Rechenaufgaben

[giffi marauder]

Wieder einmal ein Schachrätsel.

Irgendwo auf dem Brett steht versteckt noch ein weisser Turm. Wo?

Die beiden Könige und die beiden Damen haben noch keinen Zug gemacht und wurden noch nicht angegriffen.




image0.jpeg

Spoiler

Gut für weiss wäre, weiss wäre am Zug und der Turm würde sich auf b5 befinden.

Aber ich hab keine Ahnung, wie man da rausfinden sollte, wo er zwingen sein "muss"
und nicht wo er sein könnte oder sollte.

Interessant finde ich das Fehlen des schwarzen Turmes.
Da ist wohl ein weisses Pferd durchgegangen.

[kad]

Wieder einmal ein Schachrätsel.

Irgendwo auf dem Brett steht versteckt noch ein weisser Turm. Wo?

Die beiden Könige und die beiden Damen haben noch keinen Zug gemacht und wurden noch nicht angegriffen.




image0.jpeg

Spoiler

Gut für weiss wäre, weiss wäre am Zug und der Turm würde sich auf b5 befinden.

Aber ich hab keine Ahnung, wie man da rausfinden sollte, wo er zwingen sein "muss"
und nicht wo er sein könnte oder sollte.

Interessant finde ich das Fehlen des schwarzen Turmes.
Da ist wohl ein weisses Pferd durchgegangen.

Spoiler

b5. Nein.

Was ist mit dem weissen h Bauern passiert?

PS
Die Aufgabe ist schwierig - also genau das richtige für dich

[giffi marauder]

Wieder einmal ein Schachrätsel.

Irgendwo auf dem Brett steht versteckt noch ein weisser Turm. Wo?

Die beiden Könige und die beiden Damen haben noch keinen Zug gemacht und wurden noch nicht angegriffen.




image0.jpeg

Spoiler

Gut für weiss wäre, weiss wäre am Zug und der Turm würde sich auf b5 befinden.

Aber ich hab keine Ahnung, wie man da rausfinden sollte, wo er zwingen sein "muss"
und nicht wo er sein könnte oder sollte.

Interessant finde ich das Fehlen des schwarzen Turmes.
Da ist wohl ein weisses Pferd durchgegangen.

Spoiler

b5. Nein.

Was ist mit dem weissen h Bauern passiert?

PS
Die Aufgabe ist schwierig - also genau das richtige für dich

Nein eher nicht.
Schach ist nicht so mein Ding.
Da muss ich immer erst schauen, wer da eigentlich der König und wer da die Königin ist.
Der König trägt ne Krone, die Königin geht beten.
Nein, umgekehrt.
Der König hat den Reichsapfel am Kopf und die Königin, äh, was auch immer.

[kad]

Der Stamm des Kastanienbaumes in unserem Garten hat einen Durchmesser von vier Metern. Er gabelt sich in drei Äste auf, von denen jeder den halben Durchmesser des Stammes hat, und auch jeder dieser drei Äste gabelt sich wieder in drei kleinere Äste mit halb so großem Durchmesser wie der vorherige Ast auf. Dies gilt ebenso für jeden Ast, dessen Durchmesser mindestens drei Millimeter beträgt; kleinere Zweige gabeln sich nicht weiter auf. An jedem Ast bzw. Zweig (auch an Ästen, die sich noch weiter verzweigen) hängen genau drei Blätter und genau drei Kastanien.
Wie viele Kastanien hängen an dem Baum?

[giffi marauder]

Der Stamm des Kastanienbaumes in unserem Garten hat einen Durchmesser von vier Metern. Er gabelt sich in drei Äste auf, von denen jeder den halben Durchmesser des Stammes hat, und auch jeder dieser drei Äste gabelt sich wieder in drei kleinere Äste mit halb so großem Durchmesser wie der vorherige Ast auf. Dies gilt ebenso für jeden Ast, dessen Durchmesser mindestens drei Millimeter beträgt; kleinere Zweige gabeln sich nicht weiter auf. An jedem Ast bzw. Zweig (auch an Ästen, die sich noch weiter verzweigen) hängen genau drei Blätter und genau drei Kastanien.
Wie viele Kastanien hängen an dem Baum?

Spoiler

4/0,003=1.333 <= 4*/(1/2)^n = 4/(1/2)^11
-> 11 Halbierungen
Test:
4*(1/2)^10=0,0039 = 3,9 mm
4*(1/2)^11=0,0019 = 1,9 mm (die teilen sich nicht mehr)

11 Halbierungen bedeuten demnach 11 Multiplikationen mit 3.

Ähnlich wie bei Summe (1..2^n)=2^(n+1)-1 gilt bei der Summe (1..3^n)=(3^(n+1)-1)/2
Bspw. 1+3+9=13 = ((3^3-1)/2)

Mit einer Kastanie am Stamm wären dass dann (3^12-1)/2 =265.720 Kastanien.
Ohne Kastanie am Stamm dann eine weniger.

PS:
Das mit den Summenformeln war mir so noch gar nicht klar (oder ich habs wieder vergessen).
S(1,2,.,2^n)=(2^(n+1)-1)/1
S(1,3..,3^n)=(3^(n+1)-1)/2
S(1,4..,4^n)=(4^(n+1)-1)/3
...
S(1,x,x^2,....x^n)=(x(n+1)-1)/(x-1)
Gefällt mir.

[kad]

Der Stamm des Kastanienbaumes in unserem Garten hat einen Durchmesser von vier Metern. Er gabelt sich in drei Äste auf, von denen jeder den halben Durchmesser des Stammes hat, und auch jeder dieser drei Äste gabelt sich wieder in drei kleinere Äste mit halb so großem Durchmesser wie der vorherige Ast auf. Dies gilt ebenso für jeden Ast, dessen Durchmesser mindestens drei Millimeter beträgt; kleinere Zweige gabeln sich nicht weiter auf. An jedem Ast bzw. Zweig (auch an Ästen, die sich noch weiter verzweigen) hängen genau drei Blätter und genau drei Kastanien.
Wie viele Kastanien hängen an dem Baum?

Spoiler

4/0,003=1.333 <= 4*/(1/2)^n = 4/(1/2)^11
-> 11 Halbierungen
Test:
4*(1/2)^10=0,0039 = 3,9 mm
4*(1/2)^11=0,0019 = 1,9 mm (die teilen sich nicht mehr)

11 Halbierungen bedeuten demnach 11 Multiplikationen mit 3.

Ähnlich wie bei Summe (1..2^n)=2^(n+1)-1 gilt bei der Summe (1..3^n)=(3^(n+1)-1)/2
Bspw. 1+3+9=13 = ((3^3-1)/2)

Mit einer Kastanie am Stamm wären dass dann (3^12-1)/2 =265.720 Kastanien.
Ohne Kastanie am Stamm dann eine weniger.

PS:
Das mit den Summenformeln war mir so noch gar nicht klar (oder ich habs wieder vergessen).
S(1,2,.,2^n)=(2^(n+1)-1)/1
S(1,3..,3^n)=(3^(n+1)-1)/2
S(1,4..,4^n)=(4^(n+1)-1)/3
...
S(1,x,x^2,....x^n)=(x(n+1)-1)/(x-1)
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Spoiler

Ein kleiner Flüchtigkeitsfehler……

[giffi marauder]

Der Stamm des Kastanienbaumes in unserem Garten hat einen Durchmesser von vier Metern. Er gabelt sich in drei Äste auf, von denen jeder den halben Durchmesser des Stammes hat, und auch jeder dieser drei Äste gabelt sich wieder in drei kleinere Äste mit halb so großem Durchmesser wie der vorherige Ast auf. Dies gilt ebenso für jeden Ast, dessen Durchmesser mindestens drei Millimeter beträgt; kleinere Zweige gabeln sich nicht weiter auf. An jedem Ast bzw. Zweig (auch an Ästen, die sich noch weiter verzweigen) hängen genau drei Blätter und genau drei Kastanien.
Wie viele Kastanien hängen an dem Baum?

Spoiler

4/0,003=1.333 <= 4*/(1/2)^n = 4/(1/2)^11
-> 11 Halbierungen
Test:
4*(1/2)^10=0,0039 = 3,9 mm
4*(1/2)^11=0,0019 = 1,9 mm (die teilen sich nicht mehr)

11 Halbierungen bedeuten demnach 11 Multiplikationen mit 3.

Ähnlich wie bei Summe (1..2^n)=2^(n+1)-1 gilt bei der Summe (1..3^n)=(3^(n+1)-1)/2
Bspw. 1+3+9=13 = ((3^3-1)/2)

Mit einer Kastanie am Stamm wären dass dann (3^12-1)/2 =265.720 Kastanien.
Ohne Kastanie am Stamm dann eine weniger.

PS:
Das mit den Summenformeln war mir so noch gar nicht klar (oder ich habs wieder vergessen).
S(1,2,.,2^n)=(2^(n+1)-1)/1
S(1,3..,3^n)=(3^(n+1)-1)/2
S(1,4..,4^n)=(4^(n+1)-1)/3
...
S(1,x,x^2,....x^n)=(x(n+1)-1)/(x-1)
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Ein kleiner Flüchtigkeitsfehler……

Spoiler

Du meinst diesen Blödsinn da?
4/0,003=1.333 <= 4*/(1/2)^n = 4/(1/2)^11

hier sollte stehen:
0,003 =4*f
1/f= 4/0,003=1.333 <= 2^n = 2^11
bzw.
f= 0,003/4=1/1.333 >=1/(1/2)^n = 1/(1/2)^11

[kad]

Der Stamm des Kastanienbaumes in unserem Garten hat einen Durchmesser von vier Metern. Er gabelt sich in drei Äste auf, von denen jeder den halben Durchmesser des Stammes hat, und auch jeder dieser drei Äste gabelt sich wieder in drei kleinere Äste mit halb so großem Durchmesser wie der vorherige Ast auf. Dies gilt ebenso für jeden Ast, dessen Durchmesser mindestens drei Millimeter beträgt; kleinere Zweige gabeln sich nicht weiter auf. An jedem Ast bzw. Zweig (auch an Ästen, die sich noch weiter verzweigen) hängen genau drei Blätter und genau drei Kastanien.
Wie viele Kastanien hängen an dem Baum?

Spoiler

4/0,003=1.333 <= 4*/(1/2)^n = 4/(1/2)^11
-> 11 Halbierungen
Test:
4*(1/2)^10=0,0039 = 3,9 mm
4*(1/2)^11=0,0019 = 1,9 mm (die teilen sich nicht mehr)

11 Halbierungen bedeuten demnach 11 Multiplikationen mit 3.

Ähnlich wie bei Summe (1..2^n)=2^(n+1)-1 gilt bei der Summe (1..3^n)=(3^(n+1)-1)/2
Bspw. 1+3+9=13 = ((3^3-1)/2)

Mit einer Kastanie am Stamm wären dass dann (3^12-1)/2 =265.720 Kastanien.
Ohne Kastanie am Stamm dann eine weniger.

PS:
Das mit den Summenformeln war mir so noch gar nicht klar (oder ich habs wieder vergessen).
S(1,2,.,2^n)=(2^(n+1)-1)/1
S(1,3..,3^n)=(3^(n+1)-1)/2
S(1,4..,4^n)=(4^(n+1)-1)/3
...
S(1,x,x^2,....x^n)=(x(n+1)-1)/(x-1)
Gefällt mir.

Spoiler

Ein kleiner Flüchtigkeitsfehler……

Spoiler

Du meinst diesen Blödsinn da?
4/0,003=1.333 <= 4*/(1/2)^n = 4/(1/2)^11

hier sollte stehen:
0,003 =4*f
1/f= 4/0,003=1.333 <= 2^n = 2^11
bzw.
f= 0,003/4=1/1.333 >=1/(1/2)^n = 1/(1/2)^11

Spoiler

Nein.

265.719
ist eigentlich schon fast richtig. Einfach Aufgabenstellung nochmals durchlesen…

[giffi marauder]

Der Stamm des Kastanienbaumes in unserem Garten hat einen Durchmesser von vier Metern. Er gabelt sich in drei Äste auf, von denen jeder den halben Durchmesser des Stammes hat, und auch jeder dieser drei Äste gabelt sich wieder in drei kleinere Äste mit halb so großem Durchmesser wie der vorherige Ast auf. Dies gilt ebenso für jeden Ast, dessen Durchmesser mindestens drei Millimeter beträgt; kleinere Zweige gabeln sich nicht weiter auf. An jedem Ast bzw. Zweig (auch an Ästen, die sich noch weiter verzweigen) hängen genau drei Blätter und genau drei Kastanien.
Wie viele Kastanien hängen an dem Baum?

Spoiler

4/0,003=1.333 <= 4*/(1/2)^n = 4/(1/2)^11
-> 11 Halbierungen
Test:
4*(1/2)^10=0,0039 = 3,9 mm
4*(1/2)^11=0,0019 = 1,9 mm (die teilen sich nicht mehr)

11 Halbierungen bedeuten demnach 11 Multiplikationen mit 3.

Ähnlich wie bei Summe (1..2^n)=2^(n+1)-1 gilt bei der Summe (1..3^n)=(3^(n+1)-1)/2
Bspw. 1+3+9=13 = ((3^3-1)/2)

Mit einer Kastanie am Stamm wären dass dann (3^12-1)/2 =265.720 Kastanien.
Ohne Kastanie am Stamm dann eine weniger.

PS:
Das mit den Summenformeln war mir so noch gar nicht klar (oder ich habs wieder vergessen).
S(1,2,.,2^n)=(2^(n+1)-1)/1
S(1,3..,3^n)=(3^(n+1)-1)/2
S(1,4..,4^n)=(4^(n+1)-1)/3
...
S(1,x,x^2,....x^n)=(x(n+1)-1)/(x-1)
Gefällt mir.

Spoiler

Ein kleiner Flüchtigkeitsfehler……

Spoiler

Du meinst diesen Blödsinn da?
4/0,003=1.333 <= 4*/(1/2)^n = 4/(1/2)^11

hier sollte stehen:
0,003 =4*f
1/f= 4/0,003=1.333 <= 2^n = 2^11
bzw.
f= 0,003/4=1/1.333 >=1/(1/2)^n = 1/(1/2)^11

Spoiler

Nein.

265.719
ist eigentlich schon fast richtig. Einfach Aufgabenstellung nochmals durchlesen…

Spoiler

Ah, 3 Kastanien pro Ast (ohne Stamm) = 265.719*3 =707.157 Kastanien

[kad]

Der Stamm des Kastanienbaumes in unserem Garten hat einen Durchmesser von vier Metern. Er gabelt sich in drei Äste auf, von denen jeder den halben Durchmesser des Stammes hat, und auch jeder dieser drei Äste gabelt sich wieder in drei kleinere Äste mit halb so großem Durchmesser wie der vorherige Ast auf. Dies gilt ebenso für jeden Ast, dessen Durchmesser mindestens drei Millimeter beträgt; kleinere Zweige gabeln sich nicht weiter auf. An jedem Ast bzw. Zweig (auch an Ästen, die sich noch weiter verzweigen) hängen genau drei Blätter und genau drei Kastanien.
Wie viele Kastanien hängen an dem Baum?

Spoiler

4/0,003=1.333 <= 4*/(1/2)^n = 4/(1/2)^11
-> 11 Halbierungen
Test:
4*(1/2)^10=0,0039 = 3,9 mm
4*(1/2)^11=0,0019 = 1,9 mm (die teilen sich nicht mehr)

11 Halbierungen bedeuten demnach 11 Multiplikationen mit 3.

Ähnlich wie bei Summe (1..2^n)=2^(n+1)-1 gilt bei der Summe (1..3^n)=(3^(n+1)-1)/2
Bspw. 1+3+9=13 = ((3^3-1)/2)

Mit einer Kastanie am Stamm wären dass dann (3^12-1)/2 =265.720 Kastanien.
Ohne Kastanie am Stamm dann eine weniger.

PS:
Das mit den Summenformeln war mir so noch gar nicht klar (oder ich habs wieder vergessen).
S(1,2,.,2^n)=(2^(n+1)-1)/1
S(1,3..,3^n)=(3^(n+1)-1)/2
S(1,4..,4^n)=(4^(n+1)-1)/3
...
S(1,x,x^2,....x^n)=(x(n+1)-1)/(x-1)
Gefällt mir.

Spoiler

Ein kleiner Flüchtigkeitsfehler……

Spoiler

Du meinst diesen Blödsinn da?
4/0,003=1.333 <= 4*/(1/2)^n = 4/(1/2)^11

hier sollte stehen:
0,003 =4*f
1/f= 4/0,003=1.333 <= 2^n = 2^11
bzw.
f= 0,003/4=1/1.333 >=1/(1/2)^n = 1/(1/2)^11

Spoiler

Nein.

265.719
ist eigentlich schon fast richtig. Einfach Aufgabenstellung nochmals durchlesen…

Spoiler

Ah, 3 Kastanien pro Ast (ohne Stamm) = 265.719*3 =707.157 Kastanien

Genau

[kad]

Hubert hat in seinem Sparschwein Ein- und Zwei-Euro-Münzen (und
keine anderen). Wenn er zufällig zwei davon herausnimmt, dann hat er mit genau 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit exakt drei Euro herausgenommen. Er weiß auch noch von einer früheren Zählung, dass er mindestens 170 Münzen im Sparschwein hat. Außerdem ist er sich sicher, dass es nicht gleich viele Ein- und Zwei-Euro- Münzen sind. Kann er sich mit dem Geld im Sparschwein seinen großen Wunsch, ein Smartphone für 289 Euro, kaufen?

[giffi marauder]

Hubert hat in seinem Sparschwein Ein- und Zwei-Euro-Münzen (und
keine anderen). Wenn er zufällig zwei davon herausnimmt, dann hat er mit genau 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit exakt drei Euro herausgenommen. Er weiß auch noch von einer früheren Zählung, dass er mindestens 170 Münzen im Sparschwein hat. Außerdem ist er sich sicher, dass es nicht gleich viele Ein- und Zwei-Euro- Münzen sind. Kann er sich mit dem Geld im Sparschwein seinen großen Wunsch, ein Smartphone für 289 Euro, kaufen?

Fehlt im letzten Satz ein "genau" oder könnte er auch viel viel mehr Geld haben?

[kad]

Hubert hat in seinem Sparschwein Ein- und Zwei-Euro-Münzen (und
keine anderen). Wenn er zufällig zwei davon herausnimmt, dann hat er mit genau 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit exakt drei Euro herausgenommen. Er weiß auch noch von einer früheren Zählung, dass er mindestens 170 Münzen im Sparschwein hat. Außerdem ist er sich sicher, dass es nicht gleich viele Ein- und Zwei-Euro- Münzen sind. Kann er sich mit dem Geld im Sparschwein seinen großen Wunsch, ein Smartphone für 289 Euro, kaufen?

Fehlt im letzten Satz ein "genau" oder könnte er auch viel viel mehr Geld haben?

Genau fehlt nicht. Mehr, weniger, genau: alles ist möglich

[giffi marauder]

Spoiler

Sei:
N = Anzahl der Münzen
e= Anzahl der Einer
z= Anzahl der Zweier = e+d = N-e
d=z-e

Dann ist Wahrschienlichkeit w(xy)
w("11") = (e/N)*(e-1)/(N-1) =e*(e-1)/(N*(N-1))
w("12") = (e/N)*(z)/(N-1) = e*z/(N*(N-1))=0,25
w("21") = (z/N)*(e)/(N-1) = e*z/(N*(N-1))=0,25
w("22") = (z/N)*(z-1)/(N-1) = z*(z-1)/(N*(N-1))

Die Wahrscheinlichkeit für "12" und "21" sind beide gleich hoch (trivial) und zusammen 0,5 (nicht trivial).
Die Wahrscheinlichkeit für "11" und "22" sind demnach zusammen auch 0,5.

Durch Gleichsetzten von w("11")+w("22")-w("12")-w("21")=0
und ersetzten von z durch (e+d) erhält man die Beziehungen
e=d(d-1)/2
N=2e+d=d^2

Dafür gibts dann ziemlich viele Möglichkeiten:
Unter der Bedingung N >=170 ist N=196 die kleinste mögliche Quadratzahl
und somit d=+/- 14
Die wertmäßig kleinere Lösung ist damit e>z, d<0
d=-14, e=105, z=91, N=196 und Wert=287
w("12") = (105/196)*(91)/(195) = 91*105/(196*195)=9.555/38.220=0,25
w("21") = (91/196)*(105)/(195) = 91*105/(196*195)=9.555/38.220=0,25

Also nein, mit allen diesen Lösungen mit N>=170 könnte sich Hubert das Smartphone um 289 nicht leisten.

[kad]

Spoiler

Sei:
N = Anzahl der Münzen
e= Anzahl der Einer
z= Anzahl der Zweier = e+d = N-e
d=z-e

Dann ist Wahrschienlichkeit w(xy)
w("11") = (e/N)*(e-1)/(N-1) =e*(e-1)/(N*(N-1))
w("12") = (e/N)*(z)/(N-1) = e*z/(N*(N-1))=0,25
w("21") = (z/N)*(e)/(N-1) = e*z/(N*(N-1))=0,25
w("22") = (z/N)*(z-1)/(N-1) = z*(z-1)/(N*(N-1))

Die Wahrscheinlichkeit für "12" und "21" sind beide gleich hoch (trivial) und zusammen 0,5 (nicht trivial).
Die Wahrscheinlichkeit für "11" und "22" sind demnach zusammen auch 0,5.

Durch Gleichsetzten von w("11")+w("22")-w("12")-w("21")=0
und ersetzten von z durch (e+d) erhält man die Beziehungen
e=d(d-1)/2
N=2e+d=d^2

Dafür gibts dann ziemlich viele Möglichkeiten:
Unter der Bedingung N >=170 ist N=196 die kleinste mögliche Quadratzahl
und somit d=+/- 14
Die wertmäßig kleinere Lösung ist damit e>z, d<0
d=-14, e=105, z=91, N=196 und Wert=287
w("12") = (105/196)*(91)/(195) = 91*105/(196*195)=9.555/38.220=0,25
w("21") = (91/196)*(105)/(195) = 91*105/(196*195)=9.555/38.220=0,25

Also nein, mit allen diesen Lösungen mit N>=170 könnte sich Hubert das Smartphone um 289 nicht leisten.

Genau, so ist es.