Politik im Exil - Politische Diskussionen

Eisrose hat geschrieben: ↑04.07.2024, 03:11 Ups, da ist ja noch jemand wach, lach. Da hab ich das wohl vorschnell gelöscht. Ich war damit nicht zufrieden. Aber da Du geantwortet hast, stell ichs wieder rein. Diesen Beitrag muss man sich zeitlich vor Rebeccas letztem Beitrag denken:

Spoiler

Ich denke, das ist erstmal trivial:
a+b < a+b+x

Dann ist das aber auch trivial:
a+b+c+d+e < a+b+c+d+e+x

Aber dann ist auch das trivial:
(a+b+c+d+e)/y < (a+b+c+d+e+x)/y

Und dann kommen wir zur Aufgabe. Die kleinen Buchstaben sind die Anzahl der Fälle, die grossen Buchstaben die Durchschnittsmietzinsen pro Region. Und das x ist ein beliebiger Wert, um die ein einziger Durchschnittswert steigt. Im Prinzip steht hier nichts anderes als oben drüber bei den trivialen Aussagen, insofern ist das eigentlich auch trivial:

(a*A + b*B + c*C + d*D + e*E) / (a+b+c+d+e) < (a*(A+x) + b*B + c*C + d*D + e*E) / (a+b+c+d+e)

Solange sich also die Anzahl der Fälle, auf denen die Durchschnittswerte (Mietzins) beruhen, nicht ändert, genügt es sogar, wenn sich ein einziger Durchschnittswert erhöht. Das alle fünf sich erhöhen, ist gar nicht notwendig, damit die Aussage wahr ist.

Nur ist das noch nicht die Lösung.

Wer sagt denn, dass sich die Anzahl der Fälle, auf denen die durchschnittlichen Mietzinsen beruhen, sich nicht geändert haben und dann haben wir den Salat:

(a*A + b*B + c*C + d*D + e*E) / (a+b+c+d+e) ? ((a/2)*(A+x) + b*B + c*C + d*D + e*E) / (a/2+b+c+d+e)

Um den Beweis zu erbringen, dass die Aussage nicht stimmt, muss schlicht ein einziger Fall genannt werden, in dem die Aussage nicht stimmt.

Also: Für abcd nehmen wir je 10 Fälle, für ABCD nehmen wir je 100 Euro Mietzins. Macht 40 Fälle die zusammen 4000 Euro Mietzins zahlen. Für e setzen wir 100 Fälle, die durchschnittlich 300 Euro Mietzins zahlen, was die Variable E ist. Macht zusammen 140 Fälle, die 34000 Euro Mietzins zahlen. Das wären durchschnittlich und gerundet 243 Euro Mietzins über alle Gebiete.

Für das nächste Jahr setzen wir dann für abcd wieder 10 Fälle, für ABCD nehmen wir 101 Euro Mietzins, damit der gestiegen ist. Die Variable e halbieren wir aber auf 50 Fälle, die durchschnittlich 301 Euro Mietzins zahlen. Macht zusammen 90 Fälle, die 19090 Euro Mietzins zahlen. Das wären durchschnittlich und gerundet 212 Euro Mietzins über alle Gebiete. Also weniger als im Jahr zuvor. Beweis erbracht.

Mittelwerte kann man nur gewichtet addieren.

P.S. Man kanns bestimmt aber auch per Formel zeigen, dann hat giffi aber nichts mehr zu tun, lach.

Eisrose hat geschrieben: ↑04.07.2024, 03:45

Rebecca hat geschrieben: ↑04.07.2024, 03:07 Es geht ja nicht um die Summe der tatsächlich gezahlten Mieten sondern die Summen von deren Durchschnitt.

Durchschnittswerte kann man nur gewichtet addieren. Wenn A und B die Durchschnittswerte sind, kann man nicht einfach A+B rechnen, sondern muss gewichten:

(10*A + 20*B) / (10+20)

Und bei unbekannter Fallzahl und fünf Gebieten eben:

(a*A + b*B + c*C + d*D + e*E) / (a+b+c+d+e)

Aber können wir dann in der Aufgabe wirklich davon ausgehen, dass die Anzahl der Fälle, auf denen die Durchschnittswerte beruhen, in beiden Jahren gleich sind? Ich denke nein.

kad hat geschrieben: ↑03.07.2024, 22:39 Ich habe mir die Mietzinsentwicklung in 5 Gemeinden in der Agglomeration Zürich angeschaut für 2021 und 2022. In jeder der 5 Gemeinden ist der durchschnittliche Mietzins im 2022 höher als im 2021. Beweise oder widerlege: Der durchschnittliche Mietzins in diesen fünf Gemeinden zusammengenommen war im 2022 höher als im 2021.

Spoiler

Seien
d1,d2,d3,d4,d5 die Durchschnitte aus 2021
D1,D2,D3,D4,D5 die Durchschnitte aus 2022
D1>d1, D2>d2 ...

Die Summe der Durschnitte aus 2021 = d1+d2+d3+d4+d5
Die Summe der Durschnitte aus 2022 = D1+D2+D3+D4+D5

Da die Summ der Di>der Summer der di ist,
ist es auch der Durchschnitt dieser Zahlen.

Die "naheliegende Vermutung" sozusagen.

Aber wir wollen ja nicht den durchschnittlichen Durchschnitt vergleichen wollen,
sondern den Durchschnitt über alle Gemeinden zusammengenommen.

Dazu fehlt uns aber die Gewichtung spricht Anzahl der in jeder Gemeinde erhobenen Mietzinse.

Die Summe der Mieten aus 2021 = S21= d1*a1+d2*a2+d3*a3+d4*a4+d5*a5
Anzahl der Mieten 2021=A21=a1+a2+a3+a4+a5
Durchschnitt der Mieten aus 2021 = D21=S21/A21
Die Summe der Mieten aus 2022 = S22=D1*A1+D2*A2+D3*A3+D4*A4+D5*A5
Anzahl der Mieten 2021=A22=A1+A2+A3+A4+A5
Durchschnitt der Mieten aus 2022 = D22= S22/A22

Würde oben die naheligende Vermutung für 5 Gemeinden immer stimmen,
dann natürlich auf für nur 2 Gemeinden.

Jetzt gilt es ein Beispiel zu kontruieren, bei dem bei Annahme von 2 Gemeinden D22<=D21 ist.
Dann sind wir auch schon fertig.

Dazu maximieren wir einfach mal den Fehler.
Gemeinde 1 2021: 1000 Mietobjekete mit DS-Miete 500€ = 500.000€ Mietsumme
Gemeinde 2 2021: 1 Mietobjekt mit DS-Miete 5000€ = 5.000€ Mietsumme
Zusammen 1001 Objekte mit 505.000 Mietsumme und 505€ DS-Miete

Jetzt erhöhen wir die Mieten und die (billigen) Mietobjekte
Gemeinde 1 2022: 2000 Mietobjekete mit DS-Miete 501€ = 1.002.000€ Mietsumme
Gemeinde 2 2022: 1 Mietobjekt mit DS-Miete 5001€ = 5.001€ Mietsumme
Zusammen 2001 Objekte mit 1.007.001 Mietsumme und 503,25€ DS-Miete

Damit sind die Durchschnitte auf Gemeindeebene 2022 höher,
der gesamte Durchschnitt 2022 kleiner als 2021

Die Annahme von oben gilt im Allgemeinen also nicht (weder für 2,3,4,5 oder mehr Gemeinden)
Was aber durch hinzufügen von weiteren Gemeinden mit wenig relevanteer Anzahl und Wert und oder durch Einbau weiterer Fehler
nicht so schwierig zu zeigen wäre.

kad hat geschrieben: ↑04.07.2024, 08:35

Spoiler

Ich habe nichts zu bemängeln. Super.
Simpson’sches Paradoxon nennt sich dieses kontraintuitive Verhalten.

Spoiler

Also ich hatte ja einiges zu bemängeln, lach. Kann aber auch an der Uhrzeit gelegen haben.
Und danke für das Lob

giffi marauder hat geschrieben: ↑04.07.2024, 10:38

kad hat geschrieben: ↑03.07.2024, 22:39 Ich habe mir die Mietzinsentwicklung in 5 Gemeinden in der Agglomeration Zürich angeschaut für 2021 und 2022. In jeder der 5 Gemeinden ist der durchschnittliche Mietzins im 2022 höher als im 2021. Beweise oder widerlege: Der durchschnittliche Mietzins in diesen fünf Gemeinden zusammengenommen war im 2022 höher als im 2021.

Nun ja, man könnte beweisen, dass dies im Allgemeinen immer der Fall ist, dann natürlich auch für diese speziellen Daten,
oder zeigen, dass das nicht immer der Fall sein muss.
Damit hat man aber lediglich den allgemeinen Fall widerlegt,
dass diese Aussage für die Jahre 2021,2021 in der Agglomeration Zürich nicht doch stimmt, hingegen nicht.
Das könnte man nur anhand der Daten feststellen, die haben wir aber nicht.

Spoiler

Seien
d1,d2,d3,d4,d5 die Durchschnitte aus 2021
D1,D2,D3,D4,D5 die Durchschnitte aus 2022
D1>d1, D2>d2 ...

Die Summe der Durschnitte aus 2021 = d1+d2+d3+d4+d5
Die Summe der Durschnitte aus 2022 = D1+D2+D3+D4+D5

Da die Summ der Di>der Summer der di ist,
ist es auch der Durchschnitt dieser Zahlen.

Die "naheliegende Vermutung" sozusagen.

Aber wir wollen ja nicht den durchschnittlichen Durchschnitt vergleichen wollen,
sondern den Durchschnitt über alle Gemeinden zusammengenommen.

Dazu fehlt uns aber die Gewichtung spricht Anzahl der in jeder Gemeinde erhobenen Mietzinse.

Die Summe der Mieten aus 2021 = S21= d1*a1+d2*a2+d3*a3+d4*a4+d5*a5
Anzahl der Mieten 2021=A21=a1+a2+a3+a4+a5
Durchschnitt der Mieten aus 2021 = D21=S21/A21
Die Summe der Mieten aus 2022 = S22=D1*A1+D2*A2+D3*A3+D4*A4+D5*A5
Anzahl der Mieten 2021=A22=A1+A2+A3+A4+A5
Durchschnitt der Mieten aus 2022 = D22= S22/A22

Würde oben die naheligende Vermutung für 5 Gemeinden immer stimmen,
dann natürlich auf für nur 2 Gemeinden.

Jetzt gilt es ein Beispiel zu kontruieren, bei dem bei Annahme von 2 Gemeinden D22<=D21 ist.
Dann sind wir auch schon fertig.

kad hat geschrieben: ↑04.07.2024, 11:12

giffi marauder hat geschrieben: ↑04.07.2024, 10:38

kad hat geschrieben: ↑03.07.2024, 22:39 Ich habe mir die Mietzinsentwicklung in 5 Gemeinden in der Agglomeration Zürich angeschaut für 2021 und 2022. In jeder der 5 Gemeinden ist der durchschnittliche Mietzins im 2022 höher als im 2021. Beweise oder widerlege: Der durchschnittliche Mietzins in diesen fünf Gemeinden zusammengenommen war im 2022 höher als im 2021.

Nun ja, man könnte beweisen, dass dies im Allgemeinen immer der Fall ist, dann natürlich auch für diese speziellen Daten,
oder zeigen, dass das nicht immer der Fall sein muss.
Damit hat man aber lediglich den allgemeinen Fall widerlegt,
dass diese Aussage für die Jahre 2021,2021 in der Agglomeration Zürich nicht doch stimmt, hingegen nicht.
Das könnte man nur anhand der Daten feststellen, die haben wir aber nicht.

Spoiler

Seien
d1,d2,d3,d4,d5 die Durchschnitte aus 2021
D1,D2,D3,D4,D5 die Durchschnitte aus 2022
D1>d1, D2>d2 ...

Die Summe der Durschnitte aus 2021 = d1+d2+d3+d4+d5
Die Summe der Durschnitte aus 2022 = D1+D2+D3+D4+D5

Da die Summ der Di>der Summer der di ist,
ist es auch der Durchschnitt dieser Zahlen.

Die "naheliegende Vermutung" sozusagen.

Aber wir wollen ja nicht den durchschnittlichen Durchschnitt vergleichen wollen,
sondern den Durchschnitt über alle Gemeinden zusammengenommen.

Dazu fehlt uns aber die Gewichtung spricht Anzahl der in jeder Gemeinde erhobenen Mietzinse.

Die Summe der Mieten aus 2021 = S21= d1*a1+d2*a2+d3*a3+d4*a4+d5*a5
Anzahl der Mieten 2021=A21=a1+a2+a3+a4+a5
Durchschnitt der Mieten aus 2021 = D21=S21/A21
Die Summe der Mieten aus 2022 = S22=D1*A1+D2*A2+D3*A3+D4*A4+D5*A5
Anzahl der Mieten 2021=A22=A1+A2+A3+A4+A5
Durchschnitt der Mieten aus 2022 = D22= S22/A22

Würde oben die naheligende Vermutung für 5 Gemeinden immer stimmen,
dann natürlich auf für nur 2 Gemeinden.

Jetzt gilt es ein Beispiel zu kontruieren, bei dem bei Annahme von 2 Gemeinden D22<=D21 ist.
Dann sind wir auch schon fertig.

Uups, da hast du den Schwachpunkt meiner Aufgabenstellung schön herausgearbeitet.

giffi marauder hat geschrieben: ↑04.07.2024, 11:24

kad hat geschrieben: ↑04.07.2024, 11:12

giffi marauder hat geschrieben: ↑04.07.2024, 10:38

kad hat geschrieben: ↑03.07.2024, 22:39 Ich habe mir die Mietzinsentwicklung in 5 Gemeinden in der Agglomeration Zürich angeschaut für 2021 und 2022. In jeder der 5 Gemeinden ist der durchschnittliche Mietzins im 2022 höher als im 2021. Beweise oder widerlege: Der durchschnittliche Mietzins in diesen fünf Gemeinden zusammengenommen war im 2022 höher als im 2021.

Nun ja, man könnte beweisen, dass dies im Allgemeinen immer der Fall ist, dann natürlich auch für diese speziellen Daten,
oder zeigen, dass das nicht immer der Fall sein muss.
Damit hat man aber lediglich den allgemeinen Fall widerlegt,
dass diese Aussage für die Jahre 2021,2021 in der Agglomeration Zürich nicht doch stimmt, hingegen nicht.
Das könnte man nur anhand der Daten feststellen, die haben wir aber nicht.

Spoiler

Seien
d1,d2,d3,d4,d5 die Durchschnitte aus 2021
D1,D2,D3,D4,D5 die Durchschnitte aus 2022
D1>d1, D2>d2 ...

Die Summe der Durschnitte aus 2021 = d1+d2+d3+d4+d5
Die Summe der Durschnitte aus 2022 = D1+D2+D3+D4+D5

Da die Summ der Di>der Summer der di ist,
ist es auch der Durchschnitt dieser Zahlen.

Die "naheliegende Vermutung" sozusagen.

Aber wir wollen ja nicht den durchschnittlichen Durchschnitt vergleichen wollen,
sondern den Durchschnitt über alle Gemeinden zusammengenommen.

Dazu fehlt uns aber die Gewichtung spricht Anzahl der in jeder Gemeinde erhobenen Mietzinse.

Die Summe der Mieten aus 2021 = S21= d1*a1+d2*a2+d3*a3+d4*a4+d5*a5
Anzahl der Mieten 2021=A21=a1+a2+a3+a4+a5
Durchschnitt der Mieten aus 2021 = D21=S21/A21
Die Summe der Mieten aus 2022 = S22=D1*A1+D2*A2+D3*A3+D4*A4+D5*A5
Anzahl der Mieten 2021=A22=A1+A2+A3+A4+A5
Durchschnitt der Mieten aus 2022 = D22= S22/A22

Würde oben die naheligende Vermutung für 5 Gemeinden immer stimmen,
dann natürlich auf für nur 2 Gemeinden.

Jetzt gilt es ein Beispiel zu kontruieren, bei dem bei Annahme von 2 Gemeinden D22<=D21 ist.
Dann sind wir auch schon fertig.

Uups, da hast du den Schwachpunkt meiner Aufgabenstellung schön herausgearbeitet.

Tja, nachdem das Rätsel ja schon so gut wie gelöst war,
blieb mir nicht anderes, als noch ein wenig am Knochen zu nagen.

Spoiler

Das Beispiel, dass es nicht immer gilt findet sich im bearbeitet Beitrag oben.

kad hat geschrieben: ↑04.07.2024, 17:23 Einfach.
In einem Dorf gibt es 24 Wähler, zur Hälfte Reps und zur Hälfte Dems. Alle stimmen treu für die Kandidaten ihrer Partei. Ein Gericht verlangt, dass das Dorf in 8 Wahlbezirke aufgeteilt wird, von denen jeder aus genau drei Wählern bestehen muss. Jeder Bezirk wählt dann einen Vertreter in den Dorfrat. Die Einzelheiten der Zuteilung der 24 Wähler zu den 8 Bezirken werden dem derzeitigen Bürgermeister des Dorfes überlassen.
Ein naiver Beobachter sagt voraus, dass keine der beiden Parteien eine Mehrheit im Dorfrat erlangen kann, da beide Parteien die gleiche Anzahl von Wählern haben.
(a) Erkläret, warum der naive Beobachter falsch liegt.
(b) Macht eine eigene Vorhersage: Welchen Anteil der Sitze wird die Partei des Bürgermeisters erhalten?

Spoiler

Da die Verteilung dem BÜrgermeister überlassen ist, gehe ich davon aus, dass dieser "seine" Wähler kennt.
Vielleicht irre ich in diesem Punkt aber auch.

Unter dieser Voraussetzung also:

Punkt a ist leicht erklärt.
Für die Mehrheit in einem Wahlbezirk benötigt man 2 (und nicht 3) Stimmen.
Eine der beiden Parteien könnte damit also (maximal) 6 Wahlbezirke für sich gewinnen.
Die andere Partei gewinnt dann 2 Bezirke mit je 3 Stimmen und verliert in 6 mit nur je einer Stimme

Punkt b kommt ein bisschen drauf an, was der Bürgermeister will.

Die mögliche Bandbreite für den Bürgermeister ist ein Sieg mit 5 oder 6 Bezirken.
6 von 8 wären 75% und somit auch für Abstimmungen mit erforderlicher 2/3 Mehrheit genug.

Andererseits ist 6 doch ziemlich auffällig, weil in einem kleine Dorf reden die Menschen ja miteinander und wissen ungefähr,
wer mit dem Bürgermeister kann und wern nicht, 6 von 8 bzw. 18 von 24 Wählern, wär da schon ein bisschen übertrieben.
also wird er 5 für sich beanspruchen (5x 2 seiner Wähler, die restlichen 2 je einen in einen der restlichen 3 Bezirke),
das wären dann 62,5% und ausreichend für einfache Mehrheiten.

Ungewöhnlich ist allerdings, dass die Anzahl der Vertreter (Mandatare) eine gerade Zahl ist.
Das könnte darauf hindeuten, dass in Abstimmungen dem Bürgermeister selbst auch noch eine Stimme zufällt.
Entweder generell oder nur bei Stimmengleichheit.

Wär ich der Bürgermeister würde ich mir also 5 Bezirke holen.
Das läßt die Verlierer im Glauben, sie hätten eine Chance gehabt und sind damit eher bereit
sich auch konstruktiv einzubringen als völlig angefressen nur auf Totalopposition zu machen.

Mein Tipp ist also 5

Könnte aber auch sein, dass der Bürgermeister die Nase voll hat von der Politik,
dann läßt er die andere Partei eindeutig mit 6:2 gewinnen und nimmt seinen Hut.

giffi marauder hat geschrieben: ↑05.07.2024, 09:46

Spoiler

Die mögliche Bandbreite für den Bürgermeister ist ein Sieg mit 5 oder 6 Bezirken.
6 von 8 wären 75% und somit auch für Abstimmungen mit erforderlicher 2/3 Mehrheit genug.

Andererseits ist 6 doch ziemlich auffällig, weil in einem kleine Dorf reden die Menschen ja miteinander und wissen ungefähr,
wer mit dem Bürgermeister kann und wern nicht, 6 von 8 bzw. 18 von 24 Wählern, wär da schon ein bisschen übertrieben.

giffi marauder hat geschrieben: ↑05.07.2024, 14:34 Mal für Zwischendurch:
https://www.spektrum.de/raetsel/wie-gro ... rt/2212484

Bitte nicht Spoilern, ich habs selbst noch nicht probiert.

Spoiler

Wir rutschen jetzt einfach mal alle Zahlen nach links.
Damit haben wir ein hübsches Dreieck.
So ein Dreieck besteht aus N Zahlen
Die letzte Zahl unten rechts ist naheliegenderweise immer 2*N
Wenn wir jetzt wüßten wieviel Zahlen das inkl. Zeile 50 wären,
würden wir die größte Zahl kennen.
Die Zahl links davon ist dann um 2 kleiner ... bis ganz nach links.
...
Der Einfachheit halber halbieren wir nun alle Zahlen und verdoppeln dann einfach das Ergebnis.
Die Anzahl der Zahlen im Zahlendreieck ist bekanntlich n*(n+1)/2
als 3 bei 2 Zeilen, 6 bei 3 Zeilen etc..
Bei 50 Zeilen sinds dann 50*51=2.550 Zahlen und
damit stehen in der letzten Zeilen die 50 Zahlen 2501 bis 2550
Die müssen wir jetzt zusammenzählen.
Das machen wir listigerweise paarweise 2501+2550, 2502+2549 ....
das wären dann 25 Zahlenpaare mit Paarsumme 5051
das macht insgesamt 126.275
Das mal 2 mach 252.550
Fertig.

Bin gespannt, ob das stimmt.
Tada:


Ich muss jetzt leider weg.
Schönes Wochenende.

giffi marauder hat geschrieben: ↑05.07.2024, 14:34 Mal für Zwischendurch:
https://www.spektrum.de/raetsel/wie-gro ... rt/2212484

Bitte nicht Spoilern, ich habs selbst noch nicht probiert.

giffi marauder hat geschrieben: ↑05.07.2024, 14:47

giffi marauder hat geschrieben: ↑05.07.2024, 14:34 Mal für Zwischendurch:
https://www.spektrum.de/raetsel/wie-gro ... rt/2212484

Bitte nicht Spoilern, ich habs selbst noch nicht probiert.

Ok, doch gar nicht so schwer:

Spoiler

Wir rutschen jetzt einfach mal alle Zahlen nach links.
Damit haben wir ein hübsches Dreieck.
So ein Dreieck besteht aus N Zahlen
Die letzte Zahl unten rechts ist naheliegenderweise immer 2*N
Wenn wir jetzt wüßten wieviel Zahlen das inkl. Zeile 50 wären,
würden wir die größte Zahl kennen.
Die Zahl links davon ist dann um 2 kleiner ... bis ganz nach links.
...
Der Einfachheit halber halbieren wir nun alle Zahlen und verdoppeln dann einfach das Ergebnis.
Die Anzahl der Zahlen im Zahlendreieck ist bekanntlich n*(n+1)/2
als 3 bei 2 Zeilen, 6 bei 3 Zeilen etc..
Bei 50 Zeilen sinds dann 50*51=2.550 Zahlen und
damit stehen in der letzten Zeilen die 50 Zahlen 2501 bis 2550
Die müssen wir jetzt zusammenzählen.
Das machen wir listigerweise paarweise 2501+2550, 2502+2549 ....
das wären dann 25 Zahlenpaare mit Paarsumme 5051
das macht insgesamt 126.275
Das mal 2 mach 252.550
Fertig.

Bin gespannt, ob das stimmt.
Tada:


Ich muss jetzt leider weg.
Schönes Wochenende.