Rechenaufgaben

[kad]

Wähle n Zahlen gleichmäßig zufällig aus dem Einheitsintervall [0,1]. Was ist der Erwartungswert ihres Minimums?

Lösung

Spoiler

Die Antwort lautet 1/(n+1).

Wähle n+1 Zahlen X0, ..., Xn gleichmäßig und unabhängig von einander auf einem Kreis mit Umfang eins. Durch Symmetrie beträgt der erwartete Abstand zwischen benachbarten Zahlen 1/(n+1). Schneide den Kreis bei X0 durch und öffne ihn, um ein Liniensegment der Länge eins zu bilden. Die verbleibenden Zahlen X1, ..., Xn werden gleichmäßig auf dieser Linie verteilt sein, und die kleinste davon ist das nächste Xi rechts von X0 (vorausgesetzt, du hast den Kreis im Uhrzeigersinn geöffnet). Daher ist sein erwarteter Wert derselbe wie der erwartete Wert des Abstands zwischen X0 und dem nächsten ausgewählten Punkt rechts davon, der 1/(n+1) beträgt.

[giffi marauder]

Wähle n Zahlen gleichmäßig zufällig aus dem Einheitsintervall [0,1]. Was ist der Erwartungswert ihres Minimums?

Lösung

Spoiler

Die Antwort lautet 1/(n+1).

Wähle n+1 Zahlen X0, ..., Xn gleichmäßig und unabhängig von einander auf einem Kreis mit Umfang eins. Durch Symmetrie beträgt der erwartete Abstand zwischen benachbarten Zahlen 1/(n+1). Schneide den Kreis bei X0 durch und öffne ihn, um ein Liniensegment der Länge eins zu bilden. Die verbleibenden Zahlen X1, ..., Xn werden gleichmäßig auf dieser Linie verteilt sein, und die kleinste davon ist das nächste Xi rechts von X0 (vorausgesetzt, du hast den Kreis im Uhrzeigersinn geöffnet). Daher ist sein erwarteter Wert derselbe wie der erwartete Wert des Abstands zwischen X0 und dem nächsten ausgewählten Punkt rechts davon, der 1/(n+1) beträgt.

Ah, jetzt habe ich die Frage auch verstanden.

[kad]

Etwas zum Auflockern.

a) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 2

b) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 4

c) mmh, kann wohl kaum sein, dass a) und b) dasselbe Resultat liefern.
Was gilt und wieso?

[kad]

Ein Zauberer hat einhundert Karten mit den Nummern 1 bis 100. Er legt sie in drei Schachteln, eine rote, eine weiße und eine blaue, sodass jede Schachtel mindestens eine Karte enthält.

Ein Zuschauer wählt zwei der drei Schachteln aus, zieht jeweils eine Karte und nennt die Summe der Zahlen auf den gewählten Karten. Anhand dieser Summe identifiziert der Zauberer die Schachtel, aus der keine Karte gezogen wurde.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, alle Karten in die Schachteln zu legen, damit dieser Trick immer funktioniert?

Spoiler

Eine Lösung zu finden ist sogar ziemlich einfach.

Wir haben drei Schachteln r,w,b und drei mögliche Summen zweier Karten aus zwei verschiedenen Schachteln rw,rb,wb.
Damit der Zauberer weiss, welche Kombinaiton die richtige ist, liegt nahe, die Summe Modulo drei zu nehmen (0,1,2)
und die Karten so zu plazieren, dass die Summen mit gleichem Rest eindeutig einer bestimmten Kombination zugeordnet werden können.

Die Zahlen 1..100 können in der Form 3a+0,3b+1,3c+2 dargestellt werden. (a,b von 0 bis 33, c von 0 bis 32)
Sortieren wir die Karten nach deren 3'er-Resten sortiert in die Schachteln, sind die möglichen Summen dann
3a+0+3b+1=3(a+b)+1 (Rest 1)
3a+0+3c+2=3(a+c)+2 (Rest 2)
3b+1+3c+2=3(b+c)+3 (Rest 0)

Das schaut dann so aus:
r,w,b
1,2,3
4,5,6
7,8,9
....
97,98,99
100

Dadurch ergeben sich folgende Summen
r+w, r+b, w+b
3,4,5
6,7,8
9,10,11
12,13,14
...
99,100
mit den eindeutigen Resten
0,1,2 je Kombination

An der Frage wieviele Möglichkeiten es hier gibt, grüble ich noch, meine Vermutung ist allerdings,
es gibt nur diese eine.

Spoiler

Sehr schön!

An deiner Vermutung muss du noch arbeiten…… , es gibt mehr als eine Lösung

2. Möglichkeit

Spoiler

1 in rote, 100 in blaue und der Rest in weisse Schachtel


Und jetzt noch die Permutationen ergibt 6 Möglichkeiten, gleich viele wie bei der mod 3 Lösung.
Also 12.

[giffi marauder]

Etwas zum Auflockern.

a) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 2

b) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 4

c) mmh, kann wohl kaum sein, dass a) und b) dasselbe Resultat liefern.
Was gilt und wieso?

Ich geh mal davon aus, dass die Klammern so zu setzen wären:
x^(x^(x^(x^(x…..)))) = 2
und nicht
(..((((x^x)^x)^x)^x)^..) = 2
oder?

[kad]

Etwas zum Auflockern.

a) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 2

b) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 4

c) mmh, kann wohl kaum sein, dass a) und b) dasselbe Resultat liefern.
Was gilt und wieso?

Ich geh mal davon aus, dass die Klammern so zu setzen wären:
x^(x^(x^(x^(x…..)))) = 2
und nicht
(..((((x^x)^x)^x)^x)^..) = 2
oder?

Genau. Die erste Hürde hast du damit erfolgreich übersprungen.

[giffi marauder]

Etwas zum Auflockern.

a) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 2

b) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 4

c) mmh, kann wohl kaum sein, dass a) und b) dasselbe Resultat liefern.
Was gilt und wieso?

Ich geh mal davon aus, dass die Klammern so zu setzen wären:
x^(x^(x^(x^(x…..)))) = 2
und nicht
(..((((x^x)^x)^x)^x)^..) = 2
oder?

Genau. Die erste Hürde hast du damit erfolgreich übersprungen.

Jep jetzt müssen wir nur noch von rechts nach links zu rechenen beginne.
Dazu such ich mir einfach mal die letzten beiden x.

[kad]

Etwas zum Auflockern.

a) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 2

b) Für welche(s) x gilt
x^x^x^x^x….. = 4

c) mmh, kann wohl kaum sein, dass a) und b) dasselbe Resultat liefern.
Was gilt und wieso?

Ich geh mal davon aus, dass die Klammern so zu setzen wären:
x^(x^(x^(x^(x…..)))) = 2
und nicht
(..((((x^x)^x)^x)^x)^..) = 2
oder?

Genau. Die erste Hürde hast du damit erfolgreich übersprungen.

Jep jetzt müssen wir nur noch von rechts nach links zu rechenen beginne.
Dazu such ich mir einfach mal die letzten beiden x.

Als Alternative zur Suche biete ich an, zu überlegen, was bei der (richtigen) Klammerung in der Klammer steht.

x^() = 2