Rechenaufgaben

[giffi marauder]

Zeichne 20 zufällige Punkte auf den Umfang eines Kreises. Verbinde dann jeden Punkt mit einem zufälligen, nicht verbundenen Punkt. Das Ergebnis sind zehn zufällige Sehnen im Kreis. Wie viele Schnittpunkte erwartest du im Durchschnitt?

Spoiler

Erste Gedanken dazu.
Nehmen wir an, der Umfang des Kreises wäre 1.
dann teilt der zweite Punkt der ersten Sehne den Umfang in zwei Teilstrecken a und b.
Fallen die beiden Punkte für die 2. Sehne in den gleich Abschnitt, gibts keinen Schnittpunkt (w0=a²+b²)
Fallen sie in zwei Verschiedene dann schon (w1=2ab)

Die durchschnittliche Längen von a und b dürften wohl ca. 1/2 sein.
womit bei 2 Sehnen die Wahrscheinlichkeit für einen Schnittpunkt bei 2*1/4 also ebenfalls 1/2 liegen dürfte.

Die Wahrscheinlichkeit dass ein Schnittpunkt existiert liegt also bei 50%.
Die Maximalzahl der Schnittpunte ist 55 (10*11/2)

Also ist die Antwort vermutlich 27,5 Schnittpunkte bei 20 Punkte/10 Sehnen.

[kad]

Zeichne 20 zufällige Punkte auf den Umfang eines Kreises. Verbinde dann jeden Punkt mit einem zufälligen, nicht verbundenen Punkt. Das Ergebnis sind zehn zufällige Sehnen im Kreis. Wie viele Schnittpunkte erwartest du im Durchschnitt?

Spoiler

Erste Gedanken dazu.
Nehmen wir an, der Umfang des Kreises wäre 1.
dann teilt der zweite Punkt der ersten Sehne den Umfang in zwei Teilstrecken a und b.
Fallen die beiden Punkte für die 2. Sehne in den gleich Abschnitt, gibts keinen Schnittpunkt (w0=a²+b²)
Fallen sie in zwei Verschiedene dann schon (w1=2ab)

Die durchschnittliche Längen von a und b dürften wohl ca. 1/2 sein.
womit bei 2 Sehnen die Wahrscheinlichkeit für einen Schnittpunkt bei 2*1/4 also ebenfalls 1/2 liegen dürfte.

Die Wahrscheinlichkeit dass ein Schnittpunkt existiert liegt also bei 50%.
Die Maximalzahl der Schnittpunte ist 55 (10*11/2)

Also ist die Antwort vermutlich 27,5 Schnittpunkte bei 20 Punkte/10 Sehnen.

Spoiler

womit bei 2 Sehnen die Wahrscheinlichkeit für einen Schnittpunkt bei 2*1/4 also ebenfalls 1/2 liegen dürfte

Rechnen wir anders. Wählen wir 4 zufällige Punkte auf dem Kreis. Nennen wir einer der Punkte A. Der kann für eine Sehne (zufällig) mit einem der 3 anderen Punkte verbunden werden.
Bei einer Wahl werden sich die Sehnen schneiden. Bei den anderen 2 Wahlen nicht,
Daher ist die Wahrscheinlichkeit für einen Schnittpunkt 1/3.
……

[giffi marauder]

Zeichne 20 zufällige Punkte auf den Umfang eines Kreises. Verbinde dann jeden Punkt mit einem zufälligen, nicht verbundenen Punkt. Das Ergebnis sind zehn zufällige Sehnen im Kreis. Wie viele Schnittpunkte erwartest du im Durchschnitt?

Spoiler

Erste Gedanken dazu.
Nehmen wir an, der Umfang des Kreises wäre 1.
dann teilt der zweite Punkt der ersten Sehne den Umfang in zwei Teilstrecken a und b.
Fallen die beiden Punkte für die 2. Sehne in den gleich Abschnitt, gibts keinen Schnittpunkt (w0=a²+b²)
Fallen sie in zwei Verschiedene dann schon (w1=2ab)

Die durchschnittliche Längen von a und b dürften wohl ca. 1/2 sein.
womit bei 2 Sehnen die Wahrscheinlichkeit für einen Schnittpunkt bei 2*1/4 also ebenfalls 1/2 liegen dürfte.

Die Wahrscheinlichkeit dass ein Schnittpunkt existiert liegt also bei 50%.
Die Maximalzahl der Schnittpunte ist 55 (10*11/2)

Also ist die Antwort vermutlich 27,5 Schnittpunkte bei 20 Punkte/10 Sehnen.

Spoiler

womit bei 2 Sehnen die Wahrscheinlichkeit für einen Schnittpunkt bei 2*1/4 also ebenfalls 1/2 liegen dürfte

Rechnen wir anders. Wählen wir 4 zufällige Punkte auf dem Kreis. Nennen wir einer der Punkte A. Der kann für eine Sehne (zufällig) mit einem der 3 anderen Punkte verbunden werden.
Bei einer Wahl werden sich die Sehnen schneiden. Bei den anderen 2 Wahlen nicht,
Daher ist die Wahrscheinlichkeit für einen Schnittpunkt 1/3.
……

Ja, das klingt auch logisch.

[kad]

Zeichne 20 zufällige Punkte auf den Umfang eines Kreises. Verbinde dann jeden Punkt mit einem zufälligen, nicht verbundenen Punkt. Das Ergebnis sind zehn zufällige Sehnen im Kreis. Wie viele Schnittpunkte erwartest du im Durchschnitt?

Spoiler

Erste Gedanken dazu.
Nehmen wir an, der Umfang des Kreises wäre 1.
dann teilt der zweite Punkt der ersten Sehne den Umfang in zwei Teilstrecken a und b.
Fallen die beiden Punkte für die 2. Sehne in den gleich Abschnitt, gibts keinen Schnittpunkt (w0=a²+b²)
Fallen sie in zwei Verschiedene dann schon (w1=2ab)

Die durchschnittliche Längen von a und b dürften wohl ca. 1/2 sein.
womit bei 2 Sehnen die Wahrscheinlichkeit für einen Schnittpunkt bei 2*1/4 also ebenfalls 1/2 liegen dürfte.

Die Wahrscheinlichkeit dass ein Schnittpunkt existiert liegt also bei 50%.
Die Maximalzahl der Schnittpunte ist 55 (10*11/2)

Also ist die Antwort vermutlich 27,5 Schnittpunkte bei 20 Punkte/10 Sehnen.

Spoiler

womit bei 2 Sehnen die Wahrscheinlichkeit für einen Schnittpunkt bei 2*1/4 also ebenfalls 1/2 liegen dürfte

Rechnen wir anders. Wählen wir 4 zufällige Punkte auf dem Kreis. Nennen wir einer der Punkte A. Der kann für eine Sehne (zufällig) mit einem der 3 anderen Punkte verbunden werden.
Bei einer Wahl werden sich die Sehnen schneiden. Bei den anderen 2 Wahlen nicht,
Daher ist die Wahrscheinlichkeit für einen Schnittpunkt 1/3.
……

Ja, das klingt auch logisch.

Spoiler

Dein Ansatz führt auch zu 1/3

Eine Sehne wird durch ihre beiden Endpunkte bestimmt. Betrachten wir also zwei Paare von Endpunkten (A, B) und (C, D). Da diese zufällig ausgewählt werden, können wir sequenziell vorgehen. Nachdem A und B zufällig ausgewählt wurden, bedeutet die Auswahl von C und D, sodass sich die Sehnen schneiden, entweder, dass C zwischen A und C und D nicht zwischen ihnen ausgewählt wird, oder das Gegenteil: dass C nicht zwischen, sondern D zwischen A und B ausgewählt wird.

Sei x die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt zwischen A und B auszuwählen; dann ist 1-x die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt außerhalb von A und B auszuwählen.

Die Sehnen schneiden sich mit der Wahrscheinlichkeit x(1-x) + (1-x)x = 2x - x^2.

Die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit ist das Integral von 2x - x^2 über das Einheitsintervall [0,1]. Dies ist x^2 - (2/3)x^3, berechnet bei 1 minus seinem Wert bei 0, also 1- 2/3 - 0 = 1/3.


Und wieviele Schnittpunkte erwartest du nun im Durchschnitt?

[kad]

Eher einfach

Finde vierundzwanzig positive ganze Zahlen, deren Summe ihrem Produkt entspricht.

[Eisrose]

Eher einfach

Finde vierundzwanzig positive ganze Zahlen, deren Summe ihrem Produkt entspricht.

Spoiler

Die Lösung hat wohl viele Einsen...

[kad]

Eher einfach

Finde vierundzwanzig positive ganze Zahlen, deren Summe ihrem Produkt entspricht.

Spoiler

Die Lösung hat wohl viele Einsen...

Ja, das stimmt.