Überlegung mit 2 Zahlen
a+b=100 -> b=100-a
a*b=a(100-a)=100a-a2
Da das ein symetrsiche quadratische Funkion mit f(0)=f(100)=0 ist,
liegt das Maximum genau in der Mitte bei a=50
(oder auch Extremwert=Nullstelle des Differenzials (100-2a)=0 -> 100=2a-> a=50)
Dies kann man auch daraus schließen, dass a²>(a-1)(a+1)=a²-2a+1>(a-2)(a+2)=a²-4a+4....
Im besten Fall sind also die beiden Faktoren (anähernd) gleich groß.
Somit ist das Maximalprodukt bei nur 2 Zahlen (100/2)^2
Schauen wir uns das mal mit 4 Zahlen a,b,c,d an, so wird ziemlich schnell klar,
dass durch a+b+c+d=(a+b)(c+d) bzw. a*b*c*d =(a*b)*(c*d) das Maximum bei 25,25,25,25 liegen muss
Das ist dann (100/4)^4
Also haben wir vermutlich für das Maximalprodukt für z Zahlen folgende Funktion:
MaxP=(100/z)^z
Und wie hoch soll nun das z sein?.
Ähnlich wie oben schauen wir uns die Funkiton an.
P(1)=(100/1)^1=100
P(2)=(100/2)^2=2500
P(100)=(100/100)^100=1
Weiters ist insbesondere P(25)=(100/25)^25=4^25=2^50
und P(50)=(100/50)^50=2^50
Das Maximum liegt also irgendwo zwischen 25 und 50 Zahlen.
Nur 2'er sind also womöglich doch nicht die Lösung, wie ich instiktiv vermutet hätte.
Bleiben also nur noch möglichst viele Dreier.
Da mehr als 33 Dreier nicht möglich sind,
sind das dann wohl 32 Dreier und 2 Zweier also (3^32)*(2^2) (P1)
2 Dreier weniger dafür 3 Zweier mehr wären dann (3^30)*(2^5) (P2)
und P1/P2 = 3^2/2^3= 9/8 und somit P2 kleiner als P1.
Somit ist P1 das Maximum und 32 Dreier + 2 Zweier die Lösung.
Was dann die ziemlich große Zahl mit ca. 7.412.080,755 Mrd wäre.
So und jetzt seh ich mir die Lösung an:
Nailed it.
