Rechenaufgaben

[kad]

Angenommen, alle drei Koordinatenebenenprojektionen eines konvexen Körpers sind Kreisscheiben. Muss der Körper dann eine perfekte Kugel sein?

Spoiler

Eine perfekte Kugel wäre der Schnitt von Zylindern in "alle" Richtungen.

Für die drei Projektionen reicht die Schnittmenge der drei "senkrechten" Zylinder.
Das ist dann eher ein Würfel mit bis zur Kantenmitte gefasten Ecken.

Genau!

[kad]

Kann man einen Würfel durch ein Loch in einem kleineren Würfel schieben?

[kad]

Leichte Kost

Sie haben eine seltene, aber behandelbare Krankheit. Jeden Tag müssen Sie 1 Tablette von Medikament A und 1 Tablette von Medikament B einnehmen.


Wenn Sie die falsche Dosis einnehmen, werden Sie krank. Sie müssen sehr vorsichtig sein, da die Tabletten identisch aussehen.

Sie genießen Ihren Urlaub, als Sie vom Pech verfolgt werden. Zwei Tage vor dem Ende lassen Sie die 4 restlichen Tabletten ungeschickt auf den Boden fallen und sie werden vermischt.

Sie haben keine Möglichkeit, mehr Medikamente zu bekommen. Was können Sie tun?

IMG_0820 (002).jpeg (72.62 KiB) 138 mal betrachtet

[Leenia]

Sicherlich soll eine mathematische Erklärung abgegeben werden.
Aber ich würde die Tabletten teilen, und ist vermutlich ein halber Weg.

[kad]

Sicherlich soll eine mathematische Erklärung abgegeben werden.
Aber ich würde die Tabletten teilen, und ist vermutlich ein halber Weg.

Genau richtig!

[kad]

Gefangenenrätsel gibt es viele.
Das folgende ist nicht-trivial

Hundert Gefangenen wird gesagt, dass um Mitternacht im Dunkeln jeder von ihnen einen roten oder schwarzen Hut erhält, je aufgrund eines fairen Münzwurfs. Die Gefangenen werden in einem Kreis aufgestellt und das Licht eingeschaltet, sodass jeder Gefangene die Hutfarbe aller anderen Gefangenen sehen kann. Sobald das Licht an ist, haben die Gefangenen keine Möglichkeit mehr, sich gegenseitig Signale zu geben oder auf irgendeine Weise zu kommunizieren.

Jeder Gefangene wird dann beiseite genommen und erhält die Möglichkeit zu erraten, ob sein eigener Hut rot oder schwarz ist, aber er kann auch passen. Alle Gefangenen werden freigelassen, wenn (1) mindestens ein Gefangener rät und (2) jeder Gefangene, der rät, richtig rät.

Wie üblich haben die Gefangenen die Möglichkeit, vor Spielbeginn eine Strategie zu entwickeln. Können sie eine Gewinnwahrscheinlichkeit von über 50 % erreichen?

[giffi marauder]

Gefangenenrätsel gibt es viele.
Das folgende ist nicht-trivial

Hundert Gefangenen wird gesagt, dass um Mitternacht im Dunkeln jeder von ihnen einen roten oder schwarzen Hut erhält, je aufgrund eines fairen Münzwurfs. Die Gefangenen werden in einem Kreis aufgestellt und das Licht eingeschaltet, sodass jeder Gefangene die Hutfarbe aller anderen Gefangenen sehen kann. Sobald das Licht an ist, haben die Gefangenen keine Möglichkeit mehr, sich gegenseitig Signale zu geben oder auf irgendeine Weise zu kommunizieren.

Jeder Gefangene wird dann beiseite genommen und erhält die Möglichkeit zu erraten, ob sein eigener Hut rot oder schwarz ist, aber er kann auch passen. Alle Gefangenen werden freigelassen, wenn (1) mindestens ein Gefangener rät und (2) jeder Gefangene, der rät, richtig rät.

Wie üblich haben die Gefangenen die Möglichkeit, vor Spielbeginn eine Strategie zu entwickeln. Können sie eine Gewinnwahrscheinlichkeit von über 50 % erreichen?

"Jeder Gefangene wird dann beiseite genommen..."

Bekommen die restlichen Gefangenen mit, ob und was dieser rät oder bleibt ihnen das vorborgen?

[kad]

Die restlichen Gefangenen bekommen nichts mit.

[giffi marauder]

Die restlichen Gefangenen bekommen nichts mit.

Spoiler

Ok, also kein Informationszugewinn im Laufe des Verfahrens.

Wenn wi die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Person i richtig liegt
würde jeder weitere Raterei zu einer kleiner Gesamtwahrscheinlichkeit führen (wi^n<wi)

Offentsichtlich ist es somit optimal, dass nur einer eine Vermutung anstellt,
da, wenn der erste Rater richtig liegt, alle frei sind wenn die nachfolgenden passen
und falls der falsch liegt, eh keiner frei kommt, egal ob die noch weiterraten oder auch nicht.

Auch scheint es mir ziemlich egal welcher hier rät, da Anfangs keiner mehr Informationen hat,
als irgend ein anderer und auch später nicht mehr weiss.

Doch wie könnte wi>0,5 sein?
Ist doch in der Hälfte aller möglichen Fälle sein Hut rot oder schwarz, völlig unabhängig davon was die anderen am Kopf haben.

[kad]

Die restlichen Gefangenen bekommen nichts mit.

Spoiler

Ok, also kein Informationszugewinn im Laufe des Verfahrens.

Wenn wi die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Person i richtig liegt
würde jeder weitere Raterei zu einer kleiner Gesamtwahrscheinlichkeit führen (wi^n<wi)

Offentsichtlich ist es somit optimal, dass nur einer eine Vermutung anstellt,
da, wenn der erste Rater richtig liegt, alle frei sind wenn die nachfolgenden passen
und falls der falsch liegt, eh keiner frei kommt, egal ob die noch weiterraten oder auch nicht.

Auch scheint es mir ziemlich egal welcher hier rät, da Anfangs keiner mehr Informationen hat,
als irgend ein anderer und auch später nicht mehr weiss.

Doch wie könnte wi>0,5 sein?
Ist doch in der Hälfte aller möglichen Fälle sein Hut rot oder schwarz, völlig unabhängig davon was die anderen am Kopf haben.

Spoiler

Das erstaunliche ist, dass es möglich ist eine Gewinnwahrscheinlichkeit > 98% zu erreichen.
Das tönt wie Zauberei…….
Hast du nicht schon mal Hamming code erwähnt….

[giffi marauder]

Die restlichen Gefangenen bekommen nichts mit.

Spoiler

Ok, also kein Informationszugewinn im Laufe des Verfahrens.

Wenn wi die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Person i richtig liegt
würde jeder weitere Raterei zu einer kleiner Gesamtwahrscheinlichkeit führen (wi^n<wi)

Offentsichtlich ist es somit optimal, dass nur einer eine Vermutung anstellt,
da, wenn der erste Rater richtig liegt, alle frei sind wenn die nachfolgenden passen
und falls der falsch liegt, eh keiner frei kommt, egal ob die noch weiterraten oder auch nicht.

Auch scheint es mir ziemlich egal welcher hier rät, da Anfangs keiner mehr Informationen hat,
als irgend ein anderer und auch später nicht mehr weiss.

Doch wie könnte wi>0,5 sein?
Ist doch in der Hälfte aller möglichen Fälle sein Hut rot oder schwarz, völlig unabhängig davon was die anderen am Kopf haben.

Spoiler

Das erstaunliche ist, dass es möglich ist eine Gewinnwahrscheinlichkeit > 98% zu erreichen.
Das tönt wie Zauberei…….
Hast du nicht schon mal Hamming code erwähnt….

Spoiler

Natürlich bietet sich irgendwas mit der Parität an.
Aber ich finde da noch keinen Zugang.

Meine Lösung wäre, man verständigt sich auf eine Person die rät und diese
sagt, weil das Verhältnis von rot zu schwarz normverteilt ist, die Hutfarbe, die in der Minderheit ist.

Aber 98% Überlebenswahrscheinlichkeit bringt das wohl auch nicht.

[kad]

Spoiler

Die restlichen Gefangenen bekommen nichts mit.

Spoiler

Ok, also kein Informationszugewinn im Laufe des Verfahrens.

Wenn wi die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Person i richtig liegt
würde jeder weitere Raterei zu einer kleiner Gesamtwahrscheinlichkeit führen (wi^n<wi)

Offentsichtlich ist es somit optimal, dass nur einer eine Vermutung anstellt,
da, wenn der erste Rater richtig liegt, alle frei sind wenn die nachfolgenden passen
und falls der falsch liegt, eh keiner frei kommt, egal ob die noch weiterraten oder auch nicht.

Auch scheint es mir ziemlich egal welcher hier rät, da Anfangs keiner mehr Informationen hat,
als irgend ein anderer und auch später nicht mehr weiss.

Doch wie könnte wi>0,5 sein?
Ist doch in der Hälfte aller möglichen Fälle sein Hut rot oder schwarz, völlig unabhängig davon was die anderen am Kopf haben.

Spoiler

Das erstaunliche ist, dass es möglich ist eine Gewinnwahrscheinlichkeit > 98% zu erreichen.
Das tönt wie Zauberei…….
Hast du nicht schon mal Hamming code erwähnt….

Spoiler

Natürlich bietet sich irgendwas mit der Parität an.
Aber ich finde da noch keinen Zugang.

Meine Lösung wäre, man verständigt sich auf eine Person die rät und diese
sagt, weil das Verhältnis von rot zu schwarz normverteilt ist, die Hutfarbe, die in der Minderheit ist.

Aber 98% Überlebenswahrscheinlichkeit bringt das wohl auch nicht.

Spoiler

Ich habe mit 3 Gefangenen herumgespielt und dann etwas entdeckt.

[kad]

Gibt es ein Sechseck, das durch eine einzige (gerade) Linie in vier kongruente Dreiecke geteilt werden kann?

Statt viele Sechsecke zu zeichnen , um eine Lösung zu finden, könnte man mit 4 kongruenten Dreiecken starten und versuchen, sie geeignet zusammen zu schieben.

[kad]

Zwei Ranken, eine Winde und ein Geißblatt, klettern an einem Baumstamm hoch und beginnen und enden an derselben Stelle. Die Winde umkreist den Stamm dreimal gegen den Uhrzeigersinn, während das Geißblatt fünfmal im Uhrzeigersinn kreist. Wie oft kreuzen sie sich, wenn man die erste und letzte Treffen nicht mitzählt?

[giffi marauder]

Gibt es ein Sechseck, das durch eine einzige (gerade) Linie in vier kongruente Dreiecke geteilt werden kann?

Statt viele Sechsecke zu zeichnen , um eine Lösung zu finden, könnte man mit 4 kongruenten Dreiecken starten und versuchen, sie geeignet zusammen zu schieben.

Spoiler

Ich scheitere noch an den 4 resultierenden Dreiecken und komme nur auf drei.

Ich nehme ein Rechteck und entferne davon 1/4.
Damit habe ich 1 Eck weniger, dafür 3 Neue -> 4-1+3=6
Wenn ich diesen "Schuh" diagonal durchscheineide, habe ich drei kongruente Dreiecke.