Rechenaufgaben

[kad]

Wähle n Zahlen gleichmäßig zufällig aus dem Einheitsintervall [0,1]. Was ist der Erwartungswert ihres Minimums?

Lösung

Spoiler

Die Antwort lautet 1/(n+1).

Wähle n+1 Zahlen X0, ..., Xn gleichmäßig und unabhängig von einander auf einem Kreis mit Umfang eins. Durch Symmetrie beträgt der erwartete Abstand zwischen benachbarten Zahlen 1/(n+1). Schneide den Kreis bei X0 durch und öffne ihn, um ein Liniensegment der Länge eins zu bilden. Die verbleibenden Zahlen X1, ..., Xn werden gleichmäßig auf dieser Linie verteilt sein, und die kleinste davon ist das nächste Xi rechts von X0 (vorausgesetzt, du hast den Kreis im Uhrzeigersinn geöffnet). Daher ist sein erwarteter Wert derselbe wie der erwartete Wert des Abstands zwischen X0 und dem nächsten ausgewählten Punkt rechts davon, der 1/(n+1) beträgt.

[giffi marauder]

Wähle n Zahlen gleichmäßig zufällig aus dem Einheitsintervall [0,1]. Was ist der Erwartungswert ihres Minimums?

Lösung

Spoiler

Die Antwort lautet 1/(n+1).

Wähle n+1 Zahlen X0, ..., Xn gleichmäßig und unabhängig von einander auf einem Kreis mit Umfang eins. Durch Symmetrie beträgt der erwartete Abstand zwischen benachbarten Zahlen 1/(n+1). Schneide den Kreis bei X0 durch und öffne ihn, um ein Liniensegment der Länge eins zu bilden. Die verbleibenden Zahlen X1, ..., Xn werden gleichmäßig auf dieser Linie verteilt sein, und die kleinste davon ist das nächste Xi rechts von X0 (vorausgesetzt, du hast den Kreis im Uhrzeigersinn geöffnet). Daher ist sein erwarteter Wert derselbe wie der erwartete Wert des Abstands zwischen X0 und dem nächsten ausgewählten Punkt rechts davon, der 1/(n+1) beträgt.

Ah, jetzt habe ich die Frage auch verstanden.

[kad]

Etwas zum Auflockern.

a) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 2

b) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 4

c) mmh, kann wohl kaum sein, dass a) und b) dasselbe Resultat liefern.
Was gilt und wieso?

[kad]

Ein Zauberer hat einhundert Karten mit den Nummern 1 bis 100. Er legt sie in drei Schachteln, eine rote, eine weiße und eine blaue, sodass jede Schachtel mindestens eine Karte enthält.

Ein Zuschauer wählt zwei der drei Schachteln aus, zieht jeweils eine Karte und nennt die Summe der Zahlen auf den gewählten Karten. Anhand dieser Summe identifiziert der Zauberer die Schachtel, aus der keine Karte gezogen wurde.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, alle Karten in die Schachteln zu legen, damit dieser Trick immer funktioniert?

Spoiler

Eine Lösung zu finden ist sogar ziemlich einfach.

Wir haben drei Schachteln r,w,b und drei mögliche Summen zweier Karten aus zwei verschiedenen Schachteln rw,rb,wb.
Damit der Zauberer weiss, welche Kombinaiton die richtige ist, liegt nahe, die Summe Modulo drei zu nehmen (0,1,2)
und die Karten so zu plazieren, dass die Summen mit gleichem Rest eindeutig einer bestimmten Kombination zugeordnet werden können.

Die Zahlen 1..100 können in der Form 3a+0,3b+1,3c+2 dargestellt werden. (a,b von 0 bis 33, c von 0 bis 32)
Sortieren wir die Karten nach deren 3'er-Resten sortiert in die Schachteln, sind die möglichen Summen dann
3a+0+3b+1=3(a+b)+1 (Rest 1)
3a+0+3c+2=3(a+c)+2 (Rest 2)
3b+1+3c+2=3(b+c)+3 (Rest 0)

Das schaut dann so aus:
r,w,b
1,2,3
4,5,6
7,8,9
....
97,98,99
100

Dadurch ergeben sich folgende Summen
r+w, r+b, w+b
3,4,5
6,7,8
9,10,11
12,13,14
...
99,100
mit den eindeutigen Resten
0,1,2 je Kombination

An der Frage wieviele Möglichkeiten es hier gibt, grüble ich noch, meine Vermutung ist allerdings,
es gibt nur diese eine.

Spoiler

Sehr schön!

An deiner Vermutung muss du noch arbeiten…… , es gibt mehr als eine Lösung

2. Möglichkeit

Spoiler

1 in rote, 100 in blaue und der Rest in weisse Schachtel


Und jetzt noch die Permutationen ergibt 6 Möglichkeiten, gleich viele wie bei der mod 3 Lösung.
Also 12.

[giffi marauder]

Etwas zum Auflockern.

a) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 2

b) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 4

c) mmh, kann wohl kaum sein, dass a) und b) dasselbe Resultat liefern.
Was gilt und wieso?

Ich geh mal davon aus, dass die Klammern so zu setzen wären:
x^(x^(x^(x^(x…..)))) = 2
und nicht
(..((((x^x)^x)^x)^x)^..) = 2
oder?

[kad]

Etwas zum Auflockern.

a) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 2

b) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 4

c) mmh, kann wohl kaum sein, dass a) und b) dasselbe Resultat liefern.
Was gilt und wieso?

Ich geh mal davon aus, dass die Klammern so zu setzen wären:
x^(x^(x^(x^(x…..)))) = 2
und nicht
(..((((x^x)^x)^x)^x)^..) = 2
oder?

Genau. Die erste Hürde hast du damit erfolgreich übersprungen.

[giffi marauder]

Etwas zum Auflockern.

a) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 2

b) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 4

c) mmh, kann wohl kaum sein, dass a) und b) dasselbe Resultat liefern.
Was gilt und wieso?

Ich geh mal davon aus, dass die Klammern so zu setzen wären:
x^(x^(x^(x^(x…..)))) = 2
und nicht
(..((((x^x)^x)^x)^x)^..) = 2
oder?

Genau. Die erste Hürde hast du damit erfolgreich übersprungen.

Jep jetzt müssen wir nur noch von rechts nach links zu rechenen beginne.
Dazu such ich mir einfach mal die letzten beiden x.

[kad]

Etwas zum Auflockern.

a) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 2

b) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 4

c) mmh, kann wohl kaum sein, dass a) und b) dasselbe Resultat liefern.
Was gilt und wieso?

Ich geh mal davon aus, dass die Klammern so zu setzen wären:
x^(x^(x^(x^(x…..)))) = 2
und nicht
(..((((x^x)^x)^x)^x)^..) = 2
oder?

Genau. Die erste Hürde hast du damit erfolgreich übersprungen.

Jep jetzt müssen wir nur noch von rechts nach links zu rechenen beginne.
Dazu such ich mir einfach mal die letzten beiden x.

Als Alternative zur Suche biete ich an, zu überlegen, was bei der (richtigen) Klammerung in der Klammer steht.

x^() = 2

[kad]

Schlecht gestaltete Uhr

Stunden- und Minutenzeiger einer Uhr sind nicht zu unterscheiden. Wie viele Momente gibt es am Tag, in denen man anhand dieser Uhr nicht erkennen kann, wie spät es ist?

[giffi marauder]

Etwas zum Auflockern.

a) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 2

b) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 4

c) mmh, kann wohl kaum sein, dass a) und b) dasselbe Resultat liefern.
Was gilt und wieso?

Ich geh mal davon aus, dass die Klammern so zu setzen wären:
x^(x^(x^(x^(x…..)))) = 2
und nicht
(..((((x^x)^x)^x)^x)^..) = 2
oder?

Genau. Die erste Hürde hast du damit erfolgreich übersprungen.

Jep jetzt müssen wir nur noch von rechts nach links zu rechenen beginne.
Dazu such ich mir einfach mal die letzten beiden x.

Als Alternative zur Suche biete ich an, zu überlegen, was bei der (richtigen) Klammerung in der Klammer steht.

x^() = 2

Spoiler

Nun ja, die naheliegend ist natürlich, dass x=sqrt(2) ist.
dann wäre:
x^2=2
x^(x^2)=x^(2)=2
....
x^(x^(x^(x...^2)..))=2
und
x^4=4
x^(x^4)=x^(4)=4
....
x^(x^(x^(x...^4)...))=4

Nur wo kommt die 2 oder 4 am Schluss her.

[kad]

Etwas zum Auflockern.

a) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 2

b) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 4

c) mmh, kann wohl kaum sein, dass a) und b) dasselbe Resultat liefern.
Was gilt und wieso?

Ich geh mal davon aus, dass die Klammern so zu setzen wären:
x^(x^(x^(x^(x…..)))) = 2
und nicht
(..((((x^x)^x)^x)^x)^..) = 2
oder?

Genau. Die erste Hürde hast du damit erfolgreich übersprungen.

Jep jetzt müssen wir nur noch von rechts nach links zu rechenen beginne.
Dazu such ich mir einfach mal die letzten beiden x.

Als Alternative zur Suche biete ich an, zu überlegen, was bei der (richtigen) Klammerung in der Klammer steht.

x^() = 2

Spoiler

Nun ja, die naheliegend ist natürlich, dass x=sqrt(2) ist.
dann wäre:
x^2=2
x^(x^2)=x^(2)=2
....
x^(x^(x^(x...^2)..))=2
und
x^4=4
x^(x^4)=x^(4)=4
....
x^(x^(x^(x...^4)...))=4

Nur wo kommt die 2 oder 4 am Schluss her.

Hint

Spoiler

Bei
x^() = 2

steht in der Klammer doch gerade dasselbe wie auf der linken Seite der ursprünglichen Gleichung.
Und die ursprüngliche Gleichung sagt, dass dies 2 ist.
Also
x^2 = 2

[giffi marauder]

Etwas zum Auflockern.

a) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 2

b) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 4

c) mmh, kann wohl kaum sein, dass a) und b) dasselbe Resultat liefern.
Was gilt und wieso?

Ich geh mal davon aus, dass die Klammern so zu setzen wären:
x^(x^(x^(x^(x…..)))) = 2
und nicht
(..((((x^x)^x)^x)^x)^..) = 2
oder?

Genau. Die erste Hürde hast du damit erfolgreich übersprungen.

Jep jetzt müssen wir nur noch von rechts nach links zu rechenen beginne.
Dazu such ich mir einfach mal die letzten beiden x.

Als Alternative zur Suche biete ich an, zu überlegen, was bei der (richtigen) Klammerung in der Klammer steht.

x^() = 2

Spoiler

Nun ja, die naheliegend ist natürlich, dass x=sqrt(2) ist.
dann wäre:
x^2=2
x^(x^2)=x^(2)=2
....
x^(x^(x^(x...^2)..))=2
und
x^4=4
x^(x^4)=x^(4)=4
....
x^(x^(x^(x...^4)...))=4

Nur wo kommt die 2 oder 4 am Schluss her.

Hint

Spoiler

Bei
x^() = 2

steht in der Klammer doch gerade dasselbe wie auf der linken Seite der ursprünglichen Gleichung.
Und die ursprüngliche Gleichung sagt, dass dies 2 ist.
Also
x^2 = 2

Spoiler

Ah ja,
a=x^a=2 -> x^2=2->x=sqrt(2)
b=x^b=4 -> b^4=4->x=sqrt(sqrt(4)))=sqrt(2)

Tatsächlich konvergiert sqrt(2)^(sqrt(2)^(sqrt(2)...)) nach 2
wie man mit rekursiven Formel a=sqrt(2)^a (Startwert für a =1) schnell feststellen kann.

Je nach Startwert a1 konvergiert die Folge nach:
0<a1<4 nach 2
a1=4 nach 4
und a1>4 nach unendlich.

Wenn man also annimmt x^x^x^x =2, dann ist das völlig richtig.
Wenn man hingegen annimmt x^x^x^x =4, dann stimmt das auch.

[kad]

Ich geh mal davon aus, dass die Klammern so zu setzen wären:
x^(x^(x^(x^(x…..)))) = 2
und nicht
(..((((x^x)^x)^x)^x)^..) = 2
oder?

Genau. Die erste Hürde hast du damit erfolgreich übersprungen.

Jep jetzt müssen wir nur noch von rechts nach links zu rechenen beginne.
Dazu such ich mir einfach mal die letzten beiden x.

Als Alternative zur Suche biete ich an, zu überlegen, was bei der (richtigen) Klammerung in der Klammer steht.

x^() = 2

Spoiler

Nun ja, die naheliegend ist natürlich, dass x=sqrt(2) ist.
dann wäre:
x^2=2
x^(x^2)=x^(2)=2
....
x^(x^(x^(x...^2)..))=2
und
x^4=4
x^(x^4)=x^(4)=4
....
x^(x^(x^(x...^4)...))=4

Nur wo kommt die 2 oder 4 am Schluss her.

Hint

Spoiler

Bei
x^() = 2

steht in der Klammer doch gerade dasselbe wie auf der linken Seite der ursprünglichen Gleichung.
Und die ursprüngliche Gleichung sagt, dass dies 2 ist.
Also
x^2 = 2

Spoiler

Ah ja,
a=x^a=2 -> x^2=2->x=sqrt(2)
b=x^b=4 -> b^4=4->x=sqrt(sqrt(4)))=sqrt(2)

Tatsächlich konvergiert sqrt(2)^(sqrt(2)^(sqrt(2)...)) nach 2
wie man mit rekursiven Formel a=sqrt(2)^a (Startwert für a =1) schnell feststellen kann.

Je nach Startwert a1 konvergiert die Folge nach:
0<a1<4 nach 2
a1=4 nach 4
und a1>4 nach unendlich.

Wenn man also annimmt x^x^x^x =2, dann ist das völlig richtig.
Wenn man hingegen annimmt x^x^x^x =4, dann stimmt das auch.

Spoiler

Ich kenne folgende Überlegung:
Man kann (leicht) zeigen, dass die Folge sqrt(2), sqrt(2)^sqrt(2), sqrt(2)^sqrt(2)^sqrt(2), ….

monoton zunehmend ist und gegen oben beschränkt ist (durch 2).
Also hat die Folge einen Grenzwert. Nennen wir ihn z.
Dann gilt sqrt(2)^z = z
Jetzt können wir x = z^(1/z) anschauen.
x ist streng zunehmend in z bis zum Maximum z=e und streng abnehmend danach.
Also kann es höchstens 2 Werte von z geben zu einem gewissen Wert von x.
Für x=sqrt(2) kennen wir diese Werte: 2 und 4. Da unsere Folge durch 2 beschränkt ist, muss z=2 sein.

Man zeigt, x^x^x^x….. existiert und ist gleich der kleineren Lösung von x=z^(1/z), für x <= e^(1/e).
Sobald x grösser als e^(1/e) ist, divergiert die Folge nach Unendlich.
Es gibt somit kein x mit x^x^x^x….. = 4.


PS
e^(1/e) Ist etwa 1.445

[giffi marauder]

Schlecht gestaltete Uhr

Stunden- und Minutenzeiger einer Uhr sind nicht zu unterscheiden. Wie viele Momente gibt es am Tag, in denen man anhand dieser Uhr nicht erkennen kann, wie spät es ist?

Spoiler

Ganz schön knackig.

Ich tippe auf 20.

Klar ist jedenfalls, dass es Zeitpunkte gibt,
an denen das Vertauschen der Zeiger eine richtige(*) alternative Uhrzeit ergibt.
Dann und genau dann, kann man nicht erkennen, wie spät es ist.

(*)
Da wir von analogen Uhren ausgehen, kann die Uhrzeit alleine anhand des Stundenzeigers ermittelt werden.
Aus dieser Uhrzeit dann wiederum die Position des Minutenzeigers.
Eine Uhrzeit ist nur dann "richtig", wenn zur Position des Stundenzeigers auch der Minutenzeiger richtig steht.

Basis der Lösung ist die (falschen) Lösung eines älteren Rätsels hier mit der Anwort
auf die (falsche) Frage, wie oft Stunden- und Minutenzeiger exakt übereinander stehen (Gleichstellung)

Für die Anwort auf diese neue Frage benutze ich zwei Uhren.
Eine läuft im Uhrzeigersinn, die anderen gegen den Uhrzeigersinn.

Beide Uhren zeigen immer "richtige" Uhrzeiten an und einmal pro Umdrehung überlappen sich
Studenzeiger (S) der einen Uhr mit dem Minutenzeiger (M) der anderen Uhr bzw. umgekehrt.
Grad(S1)=Grad(M2) und Grad(M1)=Grad(S2)
Beide Paare treffen dabei wegen der gleichen Winkeldifferenz und den gleichen Geschwindigkeiten zeitgleich aufeinander,
beide Uhren zeigen eine "richtige" Zeit
und die Zeigerstellung von Uhr 2 entspricht der Vertauschung der beiden Zeiger von Uhr 1.

Beispiel:
Wir starten bei 0 Uhr
Der Minutenzeiger von Uhr 1 läuft nach rechts von 0 nach 12 und trifft dabei auf den entgegenkommenden Stundenzeiger von Uhr 2.
Der Minutenzeiger von Uhr 2 läuft nach links von 0 nach 12 und trifft dabei auf den entgegenkommenden Stundenzeiger von Uhr 1.

Dieser Vorgang kann mit den 22 Startpunkten von oben 22 mal durchgeführt werden.

Die genauen Uhrzeiten sind damit:
Geschiwindigkeit S: 0,5°/min
Geschiwindigkeit M: 6°/min
Zeit zwischen zwei Gleichstellungen von S und M: 30 + 0,5m=6m -> 30/5,5=3,64m -> 65,45 Minuten
Zeit zwischen den Überlappungen der beiden Uhren: 0,5m=360-6m -> 360/6,5= 55,38 Minuten.
Damit liegen die nicht unterscheidbaren Zeitpunkte immer 10,07 Minuten vor der nächsten Gleichstellung
der beiden Zeiger einer Uhr.

Gleich, nicht unterscheidbar
0:00 0:55 (=11:50)
1:05 2:01 (=10:44)
2:11 3:06 (=9:39)
3:16 4:12 (=8:34)
4:22 5:17 (=7:28)
5:27 6:23 (=6:23)
6:32 7:28 (=5:17)
7:38 8:34 (=4:12)
8:43 9:39 (=3:06)
9:49 10:44 =(2:01)
10:54 11:50 =(0:55)
und wieder von vorn.

Da die Alternative von 6:23 wiederum die 6:23 ist, fällt die weg.
Damit sind es 2x 10 = 20 nicht unterscheidbare Uhrzeiten.
(den Zeitpunkt 24:00 lassen wir weg).

[kad]

Schlecht gestaltete Uhr

Stunden- und Minutenzeiger einer Uhr sind nicht zu unterscheiden. Wie viele Momente gibt es am Tag, in denen man anhand dieser Uhr nicht erkennen kann, wie spät es ist?

Spoiler

Ganz schön knackig.

Ich tippe auf 20.

Klar ist jedenfalls, dass es Zeitpunkte gibt,
an denen das Vertauschen der Zeiger eine richtige(*) alternative Uhrzeit ergibt.
Dann und genau dann, kann man nicht erkennen, wie spät es ist.

(*)
Da wir von analogen Uhren ausgehen, kann die Uhrzeit alleine anhand des Stundenzeigers ermittelt werden.
Aus dieser Uhrzeit dann wiederum die Position des Minutenzeigers.
Eine Uhrzeit ist nur dann "richtig", wenn zur Position des Stundenzeigers auch der Minutenzeiger richtig steht.

Basis der Lösung ist die (falschen) Lösung eines älteren Rätsels hier mit der Anwort
auf die (falsche) Frage, wie oft Stunden- und Minutenzeiger exakt übereinander stehen (Gleichstellung)

Für die Anwort auf diese neue Frage benutze ich zwei Uhren.
Eine läuft im Uhrzeigersinn, die anderen gegen den Uhrzeigersinn.

Beide Uhren zeigen immer "richtige" Uhrzeiten an und einmal pro Umdrehung überlappen sich
Studenzeiger (S) der einen Uhr mit dem Minutenzeiger (M) der anderen Uhr bzw. umgekehrt.
Grad(S1)=Grad(M2) und Grad(M1)=Grad(S2)
Beide Paare treffen dabei wegen der gleichen Winkeldifferenz und den gleichen Geschwindigkeiten zeitgleich aufeinander,
beide Uhren zeigen eine "richtige" Zeit
und die Zeigerstellung von Uhr 2 entspricht der Vertauschung der beiden Zeiger von Uhr 1.

Beispiel:
Wir starten bei 0 Uhr
Der Minutenzeiger von Uhr 1 läuft nach rechts von 0 nach 12 und trifft dabei auf den entgegenkommenden Stundenzeiger von Uhr 2.
Der Minutenzeiger von Uhr 2 läuft nach links von 0 nach 12 und trifft dabei auf den entgegenkommenden Stundenzeiger von Uhr 1.

Dieser Vorgang kann mit den 22 Startpunkten von oben 22 mal durchgeführt werden.

Die genauen Uhrzeiten sind damit:
Geschiwindigkeit S: 0,5°/min
Geschiwindigkeit M: 6°/min
Zeit zwischen zwei Gleichstellungen von S und M: 30 + 0,5m=6m -> 30/5,5=3,64m -> 65,45 Minuten
Zeit zwischen den Überlappungen der beiden Uhren: 0,5m=360-6m -> 360/6,5= 55,38 Minuten.
Damit liegen die nicht unterscheidbaren Zeitpunkte immer 10,07 Minuten vor der nächsten Gleichstellung
der beiden Zeiger einer Uhr.

Gleich, nicht unterscheidbar
0:00 0:55 (=11:50)
1:05 2:01 (=10:44)
2:11 3:06 (=9:39)
3:16 4:12 (=8:34)
4:22 5:17 (=7:28)
5:27 6:23 (=6:23)
6:32 7:28 (=5:17)
7:38 8:34 (=4:12)
8:43 9:39 (=3:06)
9:49 10:44 =(2:01)
10:54 11:50 =(0:55)
und wieder von vorn.

Da die Alternative von 6:23 wiederum die 6:23 ist, fällt die weg.
Damit sind es 2x 10 = 20 nicht unterscheidbare Uhrzeiten.
(den Zeitpunkt 24:00 lassen wir weg).

Spoiler

Ich komme heute erst spät dazu deine Lösung anzuschauen.
Selber habe ich eine ziemlich andere Zahl als du.