Rechenaufgaben

[kad]

Gibt es ein Sechseck, das durch eine einzige (gerade) Linie in vier kongruente Dreiecke geteilt werden kann?

Statt viele Sechsecke zu zeichnen , um eine Lösung zu finden, könnte man mit 4 kongruenten Dreiecken starten und versuchen, sie geeignet zusammen zu schieben.

Spoiler

Ich scheitere noch an den 4 resultierenden Dreiecken und komme nur auf drei.

Ich nehme ein Rechteck und entferne davon 1/4.
Damit habe ich 1 Eck weniger, dafür 3 Neue -> 4-1+3=6
Wenn ich diesen "Schuh" diagonal durchscheineide, habe ich drei kongruente Dreiecke.

Spoiler

3 kongruente Dreiecke?

[giffi marauder]

Zwei Ranken, eine Winde und ein Geißblatt, klettern an einem Baumstamm hoch und beginnen und enden an derselben Stelle. Die Winde umkreist den Stamm dreimal gegen den Uhrzeigersinn, während das Geißblatt fünfmal im Uhrzeigersinn kreist. Wie oft kreuzen sie sich, wenn man die erste und letzte Treffen nicht mitzählt?

Spoiler

Wir haben es hier mit zwei Spiralen zu tun.
t= 0..2pi (den Baumstamm hoch)
Winde=(t,cos(3t),sin(3t)
Geisblatt=(t,cos(-5t),sin(-5t))

Die Frage ist nun, wie oft ist Winde=Geisblatt.

Da ich zu faul zum rechnen bin, schau ich mir hier jeweils 2 Kuven überlagert an.
https://www.geogebra.org/m/XGzbhMmn

Die jeweiligen Kreuzungspunkte sowohl der beiden Sinus als auch der beiden
Cosinuskurven sind bei t=0,1/4,2/4,3/4,4/4,5/4,6/4,7/4,8/4 pi
Ohne 0 und 2pi somit 7 Stück.

Interessanterweise kreuzen sie sich dann bei gleicher Windungsrichtung genau 1x.

[kad]

Zwei Ranken, eine Winde und ein Geißblatt, klettern an einem Baumstamm hoch und beginnen und enden an derselben Stelle. Die Winde umkreist den Stamm dreimal gegen den Uhrzeigersinn, während das Geißblatt fünfmal im Uhrzeigersinn kreist. Wie oft kreuzen sie sich, wenn man die erste und letzte Treffen nicht mitzählt?

Spoiler

Wir haben es hier mit zwei Spiralen zu tun.
t= 0..2pi (den Baumstamm hoch)
Winde=(t,cos(3t),sin(3t)
Geisblatt=(t,cos(-5t),sin(-5t))

Die Frage ist nun, wie oft ist Winde=Geisblatt.

Da ich zu faul zum rechnen bin, schau ich mir hier jeweils 2 Kuven überlagert an.
https://www.geogebra.org/m/XGzbhMmn

Die jeweiligen Kreuzungspunkte sowohl der beiden Sinus als auch der beiden
Cosinuskurven sind bei t=0,1/4,2/4,3/4,4/4,5/4,6/4,7/4,8/4 pi
Ohne 0 und 2pi somit 7 Stück.

Interessanterweise kreuzen sie sich dann bei gleicher Windungsrichtung genau 1x.

Spoiler

Das stimmt

[kad]

Zwei Ranken, eine Winde und ein Geißblatt, klettern an einem Baumstamm hoch und beginnen und enden an derselben Stelle. Die Winde umkreist den Stamm dreimal gegen den Uhrzeigersinn, während das Geißblatt fünfmal im Uhrzeigersinn kreist. Wie oft kreuzen sie sich, wenn man die erste und letzte Treffen nicht mitzählt?

Spoiler

Wir haben es hier mit zwei Spiralen zu tun.
t= 0..2pi (den Baumstamm hoch)
Winde=(t,cos(3t),sin(3t)
Geisblatt=(t,cos(-5t),sin(-5t))

Die Frage ist nun, wie oft ist Winde=Geisblatt.

Da ich zu faul zum rechnen bin, schau ich mir hier jeweils 2 Kuven überlagert an.
https://www.geogebra.org/m/XGzbhMmn

Die jeweiligen Kreuzungspunkte sowohl der beiden Sinus als auch der beiden
Cosinuskurven sind bei t=0,1/4,2/4,3/4,4/4,5/4,6/4,7/4,8/4 pi
Ohne 0 und 2pi somit 7 Stück.

Interessanterweise kreuzen sie sich dann bei gleicher Windungsrichtung genau 1x.

Spoiler

Das stimmt

Spoiler

Wenn wir den Baumstamm mit den noch daran hängenden Ranken gedanklich verdrehen, sehen wir, dass das Ergebnis dasselbe ist, als ob die Winde gerade nach oben und das Geißblatt 5 + 3 = 8 Mal herumgewandert wäre. Insgesamt gibt es also neun Begegnungen, und die Antwort, wenn man die oberen und unteren Enden nicht mitzählt, lautet 7.