Rechenaufgaben

[kad]

Nicholas und Alexandra gingen mit zehn anderen Paaren zu einem Empfang; jeder dort schüttelte jedem die Hand, den er oder sie nicht kannte. Später fragte Alexandra jeden der anderen 21 Partygäste, wie vielen Leuten sie die Hand geschüttelt hatten, und bekam jedes Mal eine andere Antwort. Wie vielen Leuten hat Nicholas die Hand geschüttelt?

[giffi marauder]

Nicholas und Alexandra gingen mit zehn anderen Paaren zu einem Empfang; jeder dort schüttelte jedem die Hand, den er oder sie nicht kannte. Später fragte Alexandra jeden der anderen 21 Partygäste, wie vielen Leuten sie die Hand geschüttelt hatten, und bekam jedes Mal eine andere Antwort. Wie vielen Leuten hat Nicholas die Hand geschüttelt?

Spoiler

Da sich jeder selber kennt und wohl auch den Partner, kann eine Person maximal 20 Hände schütteln.
Damit sind die von Alexandra erfragten 21 unterschiedlichen Zahlen 0,..,20
Alexandra selbst kann auch eine Zahl von 0 bis 20 haben.

Damit wissen wir, dass mindestens 1 Person alle kennt.

Lassen wir diese Person und Alexandra aus dem Spiel,
können sich die anderen 20 Personen wie folgt die Hände schüttel.
Wir pappen den Personen schon mal ein Schild auf, wieviele die nicht kennen.
1 kennt 20 nicht
2 kennt 19 und 20 nicht
3 : 18,19,20
....
10: 11,12..,20
ab 11 wirds ein bisschen eng, da bringen wir Alexandra ins Spiel
11:10,12,...20, A
12:9,10,11,13,...20, A
20: 1...19,A
Alexandra als 21. Person schüttel somit auch 10 Hände.

Aber was sagt uns das über Nicholas?
Offensichtlich ist er der Partner einer Person, die 10 Personen nicht kennt.
Davon gibts aber 2.

Weiters schüttelt er (zumindest in obiger Aufstellung) als Bekannter von Alexandra nicht mehr als 10 Hände,
da die Personen 11 bis 20 ja Alexandra die Hand schütteln.

Das sind aber auch noch die 11 Personen 0 bis 10.

[kad]

Nicholas und Alexandra gingen mit zehn anderen Paaren zu einem Empfang; jeder dort schüttelte jedem die Hand, den er oder sie nicht kannte. Später fragte Alexandra jeden der anderen 21 Partygäste, wie vielen Leuten sie die Hand geschüttelt hatten, und bekam jedes Mal eine andere Antwort. Wie vielen Leuten hat Nicholas die Hand geschüttelt?

Spoiler

Da sich jeder selber kennt und wohl auch den Partner, kann eine Person maximal 20 Hände schütteln.
Damit sind die von Alexandra erfragten 21 unterschiedlichen Zahlen 0,..,20
Alexandra selbst kann auch eine Zahl von 0 bis 20 haben.

Damit wissen wir, dass mindestens 1 Person alle kennt.

Lassen wir diese Person und Alexandra aus dem Spiel,
können sich die anderen 20 Personen wie folgt die Hände schüttel.
Wir pappen den Personen schon mal ein Schild auf, wieviele die nicht kennen.
1 kennt 20 nicht
2 kennt 19 und 20 nicht
3 : 18,19,20
....
10: 11,12..,20
ab 11 wirds ein bisschen eng, da bringen wir Alexandra ins Spiel
11:10,12,...20, A
12:9,10,11,13,...20, A
20: 1...19,A
Alexandra als 21. Person schüttel somit auch 10 Hände.

Aber was sagt uns das über Nicholas?
Offensichtlich ist er der Partner einer Person, die 10 Personen nicht kennt.
Davon gibts aber 2.

Weiters schüttelt er (zumindest in obiger Aufstellung) als Bekannter von Alexandra nicht mehr als 10 Hände,
da die Personen 11 bis 20 ja Alexandra die Hand schütteln.

Das sind aber auch noch die 11 Personen 0 bis 10.

Spoiler

Du bist nahe an der Lösung.
Können wir etwas über den Partner des Gastes aussagen, der 20 Hände schüttelte (die aller 10 anderen Paare).
Etc….

[kad]

Auf wie viele Arten kann man die Zahlen 0 bis 9 hintereinander schreiben, sodass jede Ziffer außer der ganz linken innerhalb +/- 1 einer Ziffer links davon liegt?
Beispiel: wenn wir eine 6 haben, muss links davon irgendwo 5 oder 7 sein (nicht notwendigerweise direkt links) ausser 6 ist ganz links.

[giffi marauder]

Auf wie viele Arten kann man die Zahlen 0 bis 9 hintereinander schreiben, sodass jede Ziffer außer der ganz linken innerhalb +/- 1 einer Ziffer links davon liegt?
Beispiel: wenn wir eine 6 haben, muss links davon irgendwo 5 oder 7 sein (nicht notwendigerweise direkt links) ausser 6 ist ganz links.

Müssen alle 10 Ziffern verwendet werden?
Darf jede Ziffer nur einmal verwendet werden?

[kad]

Auf wie viele Arten kann man die Zahlen 0 bis 9 hintereinander schreiben, sodass jede Ziffer außer der ganz linken innerhalb +/- 1 einer Ziffer links davon liegt?
Beispiel: wenn wir eine 6 haben, muss links davon irgendwo 5 oder 7 sein (nicht notwendigerweise direkt links) ausser 6 ist ganz links.

Müssen alle 10 Ziffern verwendet werden?
Darf jede Ziffer nur einmal verwendet werden?

Ja, alle 10 Ziffern müssen verwendet werden und jede genau einmal.

[giffi marauder]

Nicholas und Alexandra gingen mit zehn anderen Paaren zu einem Empfang; jeder dort schüttelte jedem die Hand, den er oder sie nicht kannte. Später fragte Alexandra jeden der anderen 21 Partygäste, wie vielen Leuten sie die Hand geschüttelt hatten, und bekam jedes Mal eine andere Antwort. Wie vielen Leuten hat Nicholas die Hand geschüttelt?

Spoiler

Da sich jeder selber kennt und wohl auch den Partner, kann eine Person maximal 20 Hände schütteln.
Damit sind die von Alexandra erfragten 21 unterschiedlichen Zahlen 0,..,20
Alexandra selbst kann auch eine Zahl von 0 bis 20 haben.

Damit wissen wir, dass mindestens 1 Person alle kennt.

Lassen wir diese Person und Alexandra aus dem Spiel,
können sich die anderen 20 Personen wie folgt die Hände schüttel.
Wir pappen den Personen schon mal ein Schild auf, wieviele die nicht kennen.
1 kennt 20 nicht
2 kennt 19 und 20 nicht
3 : 18,19,20
....
10: 11,12..,20
ab 11 wirds ein bisschen eng, da bringen wir Alexandra ins Spiel
11:10,12,...20, A
12:9,10,11,13,...20, A
20: 1...19,A
Alexandra als 21. Person schüttel somit auch 10 Hände.

Aber was sagt uns das über Nicholas?
Offensichtlich ist er der Partner einer Person, die 10 Personen nicht kennt.
Davon gibts aber 2.

Weiters schüttelt er (zumindest in obiger Aufstellung) als Bekannter von Alexandra nicht mehr als 10 Hände,
da die Personen 11 bis 20 ja Alexandra die Hand schütteln.

Das sind aber auch noch die 11 Personen 0 bis 10.

Spoiler

Du bist nahe an der Lösung.
Können wir etwas über den Partner des Gastes aussagen, der 20 Hände schüttelte (die aller 10 anderen Paare).
Etc….

Spoiler

Ah, ja.
Die Person 20 kennt, sich selbst, seine(n) PartnerIn und die Person 0 die alle kennt bzw. die alle kennen.
Da Person 20 aber nur 2 Personen kennt, muss Person 0 der/die PartnerIn von 20 sein.
Person 19 kennt, sich selbst, seine(n) ParnerIn, die Person 0 und die Person 1.
Da Person 19 aber nur 3 Personen kennt, ist Person 1 der/die PartnerIn von 19.
->
20/0
19/1
18/2
17/3
...
11/9
10/10


Meine erste Vermutung war ja, dass Alexandra die Nr. 20 ist und damit Nicholas 0 sein muss.
Die 10 für Alexandra hat mich dann total verwirrt.

[kad]

Nicholas und Alexandra gingen mit zehn anderen Paaren zu einem Empfang; jeder dort schüttelte jedem die Hand, den er oder sie nicht kannte. Später fragte Alexandra jeden der anderen 21 Partygäste, wie vielen Leuten sie die Hand geschüttelt hatten, und bekam jedes Mal eine andere Antwort. Wie vielen Leuten hat Nicholas die Hand geschüttelt?

Spoiler

Da sich jeder selber kennt und wohl auch den Partner, kann eine Person maximal 20 Hände schütteln.
Damit sind die von Alexandra erfragten 21 unterschiedlichen Zahlen 0,..,20
Alexandra selbst kann auch eine Zahl von 0 bis 20 haben.

Damit wissen wir, dass mindestens 1 Person alle kennt.

Lassen wir diese Person und Alexandra aus dem Spiel,
können sich die anderen 20 Personen wie folgt die Hände schüttel.
Wir pappen den Personen schon mal ein Schild auf, wieviele die nicht kennen.
1 kennt 20 nicht
2 kennt 19 und 20 nicht
3 : 18,19,20
....
10: 11,12..,20
ab 11 wirds ein bisschen eng, da bringen wir Alexandra ins Spiel
11:10,12,...20, A
12:9,10,11,13,...20, A
20: 1...19,A
Alexandra als 21. Person schüttel somit auch 10 Hände.

Aber was sagt uns das über Nicholas?
Offensichtlich ist er der Partner einer Person, die 10 Personen nicht kennt.
Davon gibts aber 2.

Weiters schüttelt er (zumindest in obiger Aufstellung) als Bekannter von Alexandra nicht mehr als 10 Hände,
da die Personen 11 bis 20 ja Alexandra die Hand schütteln.

Das sind aber auch noch die 11 Personen 0 bis 10.

Spoiler

Du bist nahe an der Lösung.
Können wir etwas über den Partner des Gastes aussagen, der 20 Hände schüttelte (die aller 10 anderen Paare).
Etc….

Spoiler

Ah, ja.
Die Person 20 kennt, sich selbst, seine(n) PartnerIn und die Person 0 die alle kennt bzw. die alle kennen.
Da Person 20 aber nur 2 Personen kennt, muss Person 0 der/die PartnerIn von 20 sein.
Person 19 kennt, sich selbst, seine(n) ParnerIn, die Person 0 und die Person 1.
Da Person 19 aber nur 3 Personen kennt, ist Person 1 der/die PartnerIn von 19.
->
20/0
19/1
18/2
17/3
...
11/9
10/10


Meine erste Vermutung war ja, dass Alexandra die Nr. 20 ist und damit Nicholas 0 sein muss.
Die 10 für Alexandra hat mich dann total verwirrt.

Tiptop

[giffi marauder]

Auf wie viele Arten kann man die Zahlen 0 bis 9 hintereinander schreiben, sodass jede Ziffer außer der ganz linken innerhalb +/- 1 einer Ziffer links davon liegt?
Beispiel: wenn wir eine 6 haben, muss links davon irgendwo 5 oder 7 sein (nicht notwendigerweise direkt links) ausser 6 ist ganz links.

Müssen alle 10 Ziffern verwendet werden?
Darf jede Ziffer nur einmal verwendet werden?

Ja, alle 10 Ziffern müssen verwendet werden und jede genau einmal.

Spoiler

Schaun mer mal.
Sei x der Startwert 0..9
Offensichtlich kommen alle Ziffern > x in aufsteigernder Reihenfolge
und alle Ziffern <x in Absteigender Reihenfolge zum Einsatz.
Sei #(x) die Anzahl der möglichen Ziffernfolgen für Starwert x,
dann gilt wegen der Symmetrie
#(0)=#(9), #(1)=#(8), #(2)=#(7),#(3)=#(6) und #(4)=#(5)

#(0)=#(9)=1

1-> 1.2.3.4.5.6.7.8.9. mit 9 möglichen Stellen für die 0
#(1)=#(8)=9

2-> 2.3.4.5.6.7.8.9. mit 8 möglichen Stellen für die 1 und abhängig davon 8,7,6,..1 Stellen für die 0 -> 8*9/2
#(2)=#(7)=36 (Gaussche Summe 1. Ordnung)

3-> 3.4.5.6.7.8.9. mit 7 für die 2, 7..1 für die 1 sowie 7..1 für die 0 -> Gaussche Summe 2. Ordnung
G2(7)=G(7)+G(6)..+G(1)
7*8/2+6*7/2+...+1*2/2 = 7*8*9/(2*3)
#(3)=#(6)= 84

4-> 4.5.6.7.8.9. mit 6 für die 3, 6..1 für die 2,6..1 für die 1 sowie 6..1 für die 0 -> Gaussche Summe 3. Ordnung
G3(6)=G2(6)+G2(5)..+G2(1) =6*7*8*9/(2*3*4)
#(4)=#(5)=126

Das wären dann (1+9+36+84+126)*2=256*2 =512 =2^9 Möglichkeiten.

Wobei in mir der Verdacht aufkommt, die 2^9 wird man wohl auch einfacher ermitteln können,
indem es für jede Stelle ausser der 1. (oder letzten) genau 2 Möglichkeiten (wofür auch immer) gibt.

[kad]

Auf wie viele Arten kann man die Zahlen 0 bis 9 hintereinander schreiben, sodass jede Ziffer außer der ganz linken innerhalb +/- 1 einer Ziffer links davon liegt?
Beispiel: wenn wir eine 6 haben, muss links davon irgendwo 5 oder 7 sein (nicht notwendigerweise direkt links) ausser 6 ist ganz links.

Müssen alle 10 Ziffern verwendet werden?
Darf jede Ziffer nur einmal verwendet werden?

Ja, alle 10 Ziffern müssen verwendet werden und jede genau einmal.

Spoiler

Schaun mer mal.
Sei x der Startwert 0..9
Offensichtlich kommen alle Ziffern > x in aufsteigernder Reihenfolge
und alle Ziffern <x in Absteigender Reihenfolge zum Einsatz.
Sei #(x) die Anzahl der möglichen Ziffernfolgen für Starwert x,
dann gilt wegen der Symmetrie
#(0)=#(9), #(1)=#(8), #(2)=#(7),#(3)=#(6) und #(4)=#(5)

#(0)=#(9)=1

1-> 1.2.3.4.5.6.7.8.9. mit 9 möglichen Stellen für die 0
#(1)=#(8)=9

2-> 2.3.4.5.6.7.8.9. mit 8 möglichen Stellen für die 1 und abhängig davon 8,7,6,..1 Stellen für die 0 -> 8*9/2
#(2)=#(7)=36 (Gaussche Summe 1. Ordnung)

3-> 3.4.5.6.7.8.9. mit 7 für die 2, 7..1 für die 1 sowie 7..1 für die 0 -> Gaussche Summe 2. Ordnung
G2(7)=G(7)+G(6)..+G(1)
7*8/2+6*7/2+...+1*2/2 = 7*8*9/(2*3)
#(3)=#(6)= 84

4-> 4.5.6.7.8.9. mit 6 für die 3, 6..1 für die 2,6..1 für die 1 sowie 6..1 für die 0 -> Gaussche Summe 3. Ordnung
G3(6)=G2(6)+G2(5)..+G2(1) =6*7*8*9/(2*3*4)
#(4)=#(5)=126

Das wären dann (1+9+36+84+126)*2=256*2 =512 =2^9 Möglichkeiten.

Was mich zur Überzeugung bringt, die 2^9 wird man wohl auch einfacher ermitteln können.

Richtig. Du erstaunst mich (positiv) immer wieder.

Spoiler

Einfacher geht es, wenn man hinten anfängt.
Die letzte Ziffer muss 0 oder 9 sein.
Falls 9, dann die zweitletzte 0 oder 8, etc
Falls 0, dann die zweitletzte 9 oder 1, etc.
Bei jedem Schritt hat man die Wahl aus zwei Ziffern.
9 mal —-> 2^9

[kad]

Pflöcke besetzen drei Ecken eines Quadrats. Ein Pflock kann jederzeit über einen anderen Pflock „springen“ und in gleicher Entfernung auf der anderen Seite landen. Übersprungene Pflöcke werden nicht entfernt. Kannst du einen Pflock in die vierte Ecke des Quadrats bringen?

[giffi marauder]

Auf wie viele Arten kann man die Zahlen 0 bis 9 hintereinander schreiben, sodass jede Ziffer außer der ganz linken innerhalb +/- 1 einer Ziffer links davon liegt?
Beispiel: wenn wir eine 6 haben, muss links davon irgendwo 5 oder 7 sein (nicht notwendigerweise direkt links) ausser 6 ist ganz links.

Müssen alle 10 Ziffern verwendet werden?
Darf jede Ziffer nur einmal verwendet werden?

Ja, alle 10 Ziffern müssen verwendet werden und jede genau einmal.

Spoiler

Schaun mer mal.
Sei x der Startwert 0..9
Offensichtlich kommen alle Ziffern > x in aufsteigernder Reihenfolge
und alle Ziffern <x in Absteigender Reihenfolge zum Einsatz.
Sei #(x) die Anzahl der möglichen Ziffernfolgen für Starwert x,
dann gilt wegen der Symmetrie
#(0)=#(9), #(1)=#(8), #(2)=#(7),#(3)=#(6) und #(4)=#(5)

#(0)=#(9)=1

1-> 1.2.3.4.5.6.7.8.9. mit 9 möglichen Stellen für die 0
#(1)=#(8)=9

2-> 2.3.4.5.6.7.8.9. mit 8 möglichen Stellen für die 1 und abhängig davon 8,7,6,..1 Stellen für die 0 -> 8*9/2
#(2)=#(7)=36 (Gaussche Summe 1. Ordnung)

3-> 3.4.5.6.7.8.9. mit 7 für die 2, 7..1 für die 1 sowie 7..1 für die 0 -> Gaussche Summe 2. Ordnung
G2(7)=G(7)+G(6)..+G(1)
7*8/2+6*7/2+...+1*2/2 = 7*8*9/(2*3)
#(3)=#(6)= 84

4-> 4.5.6.7.8.9. mit 6 für die 3, 6..1 für die 2,6..1 für die 1 sowie 6..1 für die 0 -> Gaussche Summe 3. Ordnung
G3(6)=G2(6)+G2(5)..+G2(1) =6*7*8*9/(2*3*4)
#(4)=#(5)=126

Das wären dann (1+9+36+84+126)*2=256*2 =512 =2^9 Möglichkeiten.

Was mich zur Überzeugung bringt, die 2^9 wird man wohl auch einfacher ermitteln können.

Richtig. Du erstaunst mich (positiv) immer wieder.

Spoiler

Einfacher geht es, wenn man hinten anfängt.
Die letzte Ziffer muss 0 oder 9 sein.
Falls 9, dann die zweitletzte 0 oder 8, etc
Falls 0, dann die zweitletzte 9 oder 1, etc.
Bei jedem Schritt hat man die Wahl aus zwei Ziffern.
9 mal —-> 2^9

Dacht ichs mir doch.

[giffi marauder]

Pflöcke besetzen drei Ecken eines Quadrats. Ein Pflock kann jederzeit über einen anderen Pflock „springen“ und in gleicher Entfernung auf der anderen Seite landen. Übersprungene Pflöcke werden nicht entfernt. Kannst du einen Pflock in die vierte Ecke des Quadrats bringen?

Spoiler

Wir plazieren vier bunte Stöcke im Koordinatensystem
(Zielpunkt): Weisser Stock auf 0/0
Stock 1: Roter Stock auf 0/1
Stock 2: Blauer Stock auf 1/1
Stock 3: Gelber Stock auf 1/0

Jedesmal wenn ein Stock (über einen anderen) auf einen neuen Punkt springt, färben wir diesen in der Stockfarbe ein.
Man sieht ziemlich schnell, dass die gesamte Rumspringerei alle möglichen ganzahligen Koordinaten
in 4 distinkte Gruppen teilt.

Genaugenommen liegen alle gleichfarbigen Punkte auf den Gitterpunkten eines von vier Gittern mit Rasterabstand 2
von denen jedes genau einen Punkt der obigen Koordinaten hat und somit entweder in x oder y oder in x+y um 1 verschoben ist.
...03030303...
...12121212...
...03030303...
...12121212...

Mathematisch gesehen ist die Sprungweite immer das doppelte der Entfernung zum übersprungenen Stock
und somit sowohl dx als auch dy ein Vielfaches von 2.
Alle erreichbaren Punkte von Stock 1 liegen somit in x,y =(0+2a, 1+2b) a,b € Z
Die y Koordinate von Stock 1 ist damit immer ungerade und y=0 somit nicht erreichbar
Analoges gilt für die beiden anderen Stöcke.
Stock 2: x,y =(1+2a, 1+2b) a,b € Z
Stock 3: x,y =(1+2a, 0+2b) a,b € Z

Also nein, keiner der drei andersfarbigen Stöcke kann auf einem Weissen Punkt landen
und somit auch nicht in 0/0

[kad]

Pflöcke besetzen drei Ecken eines Quadrats. Ein Pflock kann jederzeit über einen anderen Pflock „springen“ und in gleicher Entfernung auf der anderen Seite landen. Übersprungene Pflöcke werden nicht entfernt. Kannst du einen Pflock in die vierte Ecke des Quadrats bringen?

Spoiler

Wir plazieren vier bunte Stöcke im Koordinatensystem
(Zielpunkt): Weisser Stock auf 0/0
Stock 1: Roter Stock auf 0/1
Stock 2: Blauer Stock auf 1/1
Stock 3: Gelber Stock auf 1/0

Jedesmal wenn ein Stock (über einen anderen) auf einen neuen Punkt springt, färben wir diesen in der Stockfarbe ein.
Man sieht ziemlich schnell, dass die gesamte Rumspringerei alle möglichen ganzahligen Koordinaten
in 4 distinkte Gruppen teilt.

Genaugenommen liegen alle gleichfarbigen Punkte auf den Gitterpunkten eines von vier Gittern mit Rasterabstand 2
von denen jedes genau einen Punkt der obigen Koordinaten hat und somit entweder in x oder y oder in x+y um 1 verschoben ist.
...03030303...
...12121212...
...03030303...
...12121212...

Mathematisch gesehen ist die Sprungweite immer das doppelte der Entfernung zum übersprungenen Stock
und somit sowohl dx als auch dy ein Vielfaches von 2.
Alle erreichbaren Punkte von Stock 1 liegen somit in x,y =(0+2a, 1+2b) a,b € Z
Die y Koordinate von Stock 1 ist damit immer ungerade und y=0 somit nicht erreichbar
Analoges gilt für die beiden anderen Stöcke.
Stock 2: x,y =(1+2a, 1+2b) a,b € Z
Stock 3: x,y =(1+2a, 0+2b) a,b € Z

Also nein, keiner der drei andersfarbigen Stöcke kann auf einem Weissen Punkt landen
und somit auch nicht in 0/0

Ja

[kad]

Zweiundvierzig positive ganze Zahlen (nicht unbedingt verschieden) werden in einer Reihe geschrieben. Zeige, dass du Pluszeichen, Malzeichen und Klammern so zwischen die ganzen Zahlen setzen kannst, dass der Wert des resultierenden Ausdrucks ohne Rest durch eine Million teilbar ist.