Rechenaufgaben

[kad]

Unklar ist mit noch, ob Anna auch ohne Fähnchen in der Mitte sein kann.

Das Fähnchen von Anna ist doch in jedem Fall in der Mitte (vor und nach der Minute Aktion).

Nein ich meinte, ob Fähnchen und Anna in der Mitte sein können, ohne dass Anna im Besitz ihres Fähnchens ist.
Ich geh davon aus, dass die Ameisen keine Breite bzw. Länge haben.
Bei mir ist Mitte nicht gleich Mitte.
Einmal im Sinne von Anna hat die Nr. 51 und jeweils 50 Ameisen links und rechts von sich
und einmal im Sinne von in der Mitte des Staabes.
Insofern können bei mir alle Ameisen von der Stab-Mitte starten und dort auch wieder ankommen,
auch wenn sie nicht die Nr. 51 tragen.
In diesem Fall wären alle Ameisen (samt Anna) wieder in der Mitte, nur das Fähnchen hat dann halt irgendwer.
Stimmt. Die ursprüngliche Frage war aber, ob Anna wieder in der Mitte ist. Und das ist sie ja. Das mit den Fähnchen ist ja nur eine Hilfskonstruktion.
Beim ursprünglichen Rätsel hat es keine Rolle gespielt, ob mehrere (dimensionslose) Ameisen am gleich Punkt sein konnten,
weil die Fähnchen dann eben gleichzeitig runtergefallen sind.
Ist das in diesem Fall tatsächlich auch ignorierbar?
Ich glaube schon. Es werden dann bei einem Zusammenstoss von “zwei” Ameisen evt mehrere Fähnchen übergeben. Und es kann dann vorkommen, dass eine Ameise mehrere Fähnchen hält. Oder, dass mehrere Ameisen (die am gleiche Punkt starten) zusammen nur 1 Fähnchen halten. Mir scheint, dass der Lösungsweg - Fähnchen werden an der Mitte des Stabes gespiegelt, die kte Ameise ist auch nach 1 Minute die kte Ameise, weiterhin gilt. Und somit auch das Resultat.
Wenn wir uns die Ameisen nicht als Punkte sondern als Kugeln mit e(psilon) Druchmeser denken
und alle (mit Anna in der Mitte der Ameisen (Nr. 51) und Startpunkt genau der Mitte des Stabes) in eine Richtung laufen,
dann kann Anna ja nur, die Distanz von 1/2-50e zurücklegen bevor sie ansteht.
Laufen die Ameisen dicht an dicht, dann drehen sie zeitlos alle gleichzeitg um und laufen wieder zurück.
Anna landet dann aber nach 1 Minute nicht in der Mitte, weil sie ja für 2x 1/2-50e (hin und retour) keine Minute benötigt,
sondern exakt bei Mitte+100e.

Ja, wenn wie uns die Ameisen als horizontale epsilon Strichlein vorstellen, funktioniert die Sache nicht. Genau aus dem Grund, den du angibst. Natürlich könnte man argumentieren, dass solche Strichleinameisen bei einem Zusammenstoss die Richtung wechseln müssen. Und da sie nicht rückwärts laufen, vergeht etwas Zeit bis sie sich gekehrt haben (also nicht zeitloses drehen). Jetzt musst du die Zeit, die zum Drehen gebraucht wird nur geeignet wählen und schon funktioniert es (vielleicht) wieder, oder auch nicht….


Und wo ist jetzt eigentlich das besch. Fähnchen?

Du siehst mein Problem?
ja

[kad]

Mal etwas ganz anderes. Wer hat Freude an Induktionsbeweisen?
Hier ist einer.

Alle Schafe besitzen dieselbe Farbe

Induktionsbeweis
Die zu beweisende Aussage kann wie folgt formuliert werden:

In einer Herde mit n Schafen besitzen alle n Schafe dieselbe Farbe.
Nun führt man eine Induktion über n durch.

Induktionsverankerung
Der Induktionsanfang mit n=1 ist klar. Besteht die Herde nur aus einem Schaf, so besitzen offensichtlich alle Schafe der Herde dieselbe Farbe.



Induktionsschritt
Nun setzt man voraus, dass die Aussage für jede Herde mit n Schafen gilt. Und zeigt, dass sie dann auch für jede Herde mit n+1 Schafen gilt.
Man nimmt eine Herde aus n+1 Schafen und teilt diese auf in eine Herde mit n Schafen und einem einzelnen Schaf S. Die Aussage gilt ja laut Voraussetzung für die Herde mit n Schafen, hier haben alle Schafe dieselbe Farbe. Entfernt man ein Schaf aus dieser Herde und ersetzt es durch das zusätzliche Schaf S, so bleibt es eine Herde von n Schafen. In dieser Herde müssen also wieder alle Schafe dieselbe Farbe haben. Folglich haben alle n+1 Schafe dieselbe Farbe, womit der Beweis erbracht wäre.

[Tell Sackett]

Mal etwas ganz anderes. Wer hat Freude an Induktionsbeweisen?
Hier ist einer.(...)

Mir schlackert das Hirn...

[kad]

Mal etwas ganz anderes. Wer hat Freude an Induktionsbeweisen?
Hier ist einer.(...)

Mir schlackert das Hirn...

Ohh.
Ich mache es mir heute zur Aufgabe, aus deiner Äusserung abzuleiten, dass allen Foristen das Hirn schlackert….

[Tell Sackett]

Mal etwas ganz anderes. Wer hat Freude an Induktionsbeweisen?
Hier ist einer.(...)

Mir schlackert das Hirn...

Ohh.
Ich mache es mir heute zur Aufgabe, aus deiner Äusserung abzuleiten, dass allen Foristen das Hirn schlackert….

Ja, das wird dann 'ne ziemliche Schlackerei...

[giffi marauder]

Mal etwas ganz anderes. Wer hat Freude an Induktionsbeweisen?
Hier ist einer.

Alle Schafe besitzen dieselbe Farbe

Induktionsbeweis
Die zu beweisende Aussage kann wie folgt formuliert werden:

In einer Herde mit n Schafen besitzen alle n Schafe dieselbe Farbe.
Nun führt man eine Induktion über n durch.

Induktionsverankerung
Der Induktionsanfang mit n=1 ist klar. Besteht die Herde nur aus einem Schaf, so besitzen offensichtlich alle Schafe der Herde dieselbe Farbe.



Induktionsschritt
Nun setzt man voraus, dass die Aussage für jede Herde mit n Schafen gilt. Und zeigt, dass sie dann auch für jede Herde mit n+1 Schafen gilt.
Man nimmt eine Herde aus n+1 Schafen und teilt diese auf in eine Herde mit n Schafen und einem einzelnen Schaf S. Die Aussage gilt ja laut Voraussetzung für die Herde mit n Schafen, hier haben alle Schafe dieselbe Farbe. Entfernt man ein Schaf aus dieser Herde und ersetzt es durch das zusätzliche Schaf S, so bleibt es eine Herde von n Schafen. In dieser Herde müssen also wieder alle Schafe dieselbe Farbe haben. Folglich haben alle n+1 Schafe dieselbe Farbe, womit der Beweis erbracht wäre.

Spoiler

https://de.wikipedia.org/wiki/Pferde-Paradox

[kad]

Mal etwas ganz anderes. Wer hat Freude an Induktionsbeweisen?
Hier ist einer.

Alle Schafe besitzen dieselbe Farbe

Spoiler

https://de.wikipedia.org/wiki/Pferde-Paradox

Spoiler

Jetzt gebe ich mir extra die Mühe und schreibe das Rätsel auf Schafe um und nun das. Grrrrr
Das ist einer der schönsten falschen Beweise, die ich kenne.


PS
Jetzt auch noch ein Song mit Pferden.
Ich verzichte Black sheep von john Anderson zu posten - auch weil ich den Song nicht unglaublich gut finde…

[kad]

Ich hoffe ihr habt an der folgenden Aufgabe auch Freude.

Kann Deutschland in ein Quadrat eingeschrieben werden?

Wir beziehen uns hier auf die Form von Deutschland, die durch eine (beliebige) Projektion auf eine Ebene entsteht.

Die Foristen aus Österreich und der Schweiz können die Aufgabe mit ihrem eigenen Land lösen.

Musste erst mal googeln was da gemeint sein könnte.
Also die Konturlinie von D innerhalb eines Quadrats zeichnen, so dass jede Seite des Quadrates mind. an einem Punkt berührt wird?

Ich denke, man nimmt die maximale Nord-Süd- und Ost-West-Ausdehnung und packt diese (durch Drehung) in ein entsprechendes Quadrat.

Bei deiner Konstruktion hat man zuerst ein Rechteck.
Wieso sollte bei „Drehung „ ein Quadrat entstehen und nicht Rechtecke?

Nimm dein Rechteck und drehe es um 90 Grad (es verändert sich dabei natürlich, weil Deutschland immer eingeschrieben sein muss). Wie haben sich Länge und Breite des Rechtecks verändert. Und jetzt?

[kad]

Und auch etwas für die Nichtzahlenliebhaber:

Ein Schachspiel endet mit dem 6. Zug von Weiss und zwar mit dem Zug Bauer auf g7 schlägt auf f8, mit Verwandlung in einen Springer. Und Schachmatt.

Was sind die Züge dieser Partie?

Dieses Rätsel ist noch offen

[kad]

Hier eine Variante eines Rätsels, das vor Jahren viel Aufmerksamkeit auf sich zog. Und auch auf Marilyn vos Savant.


Angenommen, du hast es in die letzte Runde einer Spielshow geschafft. Du kannst ein Auto gewinnen, das sich hinter einer von tausend Türen befindet. Der Moderator der Spielshow bittet dich, eine Tür zu wählen. Du wählst Tür Nummer 1. Er sagt dir, dass er weiß, wo sich das Auto befindet, und öffnet alle übrigen Türen außer Tür Nummer 1 und Tür Nummer 899. Nun fragt er dich, ob du zu Tür Nummer 899 wechseln möchten. Solltest du die Tür wechseln?

[giffi marauder]

Hier eine Variante eines Rätsels, das vor Jahren viel Aufmerksamkeit auf sich zog. Und auch auf Marilyn vos Savant.


Angenommen, du hast es in die letzte Runde einer Spielshow geschafft. Du kannst ein Auto gewinnen, das sich hinter einer von tausend Türen befindet. Der Moderator der Spielshow bittet dich, eine Tür zu wählen. Du wählst Tür Nummer 1. Er sagt dir, dass er weiß, wo sich das Auto befindet, und öffnet alle übrigen Türen außer Tür Nummer 1 und Tür Nummer 899. Nun fragt er dich, ob du zu Tür Nummer 899 wechseln möchten. Solltest du die Tür wechseln?

Spoiler

Hier gibt es jetzt genau zwei Möglichkeiten:
a) das Auto befindet sich in einer der 998 offenen Türen, oder
b) das Auto befindet sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1% hinter der Tür 1 oder mit 99,9% hinter Tür 899.
Also ich würde jedenfalls welchseln.

[kad]

Vor fast 45 Jahren wurde mir untenstehendes Rätsel gegeben. Ich war fasziniert.

A sagt zu S und P: Ich habe zwei ganze Zahlen x und y mit 1 < x < y und x+y ≤ 100 gewählt. Gleich werde ich S ihre Summe s = x + y mitteilen, und ich werde P ihr Produkt p = xy mitteilen. Diese Ankündigungen bleiben geheim. Die Beiden werden aufgefordert, sich zu bemühen, die Zahlen x und y zu bestimmen.
A teilt s und p wie angekündigt mit.

Das folgende Gespräch findet nun statt:
1. P sagt: Ich kenne die Zahlen nicht.
2. S sagt: Ich wusste, dass du die Zahlen nicht kennst.
3. P sagt: Jetzt kenne ich die Zahlen.
4. S sagt: Jetzt kenne ich die Zahlen auch.

Bestimme x und y.

[giffi marauder]

Vor fast 45 Jahren wurde mir untenstehendes Rätsel gegeben. Ich war fasziniert.

A sagt zu S und P: Ich habe zwei ganze Zahlen x und y mit 1 < x < y und x+y ≤ 100 gewählt. Gleich werde ich S ihre Summe s = x + y mitteilen, und ich werde P ihr Produkt p = xy mitteilen. Diese Ankündigungen bleiben geheim. Die Beiden werden aufgefordert, sich zu bemühen, die Zahlen x und y zu bestimmen.
A teilt s und p wie angekündigt mit.

Das folgende Gespräch findet nun statt:
1. P sagt: Ich kenne die Zahlen nicht.
2. S sagt: Ich wusste, dass du die Zahlen nicht kennst.
3. P sagt: Jetzt kenne ich die Zahlen.
4. S sagt: Jetzt kenne ich die Zahlen auch.

Bestimme x und y.

Spoiler

Ich denk ma ein bisschen vor mich hin.
P macht eine Primzahlenzerlegung.
Wären das Resultat zwei Primzahlen (mit einfacher Potenz) wäre er gleich Fertig.
Das Produkt besteht also mindestens aus 3 Faktoren (mind. 2 davon unterschiedlich) oder mind. 4 gleichen.
P=p1*p1*p2....
P=p1*p2*p3...
P=p1*p1*p1*p1....
In jedem dieser Fälle lassen sich mehrere x,y Faktoren bestimmen mit x*y=P

Interessant ist Satz 2.
"2. S sagt: Ich wusste, dass du die Zahlen nicht kennst."
Also S weiss schon anhand der Summe, dass obiges der Fall ist (und nicht erst dadurch, dass P sich nicht entscheiden kann).

Gesucht ist also eine Summe für die jede mögliche Aufteilung in 2 Summanden, obige Eigenschaft hat.
Beispielsweise:
5 -> (2+3) falsch
6-> (4+2) falsch
7-> (2,5) falsch, (3,4) möglich
8->(2,6) möglich, (3,5) falsch
9= (3,6) möglich, (2,7) falsch
10= (2,8) möglich, (3,7) falsch, (4,6) möglich
...
Also eine Zahl zwischen 3 und 199 die nicht die Summe von 2 Primzahlen sein kann.
Da fällt, falls Goldbach recht hat, ja schon mal die Hälfte weg.

[kad]

Vor fast 45 Jahren wurde mir untenstehendes Rätsel gegeben. Ich war fasziniert.

A sagt zu S und P: Ich habe zwei ganze Zahlen x und y mit 1 < x < y und x+y ≤ 100 gewählt. Gleich werde ich S ihre Summe s = x + y mitteilen, und ich werde P ihr Produkt p = xy mitteilen. Diese Ankündigungen bleiben geheim. Die Beiden werden aufgefordert, sich zu bemühen, die Zahlen x und y zu bestimmen.
A teilt s und p wie angekündigt mit.

Das folgende Gespräch findet nun statt:
1. P sagt: Ich kenne die Zahlen nicht.
2. S sagt: Ich wusste, dass du die Zahlen nicht kennst.
3. P sagt: Jetzt kenne ich die Zahlen.
4. S sagt: Jetzt kenne ich die Zahlen auch.

Bestimme x und y.

Spoiler

Ich denk ma ein bisschen vor mich hin.
P macht eine Primzahlenzerlegung.
Wären das Resultat zwei Primzahlen (mit einfacher Potenz) wäre er gleich Fertig.
Das Produkt besteht also mindestens aus 3 Faktoren (mind. 2 davon unterschiedlich) oder mind. 4 gleichen.
P=p1*p1*p2....
P=p1*p2*p3...
P=p1*p1*p1*p1....
In jedem dieser Fälle lassen sich mehrere x,y Faktoren bestimmen mit x*y=P

Interessant ist Satz 2.
"2. S sagt: Ich wusste, dass du die Zahlen nicht kennst."
Also S weiss schon anhand der Summe, dass obiges der Fall ist (und nicht erst dadurch, dass P sich nicht entscheiden kann).

Gesucht ist also eine Summe für die jede mögliche Aufteilung in 2 Summanden, obige Eigenschaft hat.
Beispielsweise:
5 -> (2+3) falsch
6-> (4+2) falsch
7-> (2,5) falsch, (3,4) möglich
8->(2,6) möglich, (3,5) falsch
9= (3,6) möglich, (2,7) falsch
10= (2,8) möglich, (3,7) falsch, (4,6) möglich
...
Also eine Zahl zwischen 3 und 199 die nicht die Summe von 2 Primzahlen sein kann.
Da fällt, falls Goldbach recht hat, ja schon mal die Hälfte weg.

Spoiler

Genau. Goldbach habe ich da kennengelernt.
Die Aufgabe ist schwierig. Und man braucht Bleistift und Papier

[giffi marauder]

Die Aufgabe ist schwierig. Und man braucht Bleistift und Papier[/Spoiler]

Und ein bisschen Zeit auch noch.

Spoiler

Bei der Bedingung 1<x<y<=100
gibts als mögliche Summen 5<=S<=199
Nimmt man da mal alle weg, die als Summe von 2 Primzahlen gebildet werden können,
bleiben immer noch 82 Kandidaten über. (11,17,23,27 .... 199)
Dass die alle aus 3 Primzahl-Summanden gebildet werden können, sagt ja die "schwache" Goldbachvermutung.
Diese Prüfung würde die Menge also nicht verkleinern.

Die Frage dies sich nun stellt, ist, funktioniert das Rätsel für alle diese Zahlen, oder
wiederum nur einen Teil oder gar nur eine davon.

Da nach x,y gefragt wird, P und S aber unbekannt sind, sollte es eigentlich nur eine einzige Lösung geben.

Aber Schaun mer mal.
Die kleinste mögliche Summe ist 11.

Bei S=11 gibts für x,y folgende Möglichkeiten
(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)
deren Produkte wiederum wären
18,24,28,30
die zugehörigen Primfaktoren und mögliche x,y samt deren Summen sind dann:
P=18->(2,3,3)->(2,9)(3,6)->S=11 oder 9
P=24->(3,2,2,2)->(2,12)(3,8)(4,6)->S=14 oder 11 oder 10
P=28->(2,2,7)->(2,14)(4,7)->S= 16 oder 11
P=30->(2,3,5)->(2,15)(5,6)->S= 17 oder 11

Sei
S=11 und P=18

Satz 1
P hätte dann 2 Möglichkeiten für x,y (2*9)(3*6)
Die aus Sicht von P möglichen Summen wären dann 9 und 11

Satz 2
Die aus Sicht von S möglichen Produkte sind 18,24,28,30
Da jedes dieser Produkte (mind) 3 Primfaktoren hat,
weiss S, dass P mehrere Möglichkeiten für x,y hat, die Lösung also nicht wissen kann.

Satz 3:
P weiss nun, dass S eine Summe hat, mit der er obiges feststellen kann.
Da kommt 9 nicht in Frage, da 9 mit den möglichen Summanden 2,7 für P lösbar wäre.
Damit weiss P nun dass S=11 und x=2,y=9 ist

Satz 4:
Jetzt wirds kompliziert:
Fassen wir noch mal zusammen was S weiss.
1) S=11
2) Die Produkte x*y aller möglichen x,y mit x+y=11 haben mindestens drei Primfaktoren
3) ausgehend von diesen Produkten kann wiederum P unterschiedliche Summen annehmen, von denen nur genau
eine obige Eigenschaft haben darf um dadurch die anderen ausschließen zu können.

Für S =11 kommen 4 P in Frage (siehe oben):
Bei P=18 könnte P in Schritt 3 die Summe 9 ausschließen und wüsste dann S=11
Bei P=24 könnte P in Schritt 3 die Summen 10 und 14 ausschließen und wüsste dann S=11
Bei P=28 könnte P in Schritt 3 die Summe 16 ausschließen und wüsste dann S=11
Bei P=30 könnte P in Schritt 3 die Summe 17 zwar nicht ausschließen, das ist aber auch schon egal,
denn damit weiss S ja nur, dass P nicht 30 ist, aber immer noch nicht ob P nun 18,24,oder 28 ist.

Da für P in Schritt 3 alle drei Kandidaten in Frage kämen um x,y eindeutig zu ermitteln, kennt S das Produkt nicht
und damit kennt er auch x,y nicht.

Wenn ich keinen Denk- oder Rechenfehler drin hab,
gehe ich also davon aus, dass eine der 82 möglichen Summen, hier zu einem eindeutigen Ergebnis führt.

tbc.

Ich seh grad, ich hab bei der Angabe falsch gelesen,
da steht nicht 1<x<y<=100
sondern 1<x<y UND x+y<=100
D.h. es sind nicht ganz so viele mögliche Summen.