Rechenaufgaben

[kad]

Du ziehst 10 Mal mit Zurücklegen (notwendigerweise!) aus einer Urne, die neun Billardkugeln mit den Nummern 1 bis 9 enthält. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Nummern der Kugeln, die du gezogen hast, gerade ist?

[giffi marauder]

Du ziehst 10 Mal mit Zurücklegen (notwendigerweise!) aus einer Urne, die neun Billardkugeln mit den Nummern 1 bis 9 enthält. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Nummern der Kugeln, die du gezogen hast, gerade ist?

Spoiler

ca. 50%

Spoiler

Bezeichnen wir diese Wahrscheinlichkeit als wg.
Da die Summe selbst keine Rolle spielt, sondern nur die Parität,
ersetzten wir die Kugeln mit den Werten 1..9 durch 5 Kugeln mit Wert 1
und 4 mit Wert 0.
Setzen wir w0=a=4/9 und w1=b=5/9 dann können wir die 10 Züge als (a+b)^10 darstellen.
Dadruch ist
1a^10 +
10a^9b +
45a^8b^2 +
120a^7b^3 +
210a^6b^4 +
252a^5b^5 +
210a^4b^6 +
120a^3b^7 +
45a^2a^8 +
10a^b9 +
1b^10 +
=1

Da die Potenzen von b der Anzahl der 1'en in der Summe entpsricht,
resultieren genau alle Kombinationen mit gerader Potenz von b in eine gerade Summe.
Damit ist
wg=a^10 + 45a^8b^2 + 210a^6b^4 + 210a^4b^6 + 45a^2a^8 + b^10 = 0,5

Interssanterweise gilt für beliebige n:
n=1 -> wg=abrunden(9/2)/9 = 4/9 <0,5
n=2 -> wg=(abrunden(9*9/2)+1)/9*9 = 41/81>0,5
n=3 -> wg= abrunden (9*9*9/2)/9*9*9 = 364/729 <0,5
...
ungerade n -> abrunden (9^n/2)/9^n <0,5
gerade n -> (abrunden(9^n/2)+1)/9^n >0,5

Mit schneller Konvergenz nach 0,5

Dieser Gestzmäßigkeit käme man womöglich auch anders auf die Spur.

[kad]

Du ziehst 10 Mal mit Zurücklegen (notwendigerweise!) aus einer Urne, die neun Billardkugeln mit den Nummern 1 bis 9 enthält. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Nummern der Kugeln, die du gezogen hast, gerade ist?

Spoiler

ca. 50%

Spoiler

Bezeichnen wir diese Wahrscheinlichkeit als wg.
Da die Summe selbst keine Rolle spielt, sondern nur die Parität,
ersetzten wir die Kugeln mit den Werten 1..9 durch 5 Kugeln mit Wert 1
und 4 mit Wert 0.
Setzen wir w0=a=4/9 und w1=b=5/9 dann können wir die 10 Züge als (a+b)^10 darstellen.
Dadruch ist
1a^10 +
10a^9b +
45a^8b^2 +
120a^7b^3 +
210a^6b^4 +
252a^5b^5 +
210a^4b^6 +
120a^3b^7 +
45a^2a^8 +
10a^b9 +
1b^10 +
=1

Da die Potenzen von b der Anzahl der 1'en in der Summe entpsricht,
resultieren genau alle Kombinationen mit gerader Potenz von b in eine gerade Summe.
Damit ist
wg=a^10 + 45a^8b^2 + 210a^6b^4 + 210a^4b^6 + 45a^2a^8 + b^10 = 0,5

Interssanterweise gilt für beliebige n:
n=1 -> wg=abrunden(9/2)/9 = 4/9 <0,5
n=2 -> wg=(abrunden(9*9/2)+1)/9*9 = 41/81>0,5
n=3 -> wg= abrunden (9*9*9/2)/9*9*9 = 364/729 <0,5
...
ungerade n -> abrunden (9^n/2)/9^n <0,5
gerade n -> (abrunden(9^n/2)+1)/9^n >0,5

Mit schneller Konvergenz nach 0,5

Dieser Gestzmäßigkeit käme man womöglich auch anders auf die Spur.

Spoiler

Ich glaube dein Resultat ist richtig, obwohl du schreibst

wg=a^10 + 45a^8b^2 + 210a^6b^4 + 210a^4b^6 + 45a^2a^8 + b^10 = 0,5

und wohl 45a^2b^8 gemeint ist (auch weiter oben). Aber wieso schreibst du, das sei gleich 0.5?


Bei deiner Diskussion mit allgemeinem n, kommt für n=10 etwas heraus, das > 0.5 ist.

Man könnte auch wie folgt argumentieren: die Parität der Summe wird durch die letzte gezogene Kugel bestimmt (falls wir die 9 mal weglassen)! und die WK für gerade/ungerade ist 1/2. Man überlegt sich, dass das auch stimmt, wenn wir die 9 hinzunehmen (rearrange), ausser, falls alle gezogenen Kugeln die 9 sind (dann kommt eine gerade Summe heraus).

Also wg= 1/2 * (1-1/9)^10 + (1/9)^10 = 1/2 + 1/2 * (1/9)^10 (= 0.50000000014)

Für allgemeines n: für n gerade ist n mal die neun gerade, und sonst ungerade, also

wg=1/2+ (-1)^n * 1/2 * (1/9)^n

[giffi marauder]

Spoiler

Ich glaube dein Resultat ist richtig, obwohl du schreibst

wg=a^10 + 45a^8b^2 + 210a^6b^4 + 210a^4b^6 + 45a^2a^8 + b^10 = 0,5

und wohl 45a^2b^8 gemeint ist (auch weiter oben). Aber wieso schreibst du, das sei gleich 0.5?


Bei deiner Diskussion mit allgemeinem n, kommt für n=10 etwas heraus, das > 0.5 ist.

Man könnte auch wie folgt argumentieren: die Parität der Summe wird durch die letzte gezogene Kugel bestimmt (falls wir die 9 mal weglassen)! und die WK für gerade/ungerade ist 1/2. Man überlegt sich, dass das auch stimmt, wenn wir die 9 hinzunehmen (rearrange), ausser, falls alle gezogenen Kugeln die 9 sind (dann kommt eine gerade Summe heraus).

Also wg= 1/2 * (1-1/9)^10 + (1/9)^10 = 1/2 + 1/2 * (1/9)^10 (= 0.50000000014)

Für allgemeines n: für n gerade ist n mal die neun gerade, und sonst ungerade, also

wg=1/2+ (-1)^n * 1/2 * (1/9)^n

Spoiler

wg=a^10 + 45a^8b^2 + 210a^6b^4 + 210a^4b^6 + 45a^2b^8 + b^10 = 0,5000000001434.
Ja, das ist
a) ein Tippfehler und
b) in Hinblick auf die Prozente nach denen gefragt wurde, habe ich den Rest einfach unterschlagen.
Aber ja, die korrekte Anwort wäre natürlich "wg ist >50%".

[kad]

Eine Chamäleonkolonie besteht derzeit aus 20 roten, 18 blauen und 16 grünen Individuen. Wenn sich zwei Chamäleons verschiedener Farben treffen, wechselt jedes von ihnen seine Farbe in die dritte Farbe. Ist es möglich, dass nach einer gewissen Zeit alle Chamäleons die gleiche Farbe haben?

Spielen die Anzahl (20, 18, 16) überhaupt eine Rolle?

[giffi marauder]

Spoiler

Nette Aufgabenstellung.
Wir haben hier ein Zahlentrippel r >= b > =g

Offentsichtlich ist die Aufgabenstellung sofort lösbar, wenn mind. 2 Zahlen gleich sein,
da diese beiden in einem Schritt in die dritte Farbe umgewandelt werden können.

Wir brauchen vor dem letzten Schritt also a,b,b
Dies erreichen wir ausgehend von c,d,0 -> c-d/3,2d/3,2d/3
Dies wiederum dadurch, dass sich die kleiner Gruppe im ersten Schritt gleich mal eliminiert.

Schreiben wir r>b>g als r,g+d,g (d=b-g und Summe = r+2g+d) hin, dann sind wir also in drei Schritten fertig.
1) g blaue und g grüne zu 2g roten -> r+2g,d,0 (c,d,0 von oben)
2) d/3 rote und d/3 blaue in Grüne -> r+2g-d/3,2d/3,2d/3 (a,b,b von oben)
3) 2d/3 blaue mit 2d/3 grünen zu 4d/3 roten -> r+2g-d/3+3d/3=r+2g+d

Dies ist also möglich, wenn d ein Vielfaches von 3.

Bei 20,18,16 ist dies aber nicht der Fall.
Hier ist d=2
20,18,16
52,2,0
51-2/3,4/3,4/3
Also ohne Säge, wird das nichts.

Machen wir einen Test mit d=3
20,18,15 (=53)
50,3,0
49,2,2
53,0,0

oder auch
20,19,16 (=55)
52,3,0
51,2,2
55,0,0

ja, das geht.

Das kleinste Trippel wäre demnach
0,4,1
2,3,0
1,2,2
5,0,0

Zu zeigen wäre aber noch, dass
entweder a) wenn es geht, dann immer auch mit diesen 3 Schritten
oder b) wenn es nicht mit diesen 3 Schritten geht, dann gehts gar nicht.

[kad]

Spoiler

Nette Aufgabenstellung.
Wir haben hier ein Zahlentrippel r >= b > =g

Offentsichtlich ist die Aufgabenstellung sofort lösbar, wenn mind. 2 Zahlen gleich sein,
da diese beiden in einem Schritt in die dritte Farbe umgewandelt werden können.

Wir brauchen vor dem letzten Schritt also a,b,b
Dies erreichen wir ausgehend von c,d,0 -> c-d/3,2d/3,2d/3
Dies wiederum dadurch, dass sich die kleiner Gruppe im ersten Schritt gleich mal eliminiert.

Schreiben wir r>b>g als r,g+d,g (d=b-g und Summe = r+2g+d) hin, dann sind wir also in drei Schritten fertig.
1) g blaue und g grüne zu 2g roten -> r+2g,d,0 (c,d,0 von oben)
2) d/3 rote und d/3 blaue in Grüne -> r+2g-d/3,2d/3,2d/3 (a,b,b von oben)
3) 2d/3 blaue mit 2d/3 grünen zu 4d/3 roten -> r+2g-d/3+3d/3=r+2g+d

Dies ist also möglich, wenn d ein Vielfaches von 3.

Bei 20,18,16 ist dies aber nicht der Fall.
Hier ist d=2
20,18,16
52,2,0
51-2/3,4/3,4/3
Also ohne Säge, wird das nichts.

Machen wir einen Test mit d=3
20,18,15 (=53)
50,3,0
49,2,2
53,0,0

oder auch
20,19,16 (=55)
52,3,0
51,2,2
55,0,0

ja, das geht.

Das kleinste Trippel wäre demnach
0,4,1
2,3,0
1,2,2
5,0,0

Zu zeigen wäre aber noch, dass
entweder a) wenn es geht, dann immer auch mit diesen 3 Schritten
oder b) wenn es nicht mit diesen 3 Schritten geht, dann gehts gar nicht.

Spoiler

Sehr schön!
Folgende Überlegung hilft vielleicht, deine Frage zu beantworten.

Der springende Punkt ist, dass nach jeder Begegnung zweier Chamäleons die Differenz zwischen der Anzahl der Individuen zweier Farben modulo 3 gleich bleibt. Daraus folgt alles.

[kad]

100 Gefangene haben die Chance, freigelassen zu werden, wenn sie das folgende Spiel gewinnen können. Im Dunkeln erhält jeder einen roten oder schwarzen Hut, je basierend auf einem fairen Münzwurf. Wenn das Licht eingeschaltet wird, sieht jeder die Hutfarben der anderen, aber nicht seine eigene; eine Kommunikation zwischen den Gefangenen ist nicht möglich. Jeder Gefangene wird aufgefordert, seine Vermutung zur Farbe seines Hutes aufzuschreiben, und die Gefangenen werden freigelassen, wenn sie alle richtig liegen. Die Gefangenen haben die Möglichkeit, sich vor dem Spiel zu besprechen. Kannst du eine Strategie vorschlagen, die ihre Gewinnwahrscheinlichkeit maximiert?

[giffi marauder]

100 Gefangene haben die Chance, freigelassen zu werden, wenn sie das folgende Spiel gewinnen können. Im Dunkeln erhält jeder einen roten oder schwarzen Hut, je basierend auf einem fairen Münzwurf. Wenn das Licht eingeschaltet wird, sieht jeder die Hutfarben der anderen, aber nicht seine eigene; eine Kommunikation zwischen den Gefangenen ist nicht möglich. Jeder Gefangene wird aufgefordert, seine Vermutung zur Farbe seines Hutes aufzuschreiben, und die Gefangenen werden freigelassen, wenn sie alle richtig liegen. Die Gefangenen haben die Möglichkeit, sich vor dem Spiel zu besprechen. Kannst du eine Strategie vorschlagen, die ihre Gewinnwahrscheinlichkeit maximiert?

Spoiler

Die Gefangenen einigen sich im Vorfeld darauf, ob die beiden Zahlen gerade oder ungerade sind (Vermutung).
Ensprechend wählen sie die eigene Farbe, so dass dies zur Vermutung passt.
Damit haben mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle recht und kommen frei.

Aber ich glaub, da geht noch was.

[kad]

100 Gefangene haben die Chance, freigelassen zu werden, wenn sie das folgende Spiel gewinnen können. Im Dunkeln erhält jeder einen roten oder schwarzen Hut, je basierend auf einem fairen Münzwurf. Wenn das Licht eingeschaltet wird, sieht jeder die Hutfarben der anderen, aber nicht seine eigene; eine Kommunikation zwischen den Gefangenen ist nicht möglich. Jeder Gefangene wird aufgefordert, seine Vermutung zur Farbe seines Hutes aufzuschreiben, und die Gefangenen werden freigelassen, wenn sie alle richtig liegen. Die Gefangenen haben die Möglichkeit, sich vor dem Spiel zu besprechen. Kannst du eine Strategie vorschlagen, die ihre Gewinnwahrscheinlichkeit maximiert?

Spoiler

Die Gefangenen einigen sich im Vorfeld darauf, ob die beiden Zahlen gerade oder ungerade sind (Vermutung).
Ensprechend wählen sie die eigene Farbe, so dass dies zur Vermutung passt.
Damit haben mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% alle recht und kommen frei.

Aber ich glaub, da geht noch was.

Spoiler

Hmm, zu wenig knackig für dich.

50% ist korrekt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Gefangener richtig rät ist 50%, unabhängig von einer gewählten Strategie. Also kann eine Strategie nichts Besseres als 50% ergeben, was aber - wie du zeigst -, erreicht werden kann.

[kad]

Ein Zahlenkombinationsschloss mit drei Ziffernblättern, die jeweils mit 1 bis 8 nummeriert sind, ist insofern fehlerhaft, als man nur zwei der Zahlen richtig haben muss, um das Schloss zu öffnen. Wie viele (dreistellige) Kombinationen musst du mindestens ausprobieren, um das Schloss sicher öffnen zu können?

[giffi marauder]

Ein Zahlenkombinationsschloss mit drei Ziffernblättern, die jeweils mit 1 bis 8 nummeriert sind, ist insofern fehlerhaft, als man nur zwei der Zahlen richtig haben muss, um das Schloss zu öffnen. Wie viele (dreistellige) Kombinationen musst du mindestens ausprobieren, um das Schloss sicher öffnen zu können?

Spoiler

Nun offensichtlich gibts 8*8*8 = 512 Kombinationen.

Variante 1:
Entweder hat ein bestimmtes aber unbekanntes Rad 8 Kerben statt nur eine oder dem Stift fehlt eine von 3 Zacken.
Dann wären maximal 3x8^2=192 Versuche notwendig.

Variante 2:
Der "Fehler" ist zahlenschlosstechnisch nur schwer erklärbar und es reichen tatsächlich 2 von drei Richtigen.
Würde man also zwei beliebige Ziffernräder einfach durchprobieren und das dritte einfach ignorieren,
wären 8*8 =64 Versuche notwendig.

Allerdings decken die 8 Kombinationen 111,222....888 schon mal alle Kombinationen mit 2 oder 3 gleichen Ziffern ab.
Denn würde 111 das Schloss nicht öffnen, dann auch 11x,1x1,x11 mit (x>1) nicht.
Das wären dann 8*21=176, die man streichen kann.

Übrig bleiben die, mit die 3 unerschiedlichen Ziffern.
Das sind noch 336=8*7*6=512-176 Möglichkeiten.

Jede von denen deckt 16 (3*5+1) Kombinationen ab.
Am Beispiel von 123 -> 123,124,125,126,127,128, 142,153,163,173,183,423,523,623,723,823)
Im BestCase wären also 336/16=21 weitere Test notwendig, falls sich 21 Kombinationen finden lassen,
die jeweils 16 unterschiedliche Kombinationen mit abdecken.

Weiter Beispiele sind 234,345,456,567 und 678
Diese 6 (inkl 123) decken in Summe 96 unterschiedliche Kombinationen ab.

Bleiben noch 240 ungetestete Kombinationen über.

Ich befürchte aber, dass sich diese 15 (240/16) gar nicht finden lassen.

Jedenfalls landen wir irgendwo zwischen 21 und 64.

[kad]

Ein Zahlenkombinationsschloss mit drei Ziffernblättern, die jeweils mit 1 bis 8 nummeriert sind, ist insofern fehlerhaft, als man nur zwei der Zahlen richtig haben muss, um das Schloss zu öffnen. Wie viele (dreistellige) Kombinationen musst du mindestens ausprobieren, um das Schloss sicher öffnen zu können?

Spoiler

Nun offensichtlich gibts 8*8*8 = 512 Kombinationen.

Variante 1:
Entweder hat ein bestimmtes aber unbekanntes Rad 8 Kerben statt nur eine oder dem Stift fehlt eine von 3 Zacken.
Dann wären maximal 3x8^2=192 Versuche notwendig.

Variante 2:
Der "Fehler" ist zahlenschlusstechnisch nur schwer erklärbar und es reichen tatsächlich 2 von drei Richtige.
Würde man zwei beliebige Ziffernräder einfach durchprobieren wären 8^2 =64 Versuche notwendig.

Allerdings deckt jede Dreierkombination "abc" bis zu 22 Kombinationen ab (abx, axc, xbc).

Die 8 Kombinationen 111,222....888 decken schon mal alle Kombinationen mit 2 oder 3 gleichen Ziffern ab.
Das wären dann 8*(1+3*7)=176, die man streichen kann.

Übrig bleiben die, mit die 3 unerschiedlichen Ziffern.
Das sind noch 8*7*6=336 Möglichkeiten.
Jede von denen deckt 16 (3*5+1) Kombinationen ab.
Am Beispiel von 123 -> 123,124,125,126,127,128, 142,153,163,173,183,423,523,623,723,823)
Im BestCase wären 336/16=21 Test notwendig, falls diese 21 Kombinationen finden lassen,
die jeweils 16 unterschiedliche Kombinationen "erledigen".

Weiter Beispiele sind 234,345,456,567 und 678
Diese 6 (inkl 123) decken in Summe 96 unterschiedliche Kombinationen ab.

Bleiben noch 240 ungetestete Kombinationen über.

Ich befürchte aber, dass sich diese 15 (240/16) nicht finden lassen.

Jedenfalls landen wir irgendwo zwischen 21 und 64.

Spoiler

Ja, ja - Variante 2 ist gemeint

[kad]

Schwarz hat den letzten Zug gemacht. Welche Figur steht auf dem Feld, das mit ? markiert ist?

IMG_0171.jpeg (117.66 KiB) 166 mal betrachtet

[giffi marauder]

Ein Zahlenkombinationsschloss mit drei Ziffernblättern, die jeweils mit 1 bis 8 nummeriert sind, ist insofern fehlerhaft, als man nur zwei der Zahlen richtig haben muss, um das Schloss zu öffnen. Wie viele (dreistellige) Kombinationen musst du mindestens ausprobieren, um das Schloss sicher öffnen zu können?

Spoiler

Nun offensichtlich gibts 8*8*8 = 512 Kombinationen.

Variante 1:
Entweder hat ein bestimmtes aber unbekanntes Rad 8 Kerben statt nur eine oder dem Stift fehlt eine von 3 Zacken.
Dann wären maximal 3x8^2=192 Versuche notwendig.

Variante 2:
Der "Fehler" ist zahlenschlusstechnisch nur schwer erklärbar und es reichen tatsächlich 2 von drei Richtige.
Würde man zwei beliebige Ziffernräder einfach durchprobieren wären 8^2 =64 Versuche notwendig.

Allerdings deckt jede Dreierkombination "abc" bis zu 22 Kombinationen ab (abx, axc, xbc).

Die 8 Kombinationen 111,222....888 decken schon mal alle Kombinationen mit 2 oder 3 gleichen Ziffern ab.
Das wären dann 8*(1+3*7)=176, die man streichen kann.

Übrig bleiben die, mit die 3 unerschiedlichen Ziffern.
Das sind noch 8*7*6=336 Möglichkeiten.
Jede von denen deckt 16 (3*5+1) Kombinationen ab.
Am Beispiel von 123 -> 123,124,125,126,127,128, 142,153,163,173,183,423,523,623,723,823)
Im BestCase wären 336/16=21 Test notwendig, falls diese 21 Kombinationen finden lassen,
die jeweils 16 unterschiedliche Kombinationen "erledigen".

Weiter Beispiele sind 234,345,456,567 und 678
Diese 6 (inkl 123) decken in Summe 96 unterschiedliche Kombinationen ab.

Bleiben noch 240 ungetestete Kombinationen über.

Ich befürchte aber, dass sich diese 15 (240/16) nicht finden lassen.

Jedenfalls landen wir irgendwo zwischen 21 und 64.

Spoiler

Ja, ja - Variante 2 ist gemeint

Spoiler

Ok, dann fass ich mal zusammen.
Man braucht man 32 Kombinationen (a,b,c) die sich untereinander in den Paaren axbx<>ayby, axcx<>ayby,bxcx<>bycy (x,y 1..32) unterscheiden.
Jede dieser 32 Kombinationen ist ein Stellvertreter für 16 eindetuige Schlüsselwörter, zusammen decken diese dann alle 32*16= 512 möglichen Schlüsselwörter ab.