Rechenaufgaben

[giffi marauder]

Du hast die Möglichkeit, 1 € auf eine Zahl zwischen 1 und 6 zu setzen. Dann werden drei Würfel geworfen. Wenn deine Zahl nicht erscheint, verlierst du deinen 1 €. Wenn sie einmal erscheint, gewinnst du 1 €; wenn sie zweimal erscheint, 2 €; wenn sie dreimal erscheint, 3 €.

Ist diese Wette zu deinen Gunsten, fair oder unvorteilhaft?

Spoiler

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl nicht kommt ist 5/6*5/6*5/6=125/216
Dass sie einmal erscheint ist (3-mal) 1/6*5/6*5/6 = 25/216 =75/216
Dass sie zwei mal erscheint ist (3-mal) 1/6*1/6*5/6 =5/216=15/216
Dass sie drei mal erscheint ist 1/6*1/6*1/6 =1/216
Der Kontinuumsgewinn ist somit -125+75+2*15+3*1=-17
und der Erwartungswert -17/216=-0,078
Ich denke also eher unvorteilhaft.

[kad]

Troilus ist mit Cressida verlobt, aber ihm droht die Abschiebung, und die Einwanderungsbehörde stellt die Rechtmäßigkeit der geplanten Ehe in Frage. Um ihre Verbindung zu testen, wird Troilus in einen Raum mit einem Schachbrett gebracht, bei dem ein Feld als „besonders“ definiert ist. Auf jedem Feld befindet sich eine Münze, entweder mit Kopf oder Zahl. Troilus darf eine Münze umdrehen, woraufhin er aus dem Raum geworfen und Cressida hereingebracht wird.

Cressida muss nach der Untersuchung des Schachbretts das „besonders“ definierte Feld erraten. Wenn sie falsch liegt, wird Troilus abgeschoben. Können Troilus und Cressida ihre Ehe retten?

[kad]

Du hast die Möglichkeit, 1 € auf eine Zahl zwischen 1 und 6 zu setzen. Dann werden drei Würfel geworfen. Wenn deine Zahl nicht erscheint, verlierst du deinen 1 €. Wenn sie einmal erscheint, gewinnst du 1 €; wenn sie zweimal erscheint, 2 €; wenn sie dreimal erscheint, 3 €.

Ist diese Wette zu deinen Gunsten, fair oder unvorteilhaft?

Spoiler

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl nicht kommt ist 5/6*5/6*5/6=125/216
Dass sie einmal erscheint ist (3-mal) 1/6*5/6*5/6 = 25/216 =75/216
Dass sie zwei mal erscheint ist (3-mal) 1/6*1/6*5/6 =5/216=15/216
Dass sie drei mal erscheint ist 1/6*1/6*1/6 =1/216
Der Kontinuumsgewinn ist somit -125+75+2*15+3*1=-17
und der Erwartungswert -17/216=-0,078
Ich denke also eher unvorteilhaft.

Mit deiner Antwort liegst du 100% richtig.

[giffi marauder]

Smullyan trifft Sudoku
Schwierig!


image0.jpeg


Albert, Bertrand, Carl, and David are perfectly logical Sudoku solvers. They are shown the following 4x4 Sudoku

These rules: Normal 4x4 Sudoku rules apply; digits in cages sum up to the value in the top left and may repeat if allowed by other rules. Each solver is privately told the value of one cage total: Albert is told A, Bertrand is told B, Carl is told C, and David is told D. They then have the following conversation:

Albert: 'Nobody here can place any digits yet.'

Bertrand: 'Well, now I can.'

Carl: "No one else was told the same number as I was."

David: "Someone here knows more digits than I do."

After this exchange, one of the four solvers completes the Sudoku. Can you do the same?

Spoiler

3421
1243
4132
2314

[kad]

Smullyan trifft Sudoku
Schwierig!


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Albert, Bertrand, Carl, and David are perfectly logical Sudoku solvers. They are shown the following 4x4 Sudoku

These rules: Normal 4x4 Sudoku rules apply; digits in cages sum up to the value in the top left and may repeat if allowed by other rules. Each solver is privately told the value of one cage total: Albert is told A, Bertrand is told B, Carl is told C, and David is told D. They then have the following conversation:

Albert: 'Nobody here can place any digits yet.'

Bertrand: 'Well, now I can.'

Carl: "No one else was told the same number as I was."

David: "Someone here knows more digits than I do."

After this exchange, one of the four solvers completes the Sudoku. Can you do the same?

Spoiler

3421
1243
4132
2314

Spoiler

Ich habe da ein anderes Resultat.
Und ich brauche Zeit und Ruhe (beides habe ich momentan nicht )um zu sehen, wo das Problem liegt.
asap

[kad]

Troilus ist mit Cressida verlobt, aber ihm droht die Abschiebung, und die Einwanderungsbehörde stellt die Rechtmäßigkeit der geplanten Ehe in Frage. Um ihre Verbindung zu testen, wird Troilus in einen Raum mit einem Schachbrett gebracht, bei dem ein Feld als „besonders“ definiert ist. Auf jedem Feld befindet sich eine Münze, entweder mit Kopf oder Zahl. Troilus darf eine Münze umdrehen, woraufhin er aus dem Raum geworfen und Cressida hereingebracht wird.

Cressida muss nach der Untersuchung des Schachbretts das „besonders“ definierte Feld erraten. Wenn sie falsch liegt, wird Troilus abgeschoben. Können Troilus und Cressida ihre Ehe retten?

Hinweis

Spoiler

Eine schöne Anwendung von nimbers

https://en.wikipedia.org/wiki/Nimber


64 = 2^6

[giffi marauder]

Smullyan trifft Sudoku
Schwierig!


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Albert, Bertrand, Carl, and David are perfectly logical Sudoku solvers. They are shown the following 4x4 Sudoku

These rules: Normal 4x4 Sudoku rules apply; digits in cages sum up to the value in the top left and may repeat if allowed by other rules. Each solver is privately told the value of one cage total: Albert is told A, Bertrand is told B, Carl is told C, and David is told D. They then have the following conversation:

Albert: 'Nobody here can place any digits yet.'

Bertrand: 'Well, now I can.'

Carl: "No one else was told the same number as I was."

David: "Someone here knows more digits than I do."

After this exchange, one of the four solvers completes the Sudoku. Can you do the same?

Spoiler

3421
1243
4132
2314

Spoiler

Ich habe da ein anderes Resultat.
Und ich brauche Zeit und Ruhe (beides habe ich momentan nicht )um zu sehen, wo das Problem liegt.
asap

Spoiler

Nun ja, ich hab mit da vor allem an Carl orientiert.
Womöglich ist eine der anderen Aussagen verletzt.

[kad]

Smullyan trifft Sudoku
Schwierig!


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Albert, Bertrand, Carl, and David are perfectly logical Sudoku solvers. They are shown the following 4x4 Sudoku

These rules: Normal 4x4 Sudoku rules apply; digits in cages sum up to the value in the top left and may repeat if allowed by other rules. Each solver is privately told the value of one cage total: Albert is told A, Bertrand is told B, Carl is told C, and David is told D. They then have the following conversation:

Albert: 'Nobody here can place any digits yet.'

Bertrand: 'Well, now I can.'

Carl: "No one else was told the same number as I was."

David: "Someone here knows more digits than I do."

After this exchange, one of the four solvers completes the Sudoku. Can you do the same?

Spoiler

3421
1243
4132
2314

Spoiler

Ich habe da ein anderes Resultat.
Und ich brauche Zeit und Ruhe (beides habe ich momentan nicht )um zu sehen, wo das Problem liegt.
asap

Spoiler

Nun ja, ich hab mit da vor allem an Carl orientiert.
Womöglich ist eine der anderen Aussagen verletzt.

Lösung

Spoiler

Die folgende Lösung habe ich mit google translate von English in Deutsch übersetzen lassen.

Albert: Noch kann niemand Ziffern platzieren

Da keine weiteren Hinweise gegeben sind, besteht die einzige Möglichkeit, dass jemand Ziffern platzieren könnte, darin, dass A oder C eine 4 oder 11 hat, was eine 121 oder eine 434 im L-Käfig erzwingt. Damit Albert das sagen kann, weiß er mit Sicherheit, dass weder er noch Carl diese Zahlen haben. A und C ergeben zusammen 13-17, der Wert von A muss also dafür sorgen, dass C unmöglich 4 oder 11 sein kann. 5 oder 6 machen C=11 möglich, da 6+11=17 (man kann das mögliche Szenario leicht konstruieren). 9 oder 10 machen C=4 möglich, da 9+4=13

Also kann A nur 7 oder 8 sein.

Bertrand: Jetzt kann ich einige Ziffern platzieren

Denken Sie daran, dass die obige logische Schlussfolgerung auf der Tatsache basiert, dass Albert die Aussage gemacht hat. Wir müssen A nicht kennen, also weiß das jeder, einschließlich uns und B. Derzeit kennt B also A=7 oder 8 und seine eigene Zahl. Und jetzt ist er sicher, dass er einige Ziffern platzieren kann.

Es sollte offensichtlich sein, dass die einzige mögliche Ziffer, die Bertrand kennen kann, r2c2 ist, andere haben keine Einschränkungen. Nur r2c2 hat die Relation A=B+r2c2 (durch Sudoku), und wir haben einige Informationen über A und B. Bertrand ist sicher, dass er eine Ziffer platzieren kann (weil er B kennt), also muss B r2c2 erzwingen. Wenn B=4, da A=7 oder 8, r2c2 = 3 oder 4, also B=/=4

Wenn wir diese Logik fortsetzen, wissen wir, dass A=7,B=3,r2c2=4 oder A=8,B=7,r2c2=1 ('wir' bedeutet den Löser und ABCD)

Carl: Niemand hat den gleichen Wert wie C

Offensichtlich ist C =/= 7, da entweder A oder B ist 7. Da wir wissen, dass B 3 oder 7 ist, wissen wir, dass der r3c3,r3c4-Domino ein 12er- oder 34er-Paar ist: Wenn also C = 5 ist, wissen wir, dass r2c3 = 2 ist. Nun sollten wir überlegen, ob D in diesem Fall auch 5 sein kann. Die Antwort ist ja, und wir können das Sudoku lösen, um sicherzustellen, dass keine Widersprüche auftreten. Also kann C nicht 5 sein (sonst könnte Carl diese Aussage nicht machen). Wiederholen wir dies mit C = 6, und wir sehen auch C =/= 6.

Jetzt ist C = 8, 9, 10. Dies erzwingt sofort A = 7, B = 3 und r2c2 = 4.



David: Jemand hier kennt mehr Ziffern als ich

Wir haben jetzt r2c2, aber es fällt leicht auf, dass Albert und Bertrand keine weiteren Ziffern kennen. Das liegt daran, dass ihr Wert bereits allgemein bekannt ist und es keine Möglichkeit gibt, die Paarplatzierungen zu fixieren.

Carl kennt mindestens 3 weitere Ziffern. Carl kennt C und daher r2c3 (r2c3=C-7). Der Wert fixiert ein Paar unten rechts.

Wenn D-Kästchen bereits ein festes Paar ist, kann David das untere rechte Kästchen sofort lösen und erhält 4 weitere Ziffern, wodurch er die meisten Ziffern kennt.

Aber David weiß weniger als Carl, also kann D kein festes Paar sein und D=5 (D=3 festes 12er-Paar, D=4 festes 13er-Paar usw.)

Nun hat eine Person das Sudoku gelöst.

Natürlich ist es Carl, er kennt die meisten Ziffern. Aus Davids Aussage wissen wir nur, dass D=5 ist, es hat den anderen keine Ziffern gegeben

Wir wissen jetzt, dass r3c4+r4c4=5 (D=5). Aus r2c8, das nur Carl kennt, kann er also Spalte 3 und Feld 4 lösen.

Man kann versuchen, r2c3=1,2,3 zu verwenden. Die Lösung, die keine Unklarheiten zulässt, ist die Lösung.

**Es ist verlockend, mit Logik einige Ziffern zu erzwingen (die Tatsache, dass das Sudoku eine eindeutige Lösung hat, kann r1c1=3 erzwingen). Aber das ist falsch. Carl weiß nicht, dass das Sudoku eine eindeutige Lösung hat. Der C-Wert hat die Einzigartigkeit der Lösung bewirkt. Nur der Leser weiß, dass die Einzigartigkeit der Lösung eine Tatsache ist, und sie kann nicht als Begründung für Carl verwendet werden, diese Ziffern einzusetzen.

r1c1 ist tatsächlich 3, da die Lösung eindeutig ist, aber sie kann nicht ausgefüllt werden, bevor wir r263 kennen. Dies würde dazu führen, dass Carl in mehreren Szenarien eine eindeutige Lösung findet, was es unmöglich macht, die tatsächliche Lösung zu finden.

[kad]

Troilus ist mit Cressida verlobt, aber ihm droht die Abschiebung, und die Einwanderungsbehörde stellt die Rechtmäßigkeit der geplanten Ehe in Frage. Um ihre Verbindung zu testen, wird Troilus in einen Raum mit einem Schachbrett gebracht, bei dem ein Feld als „besonders“ definiert ist. Auf jedem Feld befindet sich eine Münze, entweder mit Kopf oder Zahl. Troilus darf eine Münze umdrehen, woraufhin er aus dem Raum geworfen und Cressida hereingebracht wird.

Cressida muss nach der Untersuchung des Schachbretts das „besonders“ definierte Feld erraten. Wenn sie falsch liegt, wird Troilus abgeschoben. Können Troilus und Cressida ihre Ehe retten?

Hinweis

Spoiler

Eine schöne Anwendung von nimbers

https://en.wikipedia.org/wiki/Nimber


64 = 2^6

Lösung

Spoiler

Troilus muss mit einer umgedrehten Münze irgendwie Informationen im Wert von 6 Bits übermitteln (da das Schachbrett 64 = 2^6 Felder hat). Er hat 64 verschiedene Dinge, die er tun kann, also ist dies nicht a priori unmöglich, aber er und Cressida müssen sehr effizient sein.

Der natürliche Ansatz – wenn man sich mit nimbers auskennt – besteht darin, jedem Feld des Schachbretts ein nimber der Länge 6 zuzuweisen. Wenn Cressida hereinkommt, summiert sie die nimbers der Felder, deren Münze Kopf zeigt; das ergibt ein nimber und sie vermutet nun, dass das zugehörige Feld das vorgesehene Sonderfeld ist.

Troilus muss also nur sicherstellen, dass die Summe auf das richtige Feld zeigt, aber das ist einfach. Er berechnet die Summe der nimbers der Kopffelder auf dem Spielbrett, wie sie ihm präsentiert werden, und vergleicht sie mit dem nimber des dafür vorgesehenen Sonderfeldes. Wenn ihre Summe (d. h. Differenz!) die Zahl b ist, dreht er die Münze auf Feld b um. Dadurch wird b von der Summe addiert (d. h. subtrahiert), und die Summe zeigt auf das Sonderfeld.

[kad]

Fünfzehn Bits und ein Spion

Die einzige Möglichkeit einer Spionin, mit ihrer Kontrollstelle zu kommunizieren, besteht in der täglichen Ausstrahlung von 15 Nullen und Einsen durch einen lokalen Radiosender. Sie weiß nicht, wie die Bits ausgewählt werden, aber jeden Tag hat sie die Möglichkeit, ein beliebiges Bit zu verändern, von einer 0 in eine 1 oder umgekehrt.

Wie viele Informationen kann sie täglich kommunizieren?

[giffi marauder]

Troilus ist mit Cressida verlobt, aber ihm droht die Abschiebung, und die Einwanderungsbehörde stellt die Rechtmäßigkeit der geplanten Ehe in Frage. Um ihre Verbindung zu testen, wird Troilus in einen Raum mit einem Schachbrett gebracht, bei dem ein Feld als „besonders“ definiert ist. Auf jedem Feld befindet sich eine Münze, entweder mit Kopf oder Zahl. Troilus darf eine Münze umdrehen, woraufhin er aus dem Raum geworfen und Cressida hereingebracht wird.

Cressida muss nach der Untersuchung des Schachbretts das „besonders“ definierte Feld erraten. Wenn sie falsch liegt, wird Troilus abgeschoben. Können Troilus und Cressida ihre Ehe retten?

Hinweis

Spoiler

Eine schöne Anwendung von nimbers

https://en.wikipedia.org/wiki/Nimber


64 = 2^6

Lösung

Spoiler

Troilus muss mit einer umgedrehten Münze irgendwie Informationen im Wert von 6 Bits übermitteln (da das Schachbrett 64 = 2^6 Felder hat). Er hat 64 verschiedene Dinge, die er tun kann, also ist dies nicht a priori unmöglich, aber er und Cressida müssen sehr effizient sein.

Der natürliche Ansatz – wenn man sich mit nimbers auskennt – besteht darin, jedem Feld des Schachbretts ein nimber der Länge 6 zuzuweisen. Wenn Cressida hereinkommt, summiert sie die nimbers der Felder, deren Münze Kopf zeigt; das ergibt ein nimber und sie vermutet nun, dass das zugehörige Feld das vorgesehene Sonderfeld ist.

Troilus muss also nur sicherstellen, dass die Summe auf das richtige Feld zeigt, aber das ist einfach. Er berechnet die Summe der nimbers der Kopffelder auf dem Spielbrett, wie sie ihm präsentiert werden, und vergleicht sie mit dem nimber des dafür vorgesehenen Sonderfeldes. Wenn ihre Summe (d. h. Differenz!) die Zahl b ist, dreht er die Münze auf Feld b um. Dadurch wird b von der Summe addiert (d. h. subtrahiert), und die Summe zeigt auf das Sonderfeld.

Sehr schön.
Ich muss mir wohl das mit den Nimbers noch mal ansehen.
Aktuell höre ich da eine Stimme im Kopf die mir sagt:
"Der Zug nach Begreif fährt verspätet ab Bahnsteig 3".

[kad]

Nimbers ansehen lohnt sich - es gibt da noch viele wunderbare Anwendungsfälle, zb auch das Rätsel mit der Spionin oben, oder mit Gefangenen oder fehlerkorrigierende codes, etc

[kad]

Gibt es ein Sechseck, das durch eine einzige (gerade) Linie in vier kongruente Dreiecke geteilt werden kann?