Rechenaufgaben

[kad]

Heute eine Aufgabe aus dem Buch Guesstimation

Wie lang ist das gesamte Haar auf dem Kopf einer (durchschnittlichen) Frau?

Spoiler

25 cm

Spoiler

25 cm ?

Spoiler

Da es keine durchschnittlichen Frauen gibt, ist jede Anwort richtig.

Spoiler

…. mit durchschnittlicher Kopfgrösse/…..

[kad]

Bestimme die größte Zahl, die das Produkt von positiven ganzen Zahlen ist mit der Eigenschaft, dass die Summe dieser Zahlen 1976 ist.

[giffi marauder]

Bestimme die größte Zahl, die das Produkt von positiven ganzen Zahlen ist mit der Eigenschaft, dass die Summe dieser Zahlen 1976 ist.

Spoiler

Ich biete 2*3^658

Und für eine nichtganzahliche Lösung natürlich e^(1976/e)

Spoiler

viewtopic.php?p=84100#p84100

[kad]

Bestimme die größte Zahl, die das Produkt von positiven ganzen Zahlen ist mit der Eigenschaft, dass die Summe dieser Zahlen 1976 ist.

Spoiler

Ich biete 2*3^658

Spoiler

Wie immer: richtig.
Wie bist du darauf gekommen?

[giffi marauder]

Bestimme die größte Zahl, die das Produkt von positiven ganzen Zahlen ist mit der Eigenschaft, dass die Summe dieser Zahlen 1976 ist.

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Ich biete 2*3^658

Spoiler

Wie immer: richtig.
Wie bist du darauf gekommen?

Spoiler

Ich hab im Archiv geschmöckert.

viewtopic.php?p=84065#p84065

Und hier die nichtganzzahlige Lösung:
P=e^(S/e)
In diesem Fall also P=e^726,92977575477002747275496983905

viewtopic.php?p=84100#p84100

[kad]

Ein Zauberer hat einhundert Karten mit den Nummern 1 bis 100. Er legt sie in drei Schachteln, eine rote, eine weiße und eine blaue, sodass jede Schachtel mindestens eine Karte enthält.

Ein Zuschauer wählt zwei der drei Schachteln aus, zieht jeweils eine Karte und nennt die Summe der Zahlen auf den gewählten Karten. Anhand dieser Summe identifiziert der Zauberer die Schachtel, aus der keine Karte gezogen wurde.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, alle Karten in die Schachteln zu legen, damit dieser Trick immer funktioniert?

[giffi marauder]

Ein Zauberer hat einhundert Karten mit den Nummern 1 bis 100. Er legt sie in drei Schachteln, eine rote, eine weiße und eine blaue, sodass jede Schachtel mindestens eine Karte enthält.

Ein Zuschauer wählt zwei der drei Schachteln aus, zieht jeweils eine Karte und nennt die Summe der Zahlen auf den gewählten Karten. Anhand dieser Summe identifiziert der Zauberer die Schachtel, aus der keine Karte gezogen wurde.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, alle Karten in die Schachteln zu legen, damit dieser Trick immer funktioniert?

Spoiler

Eine Lösung zu finden ist sogar ziemlich einfach.

Wir haben drei Schachteln r,w,b und drei mögliche Summen zweier Karten aus zwei verschiedenen Schachteln rw,rb,wb.
Damit der Zauberer weiss, welche Kombinaiton die richtige ist, liegt nahe, die Summe Modulo drei zu nehmen (0,1,2)
und die Karten so zu plazieren, dass die Summen mit gleichem Rest eindeutig einer bestimmten Kombination zugeordnet werden können.

Die Zahlen 1..100 können in der Form 3a+0,3b+1,3c+2 dargestellt werden. (a,b von 0 bis 33, c von 0 bis 32)
Sortieren wir die Karten nach deren 3'er-Resten sortiert in die Schachteln, sind die möglichen Summen dann
3a+0+3b+1=3(a+b)+1 (Rest 1)
3a+0+3c+2=3(a+c)+2 (Rest 2)
3b+1+3c+2=3(b+c)+3 (Rest 0)

Das schaut dann so aus:
r,w,b
1,2,3
4,5,6
7,8,9
....
97,98,99
100

Dadurch ergeben sich folgende Summen
r+w, r+b, w+b
3,4,5
6,7,8
9,10,11
12,13,14
...
99,100
mit den eindeutigen Resten
0,1,2 je Kombination

An der Frage wieviele Möglichkeiten es hier gibt, grüble ich noch, meine Vermutung ist allerdings,
es gibt nur diese eine.

[kad]

Ein Zauberer hat einhundert Karten mit den Nummern 1 bis 100. Er legt sie in drei Schachteln, eine rote, eine weiße und eine blaue, sodass jede Schachtel mindestens eine Karte enthält.

Ein Zuschauer wählt zwei der drei Schachteln aus, zieht jeweils eine Karte und nennt die Summe der Zahlen auf den gewählten Karten. Anhand dieser Summe identifiziert der Zauberer die Schachtel, aus der keine Karte gezogen wurde.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, alle Karten in die Schachteln zu legen, damit dieser Trick immer funktioniert?

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Eine Lösung zu finden ist sogar ziemlich einfach.

Wir haben drei Schachteln r,w,b und drei mögliche Summen zweier Karten aus zwei verschiedenen Schachteln rw,rb,wb.
Damit der Zauberer weiss, welche Kombinaiton die richtige ist, liegt nahe, die Summe Modulo drei zu nehmen (0,1,2)
und die Karten so zu plazieren, dass die Summen mit gleichem Rest eindeutig einer bestimmten Kombination zugeordnet werden können.

Die Zahlen 1..100 können in der Form 3a+0,3b+1,3c+2 dargestellt werden. (a,b von 0 bis 33, c von 0 bis 32)
Sortieren wir die Karten nach deren 3'er-Resten sortiert in die Schachteln, sind die möglichen Summen dann
3a+0+3b+1=3(a+b)+1 (Rest 1)
3a+0+3c+2=3(a+c)+2 (Rest 2)
3b+1+3c+2=3(b+c)+3 (Rest 0)

Das schaut dann so aus:
r,w,b
1,2,3
4,5,6
7,8,9
....
97,98,99
100

Dadurch ergeben sich folgende Summen
r+w, r+b, w+b
3,4,5
6,7,8
9,10,11
12,13,14
...
99,100
mit den eindeutigen Resten
0,1,2 je Kombination

An der Frage wieviele Möglichkeiten es hier gibt, grüble ich noch, meine Vermutung ist allerdings,
es gibt nur diese eine.

Spoiler

Sehr schön!

An deiner Vermutung muss du noch arbeiten…… , es gibt mehr als eine Lösung

[kad]

Jede von acht Schachteln enthält sechs Bälle. Jeder Ball wurde mit einer von n Farben gefärbt, sodass keine zwei Bälle in derselben Schachtel die gleiche Farbe haben und keine zwei Farben zusammen in mehr als einer Schachtel vorkommen. Bestimme die kleinste ganze Zahl n, für die dies möglich ist.

[kad]

Soeben auf youtube entdeckt:
Ein Bauer vererbt sein Land an seine Frau und seine beiden Kinder. Die Frau soll viermal so viel Fläche Land bekommen wie jedes der Kinder. Das Grundstück hat kurioserweise exakt die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Aus Gerechtigkeitsgründen soll jedes der drei Teilstücke die gleiche Form haben. (Das Teilstück der Frau soll also um den Faktor zwei vergrößert sein, ansonsten aber dieselbe Form haben wie die Stücke der Kinder.) Wie wird das Land geteilt?

[giffi marauder]

Jede von acht Schachteln enthält sechs Bälle. Jeder Ball wurde mit einer von n Farben gefärbt, sodass keine zwei Bälle in derselben Schachtel die gleiche Farbe haben und keine zwei Farben zusammen in mehr als einer Schachtel vorkommen. Bestimme die kleinste ganze Zahl n, für die dies möglich ist.

Ich bin zu blöd für die 2. Teilbedingung.

[kad]

Jede von acht Schachteln enthält sechs Bälle. Jeder Ball wurde mit einer von n Farben gefärbt, sodass keine zwei Bälle in derselben Schachtel die gleiche Farbe haben und keine zwei Farben zusammen in mehr als einer Schachtel vorkommen. Bestimme die kleinste ganze Zahl n, für die dies möglich ist.

Ich bin zu blöd für die 2. Teilbedingung.

Beispiel: die Kombination blau und rot (rsp die damit eingefärbten Bälle) darf in höchstens einer Schachtel vorkommen.
Besser?

[giffi marauder]

Jede von acht Schachteln enthält sechs Bälle. Jeder Ball wurde mit einer von n Farben gefärbt, sodass keine zwei Bälle in derselben Schachtel die gleiche Farbe haben und keine zwei Farben zusammen in mehr als einer Schachtel vorkommen. Bestimme die kleinste ganze Zahl n, für die dies möglich ist.

Ich bin zu blöd für die 2. Teilbedingung.

Ich biete mal 24.

Beispiel: die Kombination blau und rot (rsp die damit eingefärbten Bälle) darf in höchstens einer Schachtel vorkommen.
Besser?

Spoiler

Ich wage mal einen Versuch.
Wir ersetzten die Farben durch Zahlen.
Übereinanderstehende Zahlen (Bälle, Farben) sind in einer Schachtel.

Wir beginnen mit der
1
(1 Ball in jeder Schachtel, 1 Farbe, 1 Schachtel)

1|2
2|3
(2 Bälle in jeder Schachtel, 3 Farben, 3 Schachtel)
Allerdings kann man die Bälle der Diagonale auch noch nutzen
Also:
1|2|1
2|3|3
(2 Bälle in jeder Schachtel, 3 Farben, 3 Schachtel)

Nach diesem Muster haben wir immer n(n+1)/2 Farben für n Bälle je Schachtel und n+1 Schachteln
mit genau 2 Bällen je Farbe.

Für die 8 Schachteln bietet sich damit n=7 an
Das wären dann 28 Farben für je 7 Bälle in 8 Schachteln.
Die letzte Zeile lassen wir deshalb einfach mal weg.
Damit verschwindet auch die höchste Zahl (28) in rechten unteren Eck.
Damit hätten wir 27 Farben in 8 Schachteln mit je 6 Bällen.

Mit n=6 hätten wir 21 Farben in 7 Schachteln
Vielleicht bringen wir ja noch eine Schachtel zusammen.
2,12,17?
3,7,17?
4,10,15?
Da bräuchten wir dann also noch 3 andersfarbige Bälle -> 24 insgesamt.

[kad]

Jede von acht Schachteln enthält sechs Bälle. Jeder Ball wurde mit einer von n Farben gefärbt, sodass keine zwei Bälle in derselben Schachtel die gleiche Farbe haben und keine zwei Farben zusammen in mehr als einer Schachtel vorkommen. Bestimme die kleinste ganze Zahl n, für die dies möglich ist.

Ich bin zu blöd für die 2. Teilbedingung.

Beispiel: die Kombination blau und rot (rsp die damit eingefärbten Bälle) darf in höchstens einer Schachtel vorkommen.
Besser?

Spoiler

Ich wage mal einen Versuch.
Wir ersetzten die Farben durch Zahlen.
Übereinanderstehende Zahlen (Bälle, Farben) sind in einer Schachtel.

Wir beginnen mit der
1
(1 Ball in jeder Schachtel, 1 Farbe, 1 Schachtel)

1|2
2|3
(2 Bälle in jeder Schachtel, 3 Farben, 3 Schachtel)
Allerdings kann man die Bälle der Diagonale auch noch nutzen
Also:
1|2|1
2|3|3
(2 Bälle in jeder Schachtel, 3 Farben, 3 Schachtel)

Nach diesem Muster haben wir immer n(n+1)/2 Farben für n Bälle je Schachtel und n+1 Schachteln

Für die 8 Schachteln bietet sich damit n=7 an
Das wären dann 28 Farben für je 7 Bälle in 8 Schachteln.
Die letzte Zeile lassen wir deshalb einfach mal weg.
Damit verschwindet auch die höchste Zahl (28) in rechten unteren Eck.
Damit hätten wir 27 Farben in 8 Schachteln mit je 6 Bällen.

Lösung

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IMG_0371.png (6.46 KiB) 33 mal betrachtet

Zu zeigen bleibt, wieso das das Minimum ist

[kad]

Ein bestimmter Land gibt Nummernschilder mit sechs Ziffern (von 0 bis 9) aus. Das Land verlangt, dass sich zwei beliebige Nummernschilder an mindestens zwei Stellen unterscheiden. (Daher können die Nummernschilder 027592 und 020592 nicht beide verwendet werden.) Bestimme die maximale Anzahl unterschiedlicher Nummernschilder, die das Land verwenden kann.