Rechenaufgaben

[kad]

101 Ameisen werden nach dem Zufallsprinzip auf einem ein Meter langen Stab platziert, mit der Ausnahme, dass eine von ihnen, Anna, genau in der Mitte platziert wird. Jede Ameise wird mit Blick in eine zufällige Richtung platziert. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fangen alle Ameisen an, in die Richtung zu krabbeln, in die sie schauen, wobei sie sich immer mit einem Meter pro Minute fortbewegen. Wenn eine Ameise auf eine andere Ameise trifft oder das Ende des Stabes erreicht, dreht sie sich sofort um und läuft in die andere Richtung weiter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich Anna nach 1 Minute wieder genau in der Mitte des Stabes befindet?

Lösung

Beim ersten Ameisenrätsel hatte giffi vorgeschlagen (um die Lösung verständlicher zu machen), jeder Ameise ein Fähnchen in die Hand zu geben, welches bei einer Kollision mit einer anderen Ameise getauscht wird. Das übernehmen wir. Und: Wenn eine Ameise ein Ende des Stabes erreicht kehrt sie (und das Fähnchen) um. Genau eine Minute nach dem Start ist jedes Fähnchen von dem Ende des Stocks, auf das er ursprünglich gerichtet war, umgedreht und hat genau den Punkt erreicht, der der Spiegelung seines Startpunkts an der Mitte des Stabes entspricht. Insbesondere Annas ursprüngliches Fähnchen, das in der Mitte des Stocks gestartet war, befindet sich jetzt wieder in der Mitte, mit einer Ameise. Aber ist das die Ameise Anna?
Die Reihenfolge der Ameisen bleibt während der gesamten aktionsreichen Minute unverändert. Wenn Anna also anfangs die k-te Ameise von links war, ist sie auch eine Minute später noch die k-te Ameise von links. Anfangs gab es k - 1 Fähnchen links von Annas Fähnchen; eine Minute später sind diese Fähnchen alle um die Mitte gespiegelt worden, so dass es jetzt genau k - 1 Fähnchen rechts von Annas ursprünglichem Fähnchen gibt. Anna kann also am Ende nur dann ihr ursprüngliches Fähnchen haben, wenn sich anfangs genau 50 Ameisen auf jeder Seite von ihr befanden. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies geschieht, ist genau
2^-100 * (100 50).
Bei (100 50) sollte 50 unterhalb 100 stehen (Kombinationen ohne Wiederholungen).

Das ist (mit Stirlingformel) etwa 0,0798, also fast 8 Prozent

Da ich die Lösung des vorherigen Rätsel (ehrlich gesagt) nicht verstanden habe,
da ich der Meiung bin, dass aus der Anwesenheit des Fähnchens von A und A an der gleichen Stelle nicht automatisch folgt, dass A das Fähnchen trägt,
werde ich mich hüten, hiermit meine grauen Zellen zu malträtieren.

Dann ist die Lösung nicht gut erklärt.
Zum Nachvollziehen ist es vielleicht hilfreich, wenn wir zuerst annehmen 50 Ameisen seine links von Anna und 50 Ameisen rechts von Anna.
Anna ist also die 51. Ameise von links. Jetzt startet die Aktion: nach einer Minute ist Anna immer noch die 51. Ameise von links und ihr Fähnchen ist wieder dort wo es am Anfang war, in der Mitte. Die 50 Fähnchen die anfangs links von Annas Fähnchen waren, sind nach dieser Minute rechts von ihrem Fähnchen und die 50 Fähnchen, die rechts von ihr waren, sind nach einer Minute links von ihrem Fähnchen.
Also, nach einer Minute 50 Fähnchen links von Annas Fähnchen (welches somit das 51. Fähnchen von links ist) und Anna ist die 51. Ameise von links. Also hat Anna wieder ihr Fähnchen.
Und jetzt überlegt man sich, dass Anna ihr ursprüngliches Fähnchen nur dann wieder hat, falls anfǎnglich 50 Ameisen links und 50 Ameisen rechts von ihr waren.

[kad]

Welcher Teil des Quadrates ist rot schattiert?

40db8f64-1ec5-4c1e-99de-e8976a4b048a.jpeg (158.91 KiB) 1011 mal betrachtet

Lösung

Spoiler

Die kleinen roten Dreiecke haben die gleiche Fläche wie die kleinen weissen Dreiecke.
Also können wir bei diesen Dreiecken die Farbe tauschen.
Die entstehende grosse rote Fläche kann nun (leicht) in 4 gleiche Dreiecke aufgeteilt, welche gleiche Form haben wie die beiden grossen weissen Dreiecke.
Also hat rot die doppelte Fläche von weiss. Also 2/3 der Quadratfläche.

Dass die roten kleinen und weissen kleinen Dreiecke gleich gross sind, sieht man durch

Schaue das kleine rote Dreieck links unten an. Zusammen mit dem kleinen weissen Dreieck bildet es wieder ein Dreieck, welches die doppelte Fläche hat des roten Dreiecks (gleiche Grundseite, doppelte Höhe). Also hat das kleine weisse Dreieck die gleiche Fläche wie das kleine rote

[kad]

Im Kopf!
Welches sind die Primfaktoren von 2021? Und von 2024?

[kad]

Und für diejenigen, welche nicht gerne Kopfrechnen, ein hübsches Rätsel aus R. Smullyans Buch “Die Rätsel von Scheherazade”

….."Mit Vergnügen", antwortete Scheherazade. "Sag mir Folgendes: Gibt es mindestens zwei arabische Menschen, die genau die gleiche Anzahl arabischer Freunde haben?" "Nun, woher soll ich das wissen?", fragte der König. "Lassen Sie mich eines klarstellen", sagte Scheherazade. "Ich verwende das Wort Freunde im gegenseitigen Sinne - zum Beispiel ist Ali nur dann ein Freund von Ahmed, wenn Ahmed auch ein Freund von Ali ist. Die Beziehung der Freundschaft ist als symmetrisch zu verstehen. Außerdem betrachte ich eine Person nicht als Freund ihrer selbst." "Das hilft nicht", sagte der König. "Ich kann es immer noch nicht wissen - und du auch nicht. Soweit ich weiß, könnte es zwei Araber geben, die die gleiche Anzahl von arabischen Freunden haben, und ich wage zu behaupten, dass es wahrscheinlich welche gibt. Aber wie die Chancen stehen, kann ich nicht sagen - und du auch nicht." Der König irrte sich in seiner letzten Behauptung, denn Scheherazade wusste genau, wie die Chancen standen, und das wirst du auch, wenn du dieses Rätsel löst. Wie stehen die Chancen?

[Eisrose]

Und für diejenigen, welche nicht gerne Kopfrechnen, ein hübsches Rätsel aus R. Smullyans Buch “Die Rätsel von Scheherazade”

….."Mit Vergnügen", antwortete Scheherazade. "Sag mir Folgendes: Gibt es mindestens zwei arabische Menschen, die genau die gleiche Anzahl arabischer Freunde haben?" "Nun, woher soll ich das wissen?", fragte der König. "Lassen Sie mich eines klarstellen", sagte Scheherazade. "Ich verwende das Wort Freunde im gegenseitigen Sinne - zum Beispiel ist Ali nur dann ein Freund von Ahmed, wenn Ahmed auch ein Freund von Ali ist. Die Beziehung der Freundschaft ist als symmetrisch zu verstehen. Außerdem betrachte ich eine Person nicht als Freund ihrer selbst." "Das hilft nicht", sagte der König. "Ich kann es immer noch nicht wissen - und du auch nicht. Soweit ich weiß, könnte es zwei Araber geben, die die gleiche Anzahl von arabischen Freunden haben, und ich wage zu behaupten, dass es wahrscheinlich welche gibt. Aber wie die Chancen stehen, kann ich nicht sagen - und du auch nicht." Der König irrte sich in seiner letzten Behauptung, denn Scheherazade wusste genau, wie die Chancen standen, und das wirst du auch, wenn du dieses Rätsel löst. Wie stehen die Chancen?

Spoiler

Die Chancen stehen bei 100 Prozent und zwar aufgrund des Schubfachprinzips.

Das gilt selbst dann, wenn man annimmt, dass ein Araber mehrere Hundertmillionen Freunde haben könnte, also quasi mit allen anderen Arabern befreundet sein könnte. Denn wenn ein Araber keine Freunde hätte, könnte niemand n-1 Freunde haben, da dieser Araber dann auch mit dem Araber mit 0 Freunden befreundet sein müsste, dann aber die Symmetrie gebrochen wäre. Wir haben also n Araber die n-2 unterschiedliche Freunde haben können, d.h. mindestens zwei Araber müssen die gleiche Anzahl von Freunden haben.

[kad]

Ich tippe auf 2/3 rot

….also habe ich dann den anderen Weg gewählt:

Spoiler

Ursprünglich waren es 1,5 rote und 1,5 weisse Dreiecke mit einem Verhältnis von 1:1
Wir teilen die Fläche in 24 Stücke (6 senkrechte Streifen, 4 waagrechte Zeilen)

Betrachten wir die 4 Quadranten und die Farben der jeweiligen 6 24-stel.
Von links oben, nach rechts, nach unten, nach links
rot/weiss
Q1: 5/1
Q2: 4/2
Q3: 1/5
Q4: 2/4

Nun invertieren wir entlang der Dialgonalen:
Q1: 5/1 (unverändert)
Q3: 5/1 (völlig invertiert)
Q2 und Q4(* korrektur) je zur Hälfte an der Diagonale invertiert.
Da Q2 und Q4 (*) jedoch symetrisch sind und somit jede invertierte Teilfläche ein Gegenstück im anderen Quadranten hat,
ändert sich das Gesamtverhältnis nicht und bleibt von Q2 und Q4 (*) zusammen bei 6/6.
Damit haben wir 16 rote und 8 weisse Teilflächen.
e voila 2:1 = 2/3 rot

Ich verstehe deine Lösung nicht. Es fängt damit an (aber hört nicht damit auf), dass schon dein erster Satz
“Ursprünglich waren es 1,5 rote und 1,5 weisse Dreiecke mit einem Verhältnis von 1:1“
bei mir eine Denkblockade auslöst.

[giffi marauder]

Im Kopf!
Welches sind die Primfaktoren von 2021? Und von 2024?

Ich probiers mal:

Spoiler

Gehen wir mal davon aus, es gäbe zwei Zahlen a,b mit a*b=Z,
dann wär w=Wurzel aus Z schon mal ein guter Anfang und a<=w<=b

40^2=1600
50^2 =2500
45^2=(40+5)^2=1600+2*40*5+5*5=2025 ein ziemlich guter Startwert. (*)
Jetzt gehen wir so vor:

a=b=w
ab=a*b
Start:
wenn ab=z -> weiter mit den Primazahlenzerlegungen von a und b
wenn ab>z -> a=a-1, ab=ab-b und zurück an den Start:
wenn ab<z -> b=b+1 ab=ab+a und zurück an den Start:
(wir multiplizieren also nicht jedesmal neu, sondern zählen einfach den anderen Wert ab bzw. dazu)

Für 2021 ergibt das:
a|b|a*b
45|45|2025 (zu groß)
44|45|1980 (2025-45) (zu klein)
44|46|2024 (1980+44) (zu groß)
43|46|1978 (2024-46) (zu klein)
43|47|2021 (passt)
da 43 ud 47 Primazahlen sind sind wir fertig.
2021=43*47

Das Ergebnis für 2024 steht schon fast da.
44|46|2024 (siehe oben)
Zerlegung der beiden Zahlen ergibt dann 2*2*11*2*23
2024=2^3*11*23

Zugegeben, ein Notizzettel ist da schon hilfreich.

(*) da fehlt die Prüfung ob nicht andere Werte besser wären.
Dazu nehmen die binomischen Formeln.
(x+1)^2=x2+2x+1
(x+1)^2=x2-2x+1
mit x=45 ergibt sich für 44^2 (2025-89) und für 46^2 (2025+91), dass beide viel weiter weg
von unseren Zahlen sind und somit schlechtere Startwerte sind.

[kad]

Im Kopf!
Welches sind die Primfaktoren von 2021? Und von 2024?

Ich probiers mal:

Spoiler

Gehen wir mal davon aus, es gäbe zwei Zahlen a,b mit a*b=Z,
dann wär w=Wurzel aus Z schon mal ein guter Anfang und a<=w<=b

40^2=1600
50^2 =2500
45^2=(40+5)^2=1600+2*40*5+5*5=2025 ein ziemlich guter Startwert. (*)
Jetzt gehen wir so vor:

a=b=w
ab=a*b
Start:
wenn ab=z -> weiter mit den Primazahlenzerlegungen von a und b
wenn ab>z -> a=a-1, ab=ab-b und zurück an den Start:
wenn ab<z -> b=b+1 ab=ab+a und zurück an den Start:
(wir multiplizieren also nicht jedesmal neu, sondern zählen einfach den anderen Wert ab bzw. dazu)

Für 2021 ergibt das:
a|b|a*b
45|45|2025 (zu groß)
44|45|1980 (2025-45) (zu klein)
44|46|2024 (1980+44) (zu groß)
43|46|1978 (2024-46) (zu klein)
43|47|2021 (passt)
da 43 ud 47 Primazahlen sind sind wir fertig.
2021=43*47

Das Ergebnis für 2024 steht schon fast da.
44|46|2024 (siehe oben)
Zerlegung der beiden Zahlen ergibt dann 2*2*11*2*23
2024=2^3*11*23

Zugegeben, ein Notizzettel ist da schon hilfreich.

(*) da fehlt die Prüfung ob nicht andere Werte besser wären.
Dazu nehmen die binomischen Formeln.
(x+1)^2=x2+2x+1
(x+1)^2=x2-2x+1
mit x=45 ergibt sich für 44^2 (2025-89) und für 46^2 (2025+91), dass beide viel weiter weg
von unseren Zahlen sind und somit schlechtere Startwerte sind.

Sehr schön.
Auch folgendes geht

Spoiler

Du hast schon bestimmt, dass 45² =2025 ist.
45²-2² =2021=(45+2)*(45-2)=47*43. (a + b) (a – b) = a² – b²

[giffi marauder]

Ich tippe auf 2/3 rot

….also habe ich dann den anderen Weg gewählt:

Spoiler

Ursprünglich waren es 1,5 rote und 1,5 weisse Dreiecke mit einem Verhältnis von 1:1
Wir teilen die Fläche in 24 Stücke (6 senkrechte Streifen, 4 waagrechte Zeilen)

Betrachten wir die 4 Quadranten und die Farben der jeweiligen 6 24-stel.
Von links oben, nach rechts, nach unten, nach links
rot/weiss
Q1: 5/1
Q2: 4/2
Q3: 1/5
Q4: 2/4

Nun invertieren wir entlang der Dialgonalen:
Q1: 5/1 (unverändert)
Q3: 5/1 (völlig invertiert)
Q2 und Q4(* korrektur) je zur Hälfte an der Diagonale invertiert.
Da Q2 und Q4 (*) jedoch symetrisch sind und somit jede invertierte Teilfläche ein Gegenstück im anderen Quadranten hat,
ändert sich das Gesamtverhältnis nicht und bleibt von Q2 und Q4 (*) zusammen bei 6/6.
Damit haben wir 16 rote und 8 weisse Teilflächen.
e voila 2:1 = 2/3 rot

Ich verstehe deine Lösung nicht. Es fängt damit an (aber hört nicht damit auf), dass schon dein erster Satz
“Ursprünglich waren es 1,5 rote und 1,5 weisse Dreiecke mit einem Verhältnis von 1:1“
bei mir eine Denkblockade auslöst.

Ok, mein Ansatz war folgender:
Betrachtet man das Bild so könnte man annehmen, dass der Teil rechts der Diagonale invertiert wurde.
Macht man diese Invertierung rückgängig, so sieht man am "Ursprungsbild"
1 und 1/2 roten Pfeil nach unten, und
1/2 und 1 weissen Pfeil nach oben.

Damit ist das "ursprüngliche" Verhältnis der roten und weissen Flächen 1:1

Nun teilt man das Bild in 4 Quadranten und sieht sich an,
wie sich die Verhältnisse innerhalb der Quadranten durch die Invertierung 3 Teilflächen (Q2 und Q4 je zur Hälfte und Q3 zur Gänze)
verändert.

Soweit der Ansatz.
Falsch war aber meine Annahme, dass Q2 und Q4 "spiegelgleich" invertiert würden,
also jede Fläche die links unten die Farbe wechselt dies ebenso spiegelgleich rechts oben machen würde.
Wobei aber dennoch richtig ist, dass sich das Verhältnis der beiden Quadranten Q2+Q4 durch die Invertierung nicht ändert.

Und ja, ich hab das Paralellogram bei den kleine Dreiecken jetzt auch gesehen.

[kad]

Und für diejenigen, welche nicht gerne Kopfrechnen, ein hübsches Rätsel aus R. Smullyans Buch “Die Rätsel von Scheherazade”

….."Mit Vergnügen", antwortete Scheherazade. "Sag mir Folgendes: Gibt es mindestens zwei arabische Menschen, die genau die gleiche Anzahl arabischer Freunde haben?" "Nun, woher soll ich das wissen?", fragte der König. "Lassen Sie mich eines klarstellen", sagte Scheherazade. "Ich verwende das Wort Freunde im gegenseitigen Sinne - zum Beispiel ist Ali nur dann ein Freund von Ahmed, wenn Ahmed auch ein Freund von Ali ist. Die Beziehung der Freundschaft ist als symmetrisch zu verstehen. Außerdem betrachte ich eine Person nicht als Freund ihrer selbst." "Das hilft nicht", sagte der König. "Ich kann es immer noch nicht wissen - und du auch nicht. Soweit ich weiß, könnte es zwei Araber geben, die die gleiche Anzahl von arabischen Freunden haben, und ich wage zu behaupten, dass es wahrscheinlich welche gibt. Aber wie die Chancen stehen, kann ich nicht sagen - und du auch nicht." Der König irrte sich in seiner letzten Behauptung, denn Scheherazade wusste genau, wie die Chancen standen, und das wirst du auch, wenn du dieses Rätsel löst. Wie stehen die Chancen?

Spoiler

Die Chancen stehen bei 100 Prozent und zwar aufgrund des Schubfachprinzips.

Das gilt selbst dann, wenn man annimmt, dass ein Araber mehrere Hundertmillionen Freunde haben könnte, also quasi mit allen anderen Arabern befreundet sein könnte. Denn wenn ein Araber keine Freunde hätte, könnte niemand n-1 Freunde haben, da dieser Araber dann auch mit dem Araber mit 0 Freunden befreundet sein müsste, dann aber die Symmetrie gebrochen wäre. Wir haben also n Araber die n-2 unterschiedliche Freunde haben können, d.h. mindestens zwei Araber müssen die gleiche Anzahl von Freunden haben.

Perfetto

[giffi marauder]

Sehr schön.
Auch folgendes geht

Spoiler

Du hast schon bestimmt, dass 45² =2025 ist.
45²-2² =2021=(45+2)*(45-2)=47*43. (a + b) (a – b) = a² – b²

Na dann mach das mal für 2026.

Spoiler

45|45|2025 (zu klein)
45|46|2070 (2025+45) (zu groß)
....
(1010 Zeilen später)
....
2|1013|2026


Ok, man könnte die Berechnung des Inkrements noch optimieren.

[kad]

Ein weiteres Rätsel aus dem Buch “Die Rätsel von Scheherazade”.


"Wieder standen Abu, Ibn und Hasib vor Gericht, und es war bekannt, dass nur einer von ihnen schuldig war. Abu behauptete, unschuldig zu sein; Ibn stimmte zu, dass Abu unschuldig sei; und Hasib behauptete, er selbst sei der Schuldige. Es stellte sich heraus, dass der Schuldige gelogen hatte. Welcher von ihnen war schuldig?"

[Eisrose]

"Wieder standen Abu, Ibn und Hasib vor Gericht, und es war bekannt, dass nur einer von ihnen schuldig war. Abu behauptete, unschuldig zu sein; Ibn stimmte zu, dass Abu unschuldig sei; und Hasib behauptete, er selbst sei der Schuldige. Es stellte sich heraus, dass der Schuldige gelogen hatte. Welcher von ihnen war schuldig?"

Spoiler

Das Problem ist natürlich zwischen Abu und Ibn zu entscheiden. Sieht man die kompletten drei Szenarien wirds aber einfach:

1.) Abu ist schuldig
Lüge: Abu behauptet, unschuldig zu sein.
Lüge: Ibn behauptet, Abu sei unschuldig.
Lüge: Hasib behauptet, er sei der Schuldige.

2.) Ibn ist schuldig
Wahr: Abu behauptet, unschuldig zu sein.
Wahr: Ibn behauptet, Abu sei unschuldig.
Lüge: Hasib behauptet, er sei der Schuldige.

3.) Hasib ist schuldig
Wahr: Abu behauptet, unschuldig zu sein.
Wahr: Ibn behauptet, Abu sei unschuldig.
Wahr: Hasib behauptet, er sei der Schuldige.

Hasib kann nicht schuldig sein, weil er dann nicht gelogen hätte. Ibn kann nicht schuldig sein, weil er dann nicht gelogen hätte. Also kann nur Abu schuldig sein und tatsächlich, er hat gelogen. Wobei wir eigentlich nur die fetten Aussagen bräuchten, es kommt also nicht drauf an, ob Ibn in 1. und 3. nur geraten hat. Aber wenn mans komplett sieht, versteht man es besser.

[giffi marauder]

Ein weiteres Rätsel aus dem Buch “Die Rätsel von Scheherazade”.


"Wieder standen Abu, Ibn und Hasib vor Gericht, und es war bekannt, dass nur einer von ihnen schuldig war. Abu behauptete, unschuldig zu sein; Ibn stimmte zu, dass Abu unschuldig sei; und Hasib behauptete, er selbst sei der Schuldige. Es stellte sich heraus, dass der Schuldige gelogen hatte. Welcher von ihnen war schuldig?"

Spoiler

Mein Tipp ist Abu.

Da der Schuldige gelogen hat und Hasib von sich selbst behauptet der Schuldige zu sein,
fällt er schon mal raus.

Dass Hasib damit gelogen hat, obwohl er unschuldig ist, spielt keine Rolle, denn
"der Schuldige hat gelogen" beduetet ja nicht automatisch, dass jeder der lügt schuldig ist.

Ibn behauptet dass A unschuldig ist, wär das die Wahrheit, wäre Ibn jedenfalls unschuldig und somit müsste A der Schuldige sein.
Also lügt auch Ibn und er selbst kann nicht schuldig sein.

Bleibt einzig Abu als schuldiger.

Abu behauptet nicht der Schuldige zu sein, da er das aber ist, lügt er.

Verlogene Bande allesamt.

[kad]

Es hat noch viele Rätsel in diesem Buch. Nach folgendem machen wir eine Scheherazade Pause.


"Hier ist noch eine", sagte Scheherazade. "Ibn kam einmal in einen Laden und stahl ein Drittel der Silbermünzen plus ein Drittel einer Münze." "Moment mal!", sagte der König. "Wie konnte er ein Drittel einer Münze stehlen? Hat er ein Stück abgebrochen?" "Nein, natürlich nicht", lachte Scheherazade. "Ich meinte, dass ein Drittel der Anzahl der Münzen, die er gefunden hat, plus die Zahl ⅓, die Anzahl der Münzen ist, die er genommen hat, was zufällig eine ganze Zahl ist." "Oh, ich verstehe", sagte der König. "Fahre fort!" "Nun, kurz darauf betrat Hasib den Laden und stahl ein Viertel der verbliebenen Münzen, plus ein Viertel einer Münze. Bald darauf kam Abu herein und stahl ein Fünftel der verbliebenen Münzen, plus drei Fünftel einer Münze. Schließlich kam ein anderer von Ali Babas Dieben herein und stahl die restlichen 409 Münzen. Wie viele Münzen hat Ibn gefunden?"