^(1/2) -1) = 1

Weiters ist (√2+1)^n * (√2 - 1)^n = ((√2+1) * (√2 - 1))^n = (2-1)^n =1

Also setzen wir das mal für die 1 im dritten Term ein.
(√2+1)^n * (√2 - 1)^n/(√2 - 1)^n = (√2+1)^n
Unsere Gesamtzahl wäre damit
(√2+1)^n + (√2 - 1)^n -(√2 + 1)^n = (√2 - 1)^n

Gegenbeispiel: (√2+1)/(√2 - 1) != 1

Shit.

Ich gebe dir mal einen halben Punkt für den inspirierten Versuch.

[Cybermancer]

Mit Mathematica oder mit einem perl Programm kann man die 98. Stelle sicher berechnen.

Ja, mit einem Perlprogramm kann man das berechnen. Das meinte ich ja oben mit "ich habe das mittels Math::BigFloat in Perl mal einfach ausgerechnet", lach.

Code: Alles auswählen

use strict;
use warnings;
use Math::BigFloat;

Math::BigFloat->precision(500);
Math::BigFloat->accuracy(500);

my $sqrt2 = Math::BigFloat->new(2)->bsqrt();
my $result = ($sqrt2 + 1) ** 500;

print $result."\n";

$result =~ s/^[^\.]*\.//; 
print substr($result, 97, 1);

Da ich jetzt auch die Präzision auf 500 setzen konnte (dazu braucht man accuracy()), bin ich mir sogar sicher, dass das Ergebnis jetzt stimmt. Es bleibt dabei:

Spoiler

In meinem Ergebnis kommen übrigens jede Menge Neunen vor, lach. Die 98. Stelle ist danach eine Neun. Die 66. Stelle oder 133. Stelle übrigens auch, da bis zur 191. Nachkommastelle alles Neunen sind. Erst dann wirds differenzierter.

Spoiler

Die ganze Zahl lautet dann übrigens:

244254553588842220385395292592936109606544808081936362405412237371804894769294838323696719826269906861217826508363714319509177459225906338471437527755495751851514445446410167328362725686851873.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999590591051299982417925158384426887587195230466456822005032412583541345643868438992942207495842407616445621588178152501

Mit “Und da kann man sogar etwas rechnen” hatte ich etwas einfacheres gemeint.

Das in einen Computer einzutippen IST einfacher, lach.

Da fehlen mir noch Komplexitäts und Fehlerbetrachtungen 3 von 5 Punkten.

[giffi marauder]

Ich gebe dir mal einen halben Punkt für den inspirierten Versuch.

Vielen Dank Herr Professor.
Der Frau Gattin gehts gut?
Die Kinder sind wohlauf?
Sehr schön.
Ach, den Sommer über sind Sie nur ganz schwer erreichbar?
Das freut mich.

[Cybermancer]

Ich gebe dir mal einen halben Punkt für den inspirierten Versuch.

Vielen Dank Herr Professor.
Der Frau Gattin gehts gut?
Die Kinder sind wohlauf?
Sehr schön.
Ach, den Sommer über sind Sie nur ganz schwer erreichbar?
Das freut mich.

[Cybermancer]

Ich hoffe giffi ist jetzt nicht sauer.