Rechenaufgaben

[Laurin]

Wenn sowas schon chinesische Grundschüler können, dann aber holla.

[giffi marauder]

Ich packs mal hier hin.
Da in AT letzten mal wieder Mathe-Matura angesagt war,
wimmelt es wieder von Artikeln zum Thema.
Hier ein Beispiel:
https://kurier.at/politik/inland/fuer-d ... /401996745

Lebensnahe Beispiele waren auch in dieser Mathe-Matura nicht zu finden – das wird sich, zumindest für den Unterricht, erst ab 2023 ändern: Finanzwissen für den Alltag soll ab dann verankert werden

Kurios dabei finde ich, dass man für das Beispiel "Was wichtig wäre" fast einen Taschenrechner braucht,
weil die möglichen Antworten ziemlich nahe beieinanderliegen, das zweite Beispiel "Was verzichtbar wäre"
aber problemlos im Kopf berechnet werden kann.

Davon abgesehen, dass Beispiel 1 eher unter "Rechnen" zu verorten und somit Grundschulstoff ist
und mit Mathematik auf Oberstufenniveau nicht viel zu tun hat, ist die Fragestellung imho auch wenig "alltagstauglich",
denn üblicherweise gibt man Zinsen pro Zeiteinheit (Jahr oder Monat) an und nicht als Gesamtwert über die
gesamte Laufzeit.
Niemand würde sagen, dass er für einen 25-jährigen Hausbaukredit mit jährlicher Verzinsung von 8% insgesamt 128% Zinsen zahlt.

[Eisrose]

Mal wieder was zum Knobeln:

Du hast 100 kg Kartoffeln mit einem Wasseranteil von 99 Prozent. Mit der Zeit trocknen die Kartoffeln aus und haben nur noch einen Wasseranteil von 98 Prozent. Wie viel Kilogramm wiegen die ausgetrockneten Kartoffeln?


Aber nicht gleich in den Spoiler gucken sondern wenigsten kurz drüber nachdenken!

Spoiler

Die Kartoffeln wiegen nur noch 50 kg!

Zunächst bestehen die Kartoffeln aus 99 kg Wasser und 1 kg Trockenmasse. Nach dem Austrocknen bestehen die Kartoffeln jedoch immer noch aus 1 kg Trockenmasse, denn die Trockenmasse nimmt ja nicht ab. Die 1 kg Trockenmasse machen jetzt also 2 Prozent des Gewichts aus. Der Rest ist Dreisatz.

Siehe Kartoffelparadoxon!

[giffi marauder]

Mal wieder was zum Knobeln:

Du hast 100 kg Kartoffeln mit einem Wasseranteil von 99 Prozent. Mit der Zeit trocknen die Kartoffeln aus und haben nur noch einen Wasseranteil von 98 Prozent. Wie viel Kilogramm wiegen die ausgetrockneten Kartoffeln?

Na ja, die (komplett) ausgetrockneten Kartoffel wiegen natürlich 1kg.
Aber das war wohl nicht gemeint.

Dröseln wir mal auf:

Spoiler

Wasseranteil 99%-> 1kg Trockenmasse + 99 kg Wasser =100kg
Wasseranteil 98%-> 2kg Trockenmasse + 98 kg Wasser =100kg
Das wären jetzt aber doppelt soviel Trockenmasse bzw. Karttoffeln, darum
Wasseranteil 98%-> 1kg Trockenmasse + 49 kg Wasser =50kg

oder "mathematischer":
Allgemein für Wasseranteil in %: G= 1+G*(WA/100)
-> G-G(WA/100)=1
-> G(1-WA/100)=1
-> G=1/(1-WA/100)
Wasseranteil 99%: G=1/(1-99/100)=1/0,01=100
Wasseranteil 98%: G= 1/(1-98/100)= 1/0,02=50
Wasseranteil 50%: G= 1/(1-50/100)= 1/0,5=2

Schöne Aufgabe.

[Eisrose]

Schöne Aufgabe.

Ich fand das auch erstaunlich. Wie leicht man bei Prozentangaben in die Irre geführt werden kann...

[Richard]

Ja, wobei .. .ich kenne schon seit Schulzeiten das Beispiel mit dem "vollwachsen" eines Teiches mit Seerosen.

https://praxistipps.focus.de/seerosen-r ... ckt_140422

Spätestens wenn man dieses Rätsel kennt sollte man auch bei Rätseln wie dem Kartoffelbeispiel "vorgewarnt" sein und bei der Lösungssuche schnell vorwärts kommen.

[giffi marauder]

Ja, wobei .. .ich kenne schon seit Schulzeiten das Beispiel mit dem "vollwachsen" eines Teiches mit Seerosen.

https://praxistipps.focus.de/seerosen-r ... ckt_140422

Spätestens wenn man dieses Rätsel kennt sollte man auch bei Rätseln wie dem Kartoffelbeispiel "vorgewarnt" sein und bei der Lösungssuche schnell vorwärts kommen.

Wobei ich allerdings dieses Seerosenbeispiel für ungebremstes exponientielles Wachstum auf begrenztem Raum seit Corona mit einer gewissen Skepsis betrachte.

[Cybermancer]

Mal wieder was zum Knobeln:

Du hast 100 kg Kartoffeln mit einem Wasseranteil von 99 Prozent. Mit der Zeit trocknen die Kartoffeln aus und haben nur noch einen Wasseranteil von 98 Prozent. Wie viel Kilogramm wiegen die ausgetrockneten Kartoffeln?

Na ja, die (komplett) ausgetrockneten Kartoffel wiegen natürlich 1kg.
Aber das war wohl nicht gemeint.

Dröseln wir mal auf:

Spoiler

Wasseranteil 99%-> 1kg Trockenmasse + 99 kg Wasser =100kg
Wasseranteil 98%-> 2kg Trockenmasse + 98 kg Wasser =100kg
Das wären jetzt aber doppelt soviel Trockenmasse bzw. Karttoffeln, darum
Wasseranteil 98%-> 1kg Trockenmasse + 49 kg Wasser =50kg

oder "mathematischer":
Allgemein für Wasseranteil in %: G= 1+G*(WA/100)
-> G-G(WA/100)=1
-> G(1-WA/100)=1
-> G=1/(1-WA/100)
Wasseranteil 99%: G=1/(1-99/100)=1/0,01=100
Wasseranteil 98%: G= 1/(1-98/100)= 1/0,02=50
Wasseranteil 50%: G= 1/(1-50/100)= 1/0,5=2

Schöne Aufgabe.

Versuchs mal mit der

Let x be a real number and A a matrix such that A^2 = I. Show that
exp(iAx) = cos(x)I + i sin(x)A.

[giffi marauder]

Versuchs mal mit der

Let x be a real number and A a matrix such that A^2 = I. Show that
exp(iAx) = cos(x)I + i sin(x)A.

Auch nett, aber da scheitere ich schon bei der Angabe.
x ist also aus R, da komm ich noch mit.
A ist eine Matrix dergestalt dass A^2 = I ist.
Wäre I irgend eine Matrix wär das eine ziemlich unsinnige Nebenbedingung.
Also nehme ich an, dass I eine spzielle Matrix, nämlich die Itentitäsmatrix resp. Neutrale Matrix ist (1'en auf der Diagonalen. sonst 0)

Die Formel macht mich dann aber ziemlich ratlos.
Einerseits ist mir die Funktion exp(iAx) unbekannt (für eine Exponentenfunktion fehlt mir ein Parameter)
andererseits fehlt es mir am Verständnis, was ich mir unter der Multiplikation
eines Skalar mit einer Matrix (wie in iAx) vorstellen soll.
Jedenfalls sollte da wohl wieder ein Skalar rauskommen und keine Matrix.

(i(Ax)) könnte man dann als komplexe Zahl (0,Ax) interpretieren, woraus sinnvollerweise
geschlossen werden könnte dass es sich bei A und I um zweidimensionale Matrizen
der Form:
A:
|a,b|
|c,d|
und
I:
|1,0|
|0,1|
handelt.
Der rechte Teil der Formel cos(x)I+isin(x)A ist dann wieder die Vektordarstellung einer komplexen Zahl
mit den Polarkoordinaten (1,x), also Länge 1 und Winkel x.
Wobei die Koordinaten dann wieder mit einer Skalar*Matrix Multiplikation verändert werden.

Trivialerweise nehme ich jetzt mal einfach an, dass A=I ist, weil das mit I²=I ziemlich sicher die Nebenbedingung erfüllt.
Wie immer diese Skalar*Matrix Multiplikation definiert ist, gehe ich jetzt auch einfach davon aus,
dass die Multiplikation eines Skalars mit einer Identitätsmatix ebenfalls neutral ist (aI=a).

Unter all diesen Annahmen würde dann aus
exp(iAx) = cos(x)I + i sin(x)A
exp(i1x) = cos(x)1 + i sin(x)1 bzw. exp(ix) = cos(x) + i sin(x)

Wenn ich jezt noch wüßte was mit exp() gemeint ist, wären wir fast schon fertig
und es wäre nur noch zu zeigen, dass dies nicht nur für den Spezialfall A=I,
sondern für alle A mit A²=I gilt.

Also kurz: Ich habe keine Ahnung, was du da von mir willst.

[Cybermancer]

Oh ja, exp(A) = sum_k=^infty 1/k! A^k weil die Reihenentwicklung von exp(x) = sum_k=0^infty 1/k! x^k.
Und I ist die Einheitsmatrix.
In der Physik kommt das ständig.

Du bist übrigens auf der richtigen Spur, einfach die Reihenentwicklung ausführen und A^2=I und i^2=-1, i^3 = -i, i^4 = 1 beachten.
Reele und imaginäre Terme sammeln.

[giffi marauder]

Oh ja, exp(A) = sum_k=^infty 1/k! A^k weil die Reihenentwicklung von exp(x) = sum_k=0^infty 1/k! x^k.
Und I ist die Einheitsmatrix.
In der Physik kommt das ständig.

Du bist übrigens auf der richtigen Spur, einfach die Reihenentwicklung ausführen und A^2=I und i^2=-1, i^3 = -i, i^4 = 1 beachten.
Reele und imaginäre Terme sammeln.

Ah ja, da war was in "Einführung in die Elektrotechnik" vor gefühlt 100 Jahren.
Hab damals eine Weile gebraucht um zu begreifen, wieso die da immer mit "ehochjotomega" dahergekommen sind.

[giffi marauder]

Hier das kleine Rätsel aus dem USA-Thread.
Gleich vielen (*) Menschen aus zwei (disjunkten) Personengruppen (D und R) wurde die gleiche Frage gestellt.
Zu dieser Frage gab es 4 unterschiedliche Anwortmöglichkeiten, wovon genau eine auszuwählen war.

a Personen haben Anwort 1 gewählt, davon kommen 88% aus Gruppe D
b Personen haben Anwort 2 gewählt, davon kommen 60% aus Gruppe D
c Personen haben Anwort 3 gewählt, davon kommen 91% aus Gruppe R
d Personen haben Anwort 4 gewählt, davon kommen 89% aus Gruppe R

Wieviele der befragten Personen haben Anwort d gewählt?

(*)
Das behaupte ich jetzt einfach mal für das Rätsel, sonst wärs wohl zu kompliziert.

[Eisrose]

Bist Du sicher, dass man aus diesen Angaben absolute Zahlen berechnen kann? Ich sehe das jedenfalls nicht.

[Cybermancer]

Hier das kleine Rätsel aus dem USA-Thread.
Gleich vielen (*) Menschen aus zwei (disjunkten) Personengruppen (D und R) wurde die gleiche Frage gestellt.
Zu dieser Frage gab es 4 unterschiedliche Anwortmöglichkeiten, wovon genau eine auszuwählen war.

a Personen haben Anwort 1 gewählt, davon kommen 88% aus Gruppe D
b Personen haben Anwort 2 gewählt, davon kommen 60% aus Gruppe D
c Personen haben Anwort 3 gewählt, davon kommen 91% aus Gruppe R
d Personen haben Anwort 4 gewählt, davon kommen 89% aus Gruppe R

Wieviele der befragten Personen haben Anwort d gewählt?

(*)
Das behaupte ich jetzt einfach mal für das Rätsel, sonst wärs wohl zu kompliziert.

Das führt auf das lineare Gleichungssystem
X = 0,88a + 0,6b + 0,09c + 0,11d
X = 0,12a + 0,4b + 0,91c + 0,89d
X/2 = a + b + c + d

Das sind 3 Gleichungen für 4 Variablen.

[giffi marauder]

Hier das kleine Rätsel aus dem USA-Thread.
Gleich vielen (*) Menschen aus zwei (disjunkten) Personengruppen (D und R) wurde die gleiche Frage gestellt.
Zu dieser Frage gab es 4 unterschiedliche Anwortmöglichkeiten, wovon genau eine auszuwählen war.

a Personen haben Anwort 1 gewählt, davon kommen 88% aus Gruppe D
b Personen haben Anwort 2 gewählt, davon kommen 60% aus Gruppe D
c Personen haben Anwort 3 gewählt, davon kommen 91% aus Gruppe R
d Personen haben Anwort 4 gewählt, davon kommen 89% aus Gruppe R

Wieviele der befragten Personen haben Anwort d gewählt?

(*)
Das behaupte ich jetzt einfach mal für das Rätsel, sonst wärs wohl zu kompliziert.

Das führt auf das lineare Gleichungssystem
X = 0,88a + 0,6b + 0,09c + 0,11d
X = 0,12a + 0,4b + 0,91c + 0,89d
X/2 = a + b + c + d

Das sind 3 Gleichungen für 4 Variablen.

Yep, so weit war ich auch schon.
D =0,88a + 0,6b + 0,09c + 0,11d
R = 0,12a + 0,4b + 0,91c + 0,89d
R+D = a + b + c + d
4 Unbekannte mit 2 linear unabhängigen Gleichungen.
(die 3. Zeile ist die Summer der Zeilen 1+2 und somit linear abhängig).

Durch Substitution mit D', R',a',b',c',d' als % von R+D erhält man dann
0,5 =0,88a' + 0,6b' + 0,09c' + 0,11d'
0,5 = 0,12a' + 0,4b' + 0,91c' + 0,89d'
1 = a' + b' + c' + d'
womit sich sich dann eine Variable eliminieren ließe.
Spätestens jetzt wird auch klar, dass es hier unendlich viele Lösungen gibt in einem 3-D Lösungsraum handelt.

d'=0,5-8a'-5,45b'-0,82c'
d'=0,5-0,13a'-0,04b'-1,02c'
d'=0,5-4,07a'-2,75b'-0,92c' ((z1+z2)/2)

Ev. ließe sich unter Berücksichtigung der zusätzlich gegebenen Ungleichungen (a',b',c',d' jeweils 0<x<1)
ein lineares Optimierungsverfahren anwenden um die Gültigkeitsbereiche von a',b',c',d' noch weiter einzugrenzen.

Ev. sollte man noch berücksichtigen, dass a,b,c,d "eigentlich" ganzzahlich sein müßten (diophantische Gleichungen),
das könnte dann aber dazu führen, dass es gar keine Lösung gibt.

Alternativ könne man sich einer "eindeutigen minimalen" Lösung annähern,
indem man das Minimum von R+D mit einer weiteren Nebenbedingung
(bspw. Summe der Quadrtate der nichtganzzahligen Reste von a,b,c,d <epsilon) nochmals einschränkt.

Hat wer Lust dazu?