Disclaimer:
Da wir weder wissen wieviel Sprit der LKW in Liter laden kann, noch wieviel er dafür pro km selbst benötigt,
nehmen wir einfach mal 1L pro km an, und setzen damit L=km,
denn die Spritmenge in Reichweite anzugeben, verwirrt mir ein bisschen die Sinne.
Eine Lösung mit 4 ganzen Ladungen = 2000L ist schnell gefunden.
Wir bringen 4 x 500 Liter zum Kilometerstein 150.
Dafür müssen wir 3x hin und zurück, wobei wir 3x200 Liter dort entladen können
und noch einmal nur hin, womit bei Kilometerstein dann 600+350=950 Liter zur Verfügung stehen.
Die bringen wir nun in 2 Fahrten zu Kilometerstein 300.
Einmal hin rund retour mit 500 L macht dort 200 und einmal nur hin mit den restlichen 450 noch sätzliche 300.
Womit bei Kilometerstein 300 200+300=500 Liter zur Verfügugn stehen,
die dann ja reichen um die restlichen 500 km zurückzulegen.
Es geht aber auch mit weniger.
Dazu zäumen wir das Pferd von hinten auf und kommen zur Frage,
wie bekommen wir 500L optimal zu Kilometerstein 300?
Mit einer Fuhre geht das nicht, also brauchen wir mind. 2.
Dafür sind drei Fahrten nötig (hin, retour, hin).
Doch wo sollen wir starten?
Nur ein kurzes Stück zu fahren um viel Sprit abladen zu können ist genauso schlecht,
wie möglichst weit zu fahren um dort nur noch eine kleine Menge abladen zu können.
Wir haben hier offensichtlich ein Optimierungsproblem mit zwei schlechten Optionen
an den Rändern und einem Optimum in der Mitte.
Da wir bei zwei Transporten 1000 l befördern können, dafür aber dreimal die Wegstrecke
fahren müssen, nutzen wir dieses Funktion:
x=Wegstrecke
(1000-3x)*x=1000x-3x²
Die Ableitung davon ist dann 1000=6x und x =166,66
Wir starten also optimalerweise bei Kilometerstein 133,33.
1. Fahrt hin und retour 500- 2x166,66=166,66
2. Fahrt nur hin 500-166,66=333,33
Damit hätten wir die 500 l bei km 300.
Nun müssen wir die 1000l noch nach km 133,33 bringen.
Dafür sind nun 4 Fahrten notwendig.
3x hin und retour, einmal nur hin
Das Optimum hierfür wären (2000-7x)*x-> 2000/14= 142,86
Die benötigen wir aber gar nicht.
Da die beiden Streckenabschnitte nicht gleich lang sind,
ist es besser, die länger Strecke mit wengier Fahrten zu machen
und jene mit mehr Fahrten möglichst kurz zu halten.
1-3. Fahrt 500-266,66=233,33*3=700
4. Fahrt 433,33-133,33=300
Damit benötigen wir 1933,33 l Sprit am Anfang der Strecke,
was 3,866 ganzen Ladungen entspricht.
Zusatzfrage:
Die optimale Etappenlänge für eine beliebige Etappe mit n*500l am Etappenbeginn ist
(n*500-(2n-1)x)*x
mit dem Differential
n*500-2x(2n-1)
-> x= n*250/(2n-1)
mit Konvergenz von x nach 125 km.
Damit verbrauchen wir selbst bei großen n maximal die Hälfte des Sprits für den Transport je Etappe.
Mit jeweils einer Verdoppelung des Vorrates am Anfang, kann man beliebig viele Etappen aneinanderreihen,
die nie kürzer als 125 km werden.