Die Kiste enthält 13x43x61 Dosen.
Das sind wie erwartet Primzahlen.
Das wären dann 34.099 Dosen (N).
Diese Können weder zu einem Quadrat noch einem einzigen Rechteck mit 1<a<b gelegt werden.
Die Frage ist nun ob es eine Möglichkeit gibt diese in zwei Mengen zu teilen mit a^2+b^2=N
Ein schnelle Analyse der Infrage kommenen Quadratzahlen ergibt, dass dies nicht möglich ist
und der minimale Überschuss 11 Dosen sind (bei a,b = 118,142)
Aber das ist ja jetzt nicht die Idee hinter dem Rätsel.
Schauen wir uns N noch mal an.
N ist ungerade -> entweder a^2 oder b^2 ist gerade (g+g=g, u+u=g,
u+g=u)
Sagen wir einfach mal das ist a^2 gerade ist, dann auch a gerade (
g*g=g, u*g=u,u*u=u)
Daraus folgt, dass b und b^2 ungerade sind. (
u*u=u)
Irgendwo weiter oben hatten wir mal einen kleine Ausflug mit der Erkenntnis, dass das Quadrat einer geraden Zahl immer durch 4 teilbar ist.
Vielleicht bringen uns die Restklassen von 4 auch da weiter.
das gerade a hat die Restklassen (0,2), a^2 somit 0
das gerade b hat die Restklassen (1,3), b^2 somit 1
Die Summe der Restklassen (a^2+b^2) Mod 4 ist damit jedenfalls in der Restklasse 1
Oben haben wir 13x43x61.
Multiplizieren wir doch einfach mal deren Restklassen Mod 4.
13 -> 1
43-> 3
61-> 1
1*3*1=3
Also nein, das geht sich nicht aus.
Der Restklassen-Vier-Hammer ist wohl ein ziemlich probates Werkzeug, wenns um Rätsel mit Quadrate geht.
Wie könnte man nun noch den minimalen Schwund (s) berechnen (ohne sich die 92 Excelzeilen durchzusehen)?
a^2+b^2=N-s
Restklassen von a,b mod 4 =0,1,2,3
Restklassen von a^2,b^2 mod 4=0,1
Restklassen a^2+b^2 Mod 4 = 0,1,2
Resklasse N Mod 4 = 3
-> Restklasse von s Mod 4 = 1 s=4k+1 (von 3 auf 2) -> s= 1,5,9,13,17 ...
-> Restklasse von s Mod 4 = 2 s=4k+2 (von 3 auf 1) -> s= 2,6,10,14 ...
-> Restklasse von s Mod 4 = 3 s=4k+3 (von 3 auf 0) -> s= 3,7,11,15 ...
