Rechenaufgaben

[giffi marauder]

In einer Schulklasse befinden sich 25 Kinder, 15 Knaben und 10 Mädchen. Die Lehrerin wählt zufällig 2 Kinder aus. Sie bemerkt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine geschlechtergemischte Zweiergruppe entsteht, gerade 1/2 beträgt.
Mit welchen andern Personenzahlen (Klassengrösse, Anzahl Knaben bzw. Mädchen) wäre die Wahrscheinlichkeit ebenfalls 1/2, beim zufälligen Auswählen von 2 Personen eine geschlechtergemischte Zweiergruppe zu erhalten?

Spoiler

Betrachten wir die Wahrscheinlichkeiten mal als Flächen von (j+m)^2 bzw. j^2+2jm+m^2
j^2 /(j+m)^2 ist die Wahrscheinlichkeit für 2 Jungen
m^2/(j+m)^2 ist die Wahrscheinlichkeit für 2 Mädchen
2mj/(j+m)^2 ist die Wahrscheinlichkeit für gemischt

In diesem Fall also:
(15+10)^2=625
15^2/625=0,36
10^2/625=0,16
2*15*10=0,48
Also 50% sind das ja nun nicht.

Habe ich das was falsch verstanden?

Spoiler

Schau es anders an.

Aus 25 Kindern 2 auszulesen ist 25 über 2. das ist 25*24/2=300.
15 Knaben und 10 Mädchen kann man auf 15*10 Arten kombinieren.
150/300=1/2.

Jetzt musst du nur noch den Fehler bei deiner Überlegung finden….

Spoiler

Schuldig wegen Kindeszurücklegung

[kad]

In einer Schulklasse befinden sich 25 Kinder, 15 Knaben und 10 Mädchen. Die Lehrerin wählt zufällig 2 Kinder aus. Sie bemerkt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine geschlechtergemischte Zweiergruppe entsteht, gerade 1/2 beträgt.
Mit welchen andern Personenzahlen (Klassengrösse, Anzahl Knaben bzw. Mädchen) wäre die Wahrscheinlichkeit ebenfalls 1/2, beim zufälligen Auswählen von 2 Personen eine geschlechtergemischte Zweiergruppe zu erhalten?

Spoiler

Betrachten wir die Wahrscheinlichkeiten mal als Flächen von (j+m)^2 bzw. j^2+2jm+m^2
j^2 /(j+m)^2 ist die Wahrscheinlichkeit für 2 Jungen
m^2/(j+m)^2 ist die Wahrscheinlichkeit für 2 Mädchen
2mj/(j+m)^2 ist die Wahrscheinlichkeit für gemischt

In diesem Fall also:
(15+10)^2=625
15^2/625=0,36
10^2/625=0,16
2*15*10=0,48
Also 50% sind das ja nun nicht.

Habe ich das was falsch verstanden?

Spoiler

Schau es anders an.

Aus 25 Kindern 2 auszulesen ist 25 über 2. das ist 25*24/2=300.
15 Knaben und 10 Mädchen kann man auf 15*10 Arten kombinieren.
150/300=1/2.

Jetzt musst du nur noch den Fehler bei deiner Überlegung finden….

Spoiler

Schuldig wegen Kindeszurücklegung

Spoiler

Ich finde dies ist nicht ein kleines Vergehen, gerade auch weil es sich um Kinder handelt.

Um Busse zu tun, könntest du das Kristall/Gold/Silber/Platin Rätsel nochmals in Angriff nehmen. Ich bin sicher es fördert (multi) laterales Denken

[giffi marauder]

In einer Schulklasse befinden sich 25 Kinder, 15 Knaben und 10 Mädchen. Die Lehrerin wählt zufällig 2 Kinder aus. Sie bemerkt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine geschlechtergemischte Zweiergruppe entsteht, gerade 1/2 beträgt.
Mit welchen andern Personenzahlen (Klassengrösse, Anzahl Knaben bzw. Mädchen) wäre die Wahrscheinlichkeit ebenfalls 1/2, beim zufälligen Auswählen von 2 Personen eine geschlechtergemischte Zweiergruppe zu erhalten?

Spoiler

Betrachten wir die Wahrscheinlichkeiten mal als Flächen von (j+m)^2 bzw. j^2+2jm+m^2
j^2 /(j+m)^2 ist die Wahrscheinlichkeit für 2 Jungen
m^2/(j+m)^2 ist die Wahrscheinlichkeit für 2 Mädchen
2mj/(j+m)^2 ist die Wahrscheinlichkeit für gemischt

In diesem Fall also:
(15+10)^2=625
15^2/625=0,36
10^2/625=0,16
2*15*10=0,48
Also 50% sind das ja nun nicht.

Habe ich das was falsch verstanden?

Spoiler

Schau es anders an.

Aus 25 Kindern 2 auszulesen ist 25 über 2. das ist 25*24/2=300.
15 Knaben und 10 Mädchen kann man auf 15*10 Arten kombinieren.
150/300=1/2.

Jetzt musst du nur noch den Fehler bei deiner Überlegung finden….

Spoiler

Schuldig wegen Kindeszurücklegung

Spoiler

Ich finde dies ist nicht ein kleines Vergehen, gerade auch weil es sich um Kinder handelt.

Um Busse zu tun, könntest du das Kristall/Gold/Silber/Platin Rätsel nochmals in Angriff nehmen. Ich bin sicher es fördert (multi) laterales Denken

Spoiler

...
Also gilt 2*a*b=(a+b) über 2= (a+b)(a+b-1)/2
->4*a*b=a^2+2ab+b^2-(a+b)
->a^2-2*a*b+b^2=(a+b)
(a-b)^2=(a+b)

Das ist der Fall bei
1/3
3/6
6/10
10/15
15/21
21/28
also wieder mal rekursiv
f1=1
f2=3= f1+2
f3=6= f2+3
f4=10=f3+4
...
f(n)=f(n-1)+n = n*(n+1)/2

Das n'te Zahlenpaare ist dann (n*(n+1)/2,(n+1)*(n+2)/2)

(a-b)^2=(n+1)^2
(a+b)=n*(n+1)/2+(n+1)*(n+2)/2=(n+1)*(2n+2)/2=(n+1)^2

[kad]

In einer Schulklasse befinden sich 25 Kinder, 15 Knaben und 10 Mädchen. Die Lehrerin wählt zufällig 2 Kinder aus. Sie bemerkt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine geschlechtergemischte Zweiergruppe entsteht, gerade 1/2 beträgt.
Mit welchen andern Personenzahlen (Klassengrösse, Anzahl Knaben bzw. Mädchen) wäre die Wahrscheinlichkeit ebenfalls 1/2, beim zufälligen Auswählen von 2 Personen eine geschlechtergemischte Zweiergruppe zu erhalten?

Spoiler

Betrachten wir die Wahrscheinlichkeiten mal als Flächen von (j+m)^2 bzw. j^2+2jm+m^2
j^2 /(j+m)^2 ist die Wahrscheinlichkeit für 2 Jungen
m^2/(j+m)^2 ist die Wahrscheinlichkeit für 2 Mädchen
2mj/(j+m)^2 ist die Wahrscheinlichkeit für gemischt

In diesem Fall also:
(15+10)^2=625
15^2/625=0,36
10^2/625=0,16
2*15*10=0,48
Also 50% sind das ja nun nicht.

Habe ich das was falsch verstanden?

Spoiler

Schau es anders an.

Aus 25 Kindern 2 auszulesen ist 25 über 2. das ist 25*24/2=300.
15 Knaben und 10 Mädchen kann man auf 15*10 Arten kombinieren.
150/300=1/2.

Jetzt musst du nur noch den Fehler bei deiner Überlegung finden….

Spoiler

Schuldig wegen Kindeszurücklegung

Spoiler

Ich finde dies ist nicht ein kleines Vergehen, gerade auch weil es sich um Kinder handelt.

Um Busse zu tun, könntest du das Kristall/Gold/Silber/Platin Rätsel nochmals in Angriff nehmen. Ich bin sicher es fördert (multi) laterales Denken

Spoiler

...
Also gilt 2*a*b=(a+b) über 2= (a+b)(a+b-1)/2
->4*a*b=a^2+2ab+b^2-(a+b)
->a^2-2*a*b+b^2=(a+b)
(a-b)^2=(a+b)

Das ist der Fall bei
1/3
3/6
6/10
10/15
15/21
21/28
also wieder mal rekursiv
f1=1
f2=3= f1+2
f3=6= f2+3
f4=10=f3+4
...
f(n)=f(n-1)+n = n*(n+1)/2

Das n'te Zahlenpaare ist dann (n*(n+1)/2,(n+1)*(n+2)/2)

Spoiler

Richtig!

Oder

Sei n = Anzahl Schülerinnen und Schüler, a = Anzahl Personen des einen Geschlechts, b = n - a = Anzahl Personen des andern Geschlechts. Sei a > b.

Anzahl mögliche Paare: n (n - 1) / 2.
=> a(n - a) : [n(n - 1)/2] = 1/2 =>
4a^2 - 4an + n^2 - n = 0.
Wir lösen diese quadratische Gleichung nach a auf und finden (a ist der grössere Anteil; wir wählen also die grössere der beiden Lösungen - die andere ist b):
a = (n + √n) / 2 und b = (n - √n) / 2.
Da a und b ganzzahlig sein müssen, muss n eine Quadratzahl sein. Die ersten Lösungen sehen so aus:
n 0 1 4 9 16 25 36
a 0 1 3 6 10 15 21 ...Dreieckszahlen
b 0 0 1 3 6 10 15 ... Dreieckszahlen (1 Stufe verschoben)

[kad]

Zwei Kreise schneiden sich in den Punkten A und B. Eine beliebige Linie durch B schneidet den ersten Kreis in C und den zweiten Kreis in D. Die Tangenten an den ersten Kreis in C und an den zweiten Kreis in D schneiden sich in M. Die Parallele zu CM, die durch den Schnittpunkt von AM und CD geht, schneidet AC in K. Beweise, dass BK den zweiten Kreis tangiert.

[kad]

Ein Pferd ist an einer Außenecke einer rechteckigen Scheune von 20 mal 10 Meter angebunden. Wie groß ist die maximale Fläche, die das Pferd draußen grasen kann, wenn das Seil die Länge 50 m hat?

[giffi marauder]

Ein Pferd ist an einer Außenecke einer rechteckigen Scheune von 20 mal 10 Meter angebunden. Wie groß ist die maximale Fläche, die das Pferd draußen grasen kann, wenn das Seil die Länge 50 m hat?

Spoiler

Grobe Schätzung:
etwas kleiner als
pi*
( 3/4*50²
+ 1/4*40²
+ 1/4*30²
- 1/4*20²
)
=pi*(1875+400+225-100)=pi*2400
Also so um die 7500m²

Genauer wäre wohl, den Schnittpunkt der beiden Kreise (40 und 30m) zu berechnen,
davon die beiden Winkel für die Kreissegmente bis zum Schnittpunkt abzuleiten und dann noch die
restlichen zwei Dreiecke hinzuzurechen.
Wobei sich die Flächen der Dreiecke und die Winkel mit Hilfe des Kreuzproduktes effizient errechen lassen.

[kad]

Ein Pferd ist an einer Außenecke einer rechteckigen Scheune von 20 mal 10 Meter angebunden. Wie groß ist die maximale Fläche, die das Pferd draußen grasen kann, wenn das Seil die Länge 50 m hat?

Spoiler

Grobe Schätzung:
etwas kleiner als
pi*
( 3/4*50²
+ 1/4*40²
+ 1/4*30²
- 1/4*20²
)
=pi*(1875+400+225-100)=pi*2400
Also so um die 7500m²

Genauer wäre wohl, den Schnittpunkt der beiden Kreise (40 und 30m) zu berechnen,
davon die beiden Winkel für die Kreissegmente bis zum Schnittpunkt abzuleiten und dann noch die
restlichen zwei Dreiecke hinzuzurechen.
Wobei sich die Flächen der Dreiecke und die Winkel mit Hilfe des Kreuzproduktes effizient errechen lassen.

Spoiler

Gut geschätzt.
7512.202…. m²

[kad]

An drei Ecken eines quadratischen Rasenstückes der Seitenlänge 10 m ist je ein Schaf an einer 10 m langen Leine angebunden. Die Schafe weiden den Rasen ab, wobei Flächenstücke, die von mehreren Schafen erreichbar sind, von diesen auch jeweils zu gleichen Teilen abgegrast werden.
Welchen Anteil des Rasens frisst jedes der Schafe?

[giffi marauder]

An drei Ecken eines quadratischen Rasenstückes der Seitenlänge 10 m ist je ein Schaf an einer 10 m langen Leine angebunden. Die Schafe weiden den Rasen ab, wobei Flächenstücke, die von mehreren Schafen erreichbar sind, von diesen auch jeweils zu gleichen Teilen abgegrast werden.
Welchen Anteil des Rasens frisst jedes der Schafe?

Spoiler

Schaf A und B an zwei gegenüberliegenden Ecken, sind ziemlich intelligent und betreiben gleich
mal Flurbereinigung und einigen sich drauf, jeweils die an der Diagonalen getrennten Hälfte
der Fläche exklusiv zu beweiden.
Sonst verheddern sich eh nur die Leinen.

Nun kommt ein drittes Schaf dazu, das ausgehend von einem der beiden freien Ecken
insgesamt einen Viertelkreis beweidet, der mit den beiden anderen Schafen geteilt weren muss.
Das macht dann für Schaf C einen Anteil von 10²*pi/8=39,27%
Die restlichen 60,73% teilen sich Schaf A und B.
Die haben dann jeweils 30,365%

Die sind jetzt ein bisschen sauer.
Also beschließen die drei Schafe, die Fläche gerecht aufzuteilen.
Wie könnte diese Aufteilung aussehen?

[kad]

An drei Ecken eines quadratischen Rasenstückes der Seitenlänge 10 m ist je ein Schaf an einer 10 m langen Leine angebunden. Die Schafe weiden den Rasen ab, wobei Flächenstücke, die von mehreren Schafen erreichbar sind, von diesen auch jeweils zu gleichen Teilen abgegrast werden.
Welchen Anteil des Rasens frisst jedes der Schafe?

Spoiler

Schaf A und B an zwei gegenüberliegenden Ecken, sind ziemlich intelligent und betreiben gleich
mal Flurbereinigung und einigen sich drauf, jeweils die an der Diagonalen getrennten Hälfte
der Fläche exklusiv zu beweiden.
Sonst verheddern sich eh nur die Leinen.

Nun kommt ein drittes Schaf dazu, das ausgehend von einem der beiden freien Ecken
insgesamt einen Viertelkreis beweidet, der mit den beiden anderen Schafen geteilt weren muss.
Das macht dann für Schaf C einen Anteil von 10²*pi/8=39,27%
Die restlichen 60,73% teilen sich Schaf A und B.
Die haben dann jeweils 30,365%

Die sind jetzt ein bisschen sauer.
Also beschließen sie, die Fläche gerecht aufzuteilen.
Wie könnte diese Aufteilung aussehen?

Spoiler

Schaf C muss seinen Viertelkreis mit den Schafen A und B teilen. Eine Teil mit Schaf A. Ein Teil mit Schaf B und ein Teil mit Schaf A und B zusammen….. es kommen dann etwas andere Zahlen heraus…

[giffi marauder]

An drei Ecken eines quadratischen Rasenstückes der Seitenlänge 10 m ist je ein Schaf an einer 10 m langen Leine angebunden. Die Schafe weiden den Rasen ab, wobei Flächenstücke, die von mehreren Schafen erreichbar sind, von diesen auch jeweils zu gleichen Teilen abgegrast werden.
Welchen Anteil des Rasens frisst jedes der Schafe?

Spoiler

Schaf A und B an zwei gegenüberliegenden Ecken, sind ziemlich intelligent und betreiben gleich
mal Flurbereinigung und einigen sich drauf, jeweils die an der Diagonalen getrennten Hälfte
der Fläche exklusiv zu beweiden.
Sonst verheddern sich eh nur die Leinen.

Nun kommt ein drittes Schaf dazu, das ausgehend von einem der beiden freien Ecken
insgesamt einen Viertelkreis beweidet, der mit den beiden anderen Schafen geteilt weren muss.
Das macht dann für Schaf C einen Anteil von 10²*pi/8=39,27%
Die restlichen 60,73% teilen sich Schaf A und B.
Die haben dann jeweils 30,365%

Die sind jetzt ein bisschen sauer.
Also beschließen sie, die Fläche gerecht aufzuteilen.
Wie könnte diese Aufteilung aussehen?

Spoiler

Schaf C muss seinen Viertelkreis mit den Schafen A und B teilen. Eine Teil mit Schaf A. Ein Teil mit Schaf B und ein Teil mit Schaf A und B zusammen….. es kommen dann etwas andere Zahlen heraus…

Spoiler

Stimmt der ABC Teil wird durch 3 geteilt und nicht flurbereinigt durch 2.

[kad]

Ruth kandidiert für ein lokales Amt gegen Marcel und gewinnt mit 105 Stimmen gegenüber 95 Stimmen von Marcel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ruth bei der Auszählung der Stimmen (in zufälliger Reihenfolge) die ganze Zeit in Führung lag?

[kad]

Es werden n gewöhnliche Spielwürfel in einer Reihe nebeneinander auf den Tisch gelegt. Man addiert alle Augenzahlen, die nicht durch den Tisch oder durch einen Nachbarwürfel verdeckt sind. Die maximale Augenzahl, die man so erhalten kann, werde mit A(n), die minimale mit a(n) bezeichnet. Wir betrachten nun die Folge der Differenzen d(n) = A(n) − a(n). Für gewisse n ist das Folgenglied d(n) eine Quadratzahl (z. B. für n = 2, n = 6).
Für welche Würfelanzahl n erhält man die 1000. Quadratzahl der Folge?

[Eisrose]

Ist hier die Lust raus?

Ruth kandidiert für ein lokales Amt gegen Marcel und gewinnt mit 105 Stimmen gegenüber 95 Stimmen von Marcel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ruth bei der Auszählung der Stimmen (in zufälliger Reihenfolge) die ganze Zeit in Führung lag?

Nach Bertrand's ballot theorem kann man das so berechnen:

P = (105−95)/(105+95) = 10/200 = 0,05 also 5 Prozent.
​