Ganz schön knackig.
Ich tippe auf 20.
Klar ist jedenfalls, dass es Zeitpunkte gibt,
an denen das Vertauschen der Zeiger eine richtige(*) alternative Uhrzeit ergibt.
Dann und genau dann, kann man nicht erkennen, wie spät es ist.
(*)
Da wir von analogen Uhren ausgehen, kann die Uhrzeit alleine anhand des Stundenzeigers ermittelt werden.
Aus dieser Uhrzeit dann wiederum die Position des Minutenzeigers.
Eine Uhrzeit ist nur dann "richtig", wenn zur Position des Stundenzeigers auch der Minutenzeiger richtig steht.
Basis der Lösung ist die (falschen) Lösung eines älteren Rätsels hier mit der Anwort
auf die (falsche) Frage, wie oft Stunden- und Minutenzeiger exakt übereinander stehen (Gleichstellung)
Für die Anwort auf diese neue Frage benutze ich zwei Uhren.
Eine läuft im Uhrzeigersinn, die anderen gegen den Uhrzeigersinn.
Beide Uhren zeigen immer "richtige" Uhrzeiten an und einmal pro Umdrehung überlappen sich
Studenzeiger (S) der einen Uhr mit dem Minutenzeiger (M) der anderen Uhr bzw. umgekehrt.
Grad(S1)=Grad(M2) und Grad(M1)=Grad(S2)
Beide Paare treffen dabei wegen der gleichen Winkeldifferenz und den gleichen Geschwindigkeiten zeitgleich aufeinander,
beide Uhren zeigen eine "richtige" Zeit
und die Zeigerstellung von Uhr 2 entspricht der Vertauschung der beiden Zeiger von Uhr 1.
Beispiel:
Wir starten bei 0 Uhr
Der Minutenzeiger von Uhr 1 läuft nach rechts von 0 nach 12 und trifft dabei auf den entgegenkommenden Stundenzeiger von Uhr 2.
Der Minutenzeiger von Uhr 2 läuft nach links von 0 nach 12 und trifft dabei auf den entgegenkommenden Stundenzeiger von Uhr 1.
Dieser Vorgang kann mit den 22 Startpunkten von oben 22 mal durchgeführt werden.
Die genauen Uhrzeiten sind damit:
Geschiwindigkeit S: 0,5°/min
Geschiwindigkeit M: 6°/min
Zeit zwischen zwei Gleichstellungen von S und M: 30 + 0,5m=6m -> 30/5,5=3,64m -> 65,45 Minuten
Zeit zwischen den Überlappungen der beiden Uhren: 0,5m=360-6m -> 360/6,5= 55,38 Minuten.
Damit liegen die nicht unterscheidbaren Zeitpunkte immer 10,07 Minuten vor der nächsten Gleichstellung
der beiden Zeiger einer Uhr.
Gleich, nicht unterscheidbar
0:00 0:55 (=11:50)
1:05 2:01 (=10:44)
2:11 3:06 (=9:39)
3:16 4:12 (=8:34)
4:22 5:17 (=7:28)
5:27 6:23 (=6:23)
6:32 7:28 (=5:17)
7:38 8:34 (=4:12)
8:43 9:39 (=3:06)
9:49 10:44 =(2:01)
10:54 11:50 =(0:55)
und wieder von vorn.
Da die Alternative von 6:23 wiederum die 6:23 ist, fällt die weg.
Damit sind es 2x 10 = 20 nicht unterscheidbare Uhrzeiten.
(den Zeitpunkt 24:00 lassen wir weg).