Politik im Exil - Politische Diskussionen

giffi marauder hat geschrieben: ↑05.07.2024, 09:46

kad hat geschrieben: ↑04.07.2024, 17:23 Einfach.
In einem Dorf gibt es 24 Wähler, zur Hälfte Reps und zur Hälfte Dems. Alle stimmen treu für die Kandidaten ihrer Partei. Ein Gericht verlangt, dass das Dorf in 8 Wahlbezirke aufgeteilt wird, von denen jeder aus genau drei Wählern bestehen muss. Jeder Bezirk wählt dann einen Vertreter in den Dorfrat. Die Einzelheiten der Zuteilung der 24 Wähler zu den 8 Bezirken werden dem derzeitigen Bürgermeister des Dorfes überlassen.
Ein naiver Beobachter sagt voraus, dass keine der beiden Parteien eine Mehrheit im Dorfrat erlangen kann, da beide Parteien die gleiche Anzahl von Wählern haben.
(a) Erkläret, warum der naive Beobachter falsch liegt.
(b) Macht eine eigene Vorhersage: Welchen Anteil der Sitze wird die Partei des Bürgermeisters erhalten?

Spoiler

Da die Verteilung dem BÜrgermeister überlassen ist, gehe ich davon aus, dass dieser "seine" Wähler kennt.
Vielleicht irre ich in diesem Punkt aber auch.

Unter dieser Voraussetzung also:

Punkt a ist leicht erklärt.
Für die Mehrheit in einem Wahlbezirk benötigt man 2 (und nicht 3) Stimmen.
Eine der beiden Parteien könnte damit also (maximal) 6 Wahlbezirke für sich gewinnen.
Die andere Partei gewinnt dann 2 Bezirke mit je 3 Stimmen und verliert in 6 mit nur je einer Stimme

Punkt b kommt ein bisschen drauf an, was der Bürgermeister will.

Die mögliche Bandbreite für den Bürgermeister ist ein Sieg mit 5 oder 6 Bezirken.
6 von 8 wären 75% und somit auch für Abstimmungen mit erforderlicher 2/3 Mehrheit genug.

Andererseits ist 6 doch ziemlich auffällig, weil in einem kleine Dorf reden die Menschen ja miteinander und wissen ungefähr,
wer mit dem Bürgermeister kann und wern nicht, 6 von 8 bzw. 18 von 24 Wählern, wär da schon ein bisschen übertrieben.
also wird er 5 für sich beanspruchen (5x 2 seiner Wähler, die restlichen 2 je einen in einen der restlichen 3 Bezirke),
das wären dann 62,5% und ausreichend für einfache Mehrheiten.

Ungewöhnlich ist allerdings, dass die Anzahl der Vertreter (Mandatare) eine gerade Zahl ist.
Das könnte darauf hindeuten, dass in Abstimmungen dem Bürgermeister selbst auch noch eine Stimme zufällt.
Entweder generell oder nur bei Stimmengleichheit.

Wär ich der Bürgermeister würde ich mir also 5 Bezirke holen.
Das läßt die Verlierer im Glauben, sie hätten eine Chance gehabt und sind damit eher bereit
sich auch konstruktiv einzubringen als völlig angefressen nur auf Totalopposition zu machen.

Mein Tipp ist also 5

Könnte aber auch sein, dass der Bürgermeister die Nase voll hat von der Politik,
dann läßt er die andere Partei eindeutig mit 6:2 gewinnen und nimmt seinen Hut.

Spoiler

Kennt der Bürgermeister das Stimmverhalten der Wähler nicht, dann wäre das gleich einer zufälligen Verteilung.
Mögliche Wahlausgänge sind 6:2, 5:3, 4:4, 3:5, 2:6 (siehe oben)

Punkt a: "dass keine der beiden Parteien die Mehrheit erlangen kann" ist damit falsch.

Punkt b: instinktiv würde ich vermuten, dass 4:4 die größte Wahrescheinlichkeit hat.
Und da zufällig 3 Gleiche in einem Bezirk weniger wahrscheinlich ist als 2:1,
dürften Bezirke mit 2:1 überwiegen, wegen der Symetrien aber keine Partei bevorzugen.
Also ungefähr so:
RRR
RRD
RRD
RRD
DDR
DDR
DDR
DDD

kad hat geschrieben: ↑05.07.2024, 20:03 Ich habe ein neues, schwieriges Ameisenrätsel à la giffi. Sagt, wenn ihr dafür bereit seid .

kad hat geschrieben: ↑08.07.2024, 11:39 101 Ameisen werden nach dem Zufallsprinzip auf einem ein Meter langen Stab platziert, mit der Ausnahme, dass eine von ihnen, Anna, genau in der Mitte platziert wird. Jede Ameise wird mit Blick in eine zufällige Richtung platziert. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fangen alle Ameisen an, in die Richtung zu krabbeln, in die sie schauen, wobei sie sich immer mit einem Meter pro Minute fortbewegen. Wenn eine Ameise auf eine andere Ameise trifft oder das Ende des Stabes erreicht, dreht sie sich sofort um und läuft in die andere Richtung weiter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich Anna nach 1 Minute wieder genau in der Mitte des Stabes befindet?

giffi marauder hat geschrieben: ↑08.07.2024, 12:25

kad hat geschrieben: ↑08.07.2024, 11:39 101 Ameisen werden nach dem Zufallsprinzip auf einem ein Meter langen Stab platziert…..

Ha, nett.
Musste es zwei mal lesen um rauszufinden, dass sie am Ende des Stabes nicht runterfallen.

Spoiler

Ich skizziere mal kurz meine Gedanken,
kommt aber noch heute leider nicht dazu das fertig zu denken.
a) Anna könnte woanders sein.
Falls das nicht mögich ist, ist die Wahrscheinlichkeit für die Mitte 100%

Nehmen wir an Anna läuft von der Mitte in eine Richtung 0 und alle 100 Ameisen laufen von anderen Ende (1) weg und sind hinter ihr her.
Dann ist sie nach 1/2 Minute bei 0, die Verfolger bei 1/2.
Nach einer weiteren 1/4 Minute treffen sie bei 1/4 aufeinander und Anna läuft wieder zum Ende.
-> Anna kann nicht nur in der Mitte sein.

b) Anna kann überall sein.
Da hab ich jetzt ein Denkproblem.
Vermutlich wäre die Wahrscheinlichkeit über 0 bis 1m irgendwie verteilt und das Integral ist 1.
Nun ist aber die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen exakten Punkt (genau in der Mitte) immer annähnernd 0
und erst als Fläche über ein Intervall sinnvoll, oder?

c) Anna kann gar nicht in der Mitte sein.
ev. läufte es immer darauf hinaus, dass Anna wie bei a) an einem der Enden steht?
tbc...

Ich füge gerne noch an, dass ich die Aufgabe nicht lösen konnte. Die Lösung verstehe ich jedoch ohne Probleme. Also keine höhere Mathematik.

kad hat geschrieben: ↑08.07.2024, 16:53 ...
Ich füge gerne noch an, dass ich die Aufgabe nicht lösen konnte. Die Lösung verstehe ich jedoch ohne Probleme. Also keine höhere Mathematik.

kad hat geschrieben: ↑08.07.2024, 11:39 101 Ameisen werden nach dem Zufallsprinzip auf einem ein Meter langen Stab platziert, mit der Ausnahme, dass eine von ihnen, Anna, genau in der Mitte platziert wird. Jede Ameise wird mit Blick in eine zufällige Richtung platziert. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fangen alle Ameisen an, in die Richtung zu krabbeln, in die sie schauen, wobei sie sich immer mit einem Meter pro Minute fortbewegen. Wenn eine Ameise auf eine andere Ameise trifft oder das Ende des Stabes erreicht, dreht sie sich sofort um und läuft in die andere Richtung weiter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich Anna nach 1 Minute wieder genau in der Mitte des Stabes befindet?

kad hat geschrieben: ↑09.07.2024, 00:02

kad hat geschrieben: ↑08.07.2024, 11:39 101 Ameisen werden nach dem Zufallsprinzip auf einem ein Meter langen Stab platziert, mit der Ausnahme, dass eine von ihnen, Anna, genau in der Mitte platziert wird. Jede Ameise wird mit Blick in eine zufällige Richtung platziert. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fangen alle Ameisen an, in die Richtung zu krabbeln, in die sie schauen, wobei sie sich immer mit einem Meter pro Minute fortbewegen. Wenn eine Ameise auf eine andere Ameise trifft oder das Ende des Stabes erreicht, dreht sie sich sofort um und läuft in die andere Richtung weiter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich Anna nach 1 Minute wieder genau in der Mitte des Stabes befindet?

Kleiner Spoiler

Spoiler

Beim ersten Ameisenrätsel hat giffi vorgeschlagen (um die Lösung verständlicher zu machen), jeder Ameise ein Fähnchen in die Hand zu geben, welches bei einer Kollision mit einer anderen Ameise getauscht wird.
Das ist auch beim jetzigen Rätsel hilfreich

Mittlerer Spoiler

Spoiler

Kleiner Spoiler und: wo befindet sich das Fähnchen von Anna nach 1 Minute.

Grosser Spoiler

Spoiler

Spoiler 2 und: was ist die Bedingung, dass Anna nach einer Minute wieder ihr Fähnchen in der Hand hält.

Spoiler

Also irgendwas übersehe ich hier.
Das Fähnchen von Anna läuft von der Mitte bis zum Ende und dann wieder in die Mitte.
Soweit so klar.
Aber das gilt ja nicht für Anna, oder?

Anna läuft von der Mitte (1/2) in Richtung eines Endes (1)
Von diesem Ende läuft die gesamte Meute von 100 Ameisen auf Anna zu.
Bei 3/4 treffen sie aufeinander.
Anna übergibt ihr Fähnchen an Franz und dreht um.
Franz dreht auch um, stößt an Fritz, übergibt ihm das Fähnschen von Anna und dreht sich wieder um.
Etc...
Paul hat als letzer in der Meute schließlich das Fähnchen von Anna, dreht sich um und läuft als einziger wieder in Richtung 1.
Anna und die Meute hinter ihr laufen die restlichen 3/4 m nach 0.
Die Zeit ist um.

Paul läuft von 3/4 nach 1 und dann zurück nach 1/2.
Somit ist Anna bei 0 und ihr Fähnchen bei 1/2.

giffi marauder hat geschrieben: ↑09.07.2024, 09:05

kad hat geschrieben: ↑09.07.2024, 00:02

kad hat geschrieben: ↑08.07.2024, 11:39 101 Ameisen werden nach dem Zufallsprinzip auf einem ein Meter langen Stab platziert, mit der Ausnahme, dass eine von ihnen, Anna, genau in der Mitte platziert wird. Jede Ameise wird mit Blick in eine zufällige Richtung platziert. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fangen alle Ameisen an, in die Richtung zu krabbeln, in die sie schauen, wobei sie sich immer mit einem Meter pro Minute fortbewegen. Wenn eine Ameise auf eine andere Ameise trifft oder das Ende des Stabes erreicht, dreht sie sich sofort um und läuft in die andere Richtung weiter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich Anna nach 1 Minute wieder genau in der Mitte des Stabes befindet?

Kleiner Spoiler

Spoiler

Beim ersten Ameisenrätsel hat giffi vorgeschlagen (um die Lösung verständlicher zu machen), jeder Ameise ein Fähnchen in die Hand zu geben, welches bei einer Kollision mit einer anderen Ameise getauscht wird.
Das ist auch beim jetzigen Rätsel hilfreich

Mittlerer Spoiler

Spoiler

Kleiner Spoiler und: wo befindet sich das Fähnchen von Anna nach 1 Minute.

Grosser Spoiler

Spoiler

Spoiler 2 und: was ist die Bedingung, dass Anna nach einer Minute wieder ihr Fähnchen in der Hand hält.

Spoiler

Also irgendwas übersehe ich hier.
Das Fähnchen von Anna läuft von der Mitte bis zum Ende und dann wieder in die Mitte.
Soweit so klar.
Aber das gilt ja nicht für Anna, oder?

Anna läuft von der Mitte (1/2) in Richtung eines Endes (1)
Von diesem Ende läuft die gesamte Meute von 100 Ameisen auf Anna zu.
Bei 3/4 treffen sie aufeinander.
Anna übergibt ihr Fähnchen an Franz und dreht um.
Franz dreht auch um, stößt an Fritz, übergibt ihm das Fähnschen von Anna und dreht sich wieder um.
Etc...
Paul hat als letzer in der Meute schließlich das Fähnchen von Anna, dreht sich um und läuft als einziger wieder in Richtung 1.
Anna und die Meute hinter ihr laufen die restlichen 3/4 m nach 0.
Die Zeit ist um.

Paul läuft von 3/4 nach 1 und dann zurück nach 1/2.
Somit ist Anna bei 0 und ihr Fähnchen bei 1/2.

Grosser Spoiler 2

Spoiler

Aber das gilt ja nicht für Anna, oder?
Genau. I.A. gilt das nicht. Aber wann gilt es?
Vielleicht hilft es anzunehmen, Anna sei (am Anfang) die k-te Ameise von links. Wie verändert sich das nach einer Minute?
Und wo befinden sich die Fähnchen der k-1 Ameisen, welche links von Anna waren nach einer Minute?

kad hat geschrieben: ↑08.07.2024, 11:39 101 Ameisen werden nach dem Zufallsprinzip auf einem ein Meter langen Stab platziert, mit der Ausnahme, dass eine von ihnen, Anna, genau in der Mitte platziert wird. Jede Ameise wird mit Blick in eine zufällige Richtung platziert. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fangen alle Ameisen an, in die Richtung zu krabbeln, in die sie schauen, wobei sie sich immer mit einem Meter pro Minute fortbewegen. Wenn eine Ameise auf eine andere Ameise trifft oder das Ende des Stabes erreicht, dreht sie sich sofort um und läuft in die andere Richtung weiter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich Anna nach 1 Minute wieder genau in der Mitte des Stabes befindet?

kad hat geschrieben: ↑10.07.2024, 08:53

kad hat geschrieben: ↑08.07.2024, 11:39 101 Ameisen werden nach dem Zufallsprinzip auf einem ein Meter langen Stab platziert, mit der Ausnahme, dass eine von ihnen, Anna, genau in der Mitte platziert wird. Jede Ameise wird mit Blick in eine zufällige Richtung platziert. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fangen alle Ameisen an, in die Richtung zu krabbeln, in die sie schauen, wobei sie sich immer mit einem Meter pro Minute fortbewegen. Wenn eine Ameise auf eine andere Ameise trifft oder das Ende des Stabes erreicht, dreht sie sich sofort um und läuft in die andere Richtung weiter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich Anna nach 1 Minute wieder genau in der Mitte des Stabes befindet?

Lösung

Spoiler

Beim ersten Ameisenrätsel hatte giffi vorgeschlagen (um die Lösung verständlicher zu machen), jeder Ameise ein Fähnchen in die Hand zu geben, welches bei einer Kollision mit einer anderen Ameise getauscht wird. Das übernehmen wir. Und: Wenn eine Ameise ein Ende des Stabes erreicht kehrt sie (und das Fähnchen) um. Genau eine Minute nach dem Start ist jedes Fähnchen von dem Ende des Stocks, auf das er ursprünglich gerichtet war, umgedreht und hat genau den Punkt erreicht, der der Spiegelung seines Startpunkts an der Mitte des Stabes entspricht. Insbesondere Annas ursprüngliches Fähnchen, das in der Mitte des Stocks gestartet war, befindet sich jetzt wieder in der Mitte, mit einer Ameise. Aber ist das die Ameise Anna?
Die Reihenfolge der Ameisen bleibt während der gesamten aktionsreichen Minute unverändert. Wenn Anna also anfangs die k-te Ameise von links war, ist sie auch eine Minute später noch die k-te Ameise von links. Anfangs gab es k - 1 Fähnchen links von Annas Fähnchen; eine Minute später sind diese Fähnchen alle um die Mitte gespiegelt worden, so dass es jetzt genau k - 1 Fähnchen rechts von Annas ursprünglichem Fähnchen gibt. Anna kann also am Ende nur dann ihr ursprüngliches Fähnchen haben, wenn sich anfangs genau 50 Ameisen auf jeder Seite von ihr befanden. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies geschieht, ist genau
2^-100 * (100 50).
Bei (100 50) sollte 50 unterhalb 100 stehen (Kombinationen ohne Wiederholungen).

Das ist (mit Stirlingformel) etwa 0,0798, also fast 8 Prozent

Spoiler

Next please.