Rechenaufgaben

[giffi marauder]

Ein bestimmter Land gibt Nummernschilder mit sechs Ziffern (von 0 bis 9) aus. Das Land verlangt, dass sich zwei beliebige Nummernschilder an mindestens zwei Stellen unterscheiden. (Daher können die Nummernschilder 027592 und 020592 nicht beide verwendet werden.) Bestimme die maximale Anzahl unterschiedlicher Nummernschilder, die das Land verwenden kann.

Spoiler

Ziemlich tricky.
Instiktiv hätte ich auf 10^5 geschätzt, aber mehr als 10^3=1.000 komme ich dann doch nicht.

[kad]

Ein bestimmter Land gibt Nummernschilder mit sechs Ziffern (von 0 bis 9) aus. Das Land verlangt, dass sich zwei beliebige Nummernschilder an mindestens zwei Stellen unterscheiden. (Daher können die Nummernschilder 027592 und 020592 nicht beide verwendet werden.) Bestimme die maximale Anzahl unterschiedlicher Nummernschilder, die das Land verwenden kann.

Spoiler

Ziemlich tricky.
Instiktiv hätte ich auf 10^5 geschätzt, aber mehr als 10^3=1.000 komme ich dann doch nicht.

Instinkt hat oft recht.

Spoiler

10^5 stimmt
Wieso?

Spoiler

Betrachten die Kennzeichen mit n Ziffern für eine feste Zahl n, die nach denselben Kriterien ausgegeben wurden.

Wegen des Schubfachprinzips gibt es höchstens 10^n-1 unterschiedliche Kennzeichen (mit der gesuchten Eigenschaft). Wenn es mehr gäbe, dann müsste es zwei Kennzeichen geben, die in den ersten n-1 Ziffern übereinstimmen; diese Kennzeichen unterscheiden sich also nur in einer Ziffer, der letzten.

Es ist möglich, 10^n-1 verschiedene Nummernschilder auszugeben, die die Kriterien des Problems erfüllen. Man nimmt Nummernschilder mit allen 10^n-1 möglichen Kombinationen für die ersten n-1 Ziffern, und für jedes Nummernschild sei die letzte Ziffer die Summe der vorhergehenden Ziffern mod 10. Wenn also zwei Nummernschilder in den ersten n-1 Ziffern übereinstimmen, stimmen sie auch in der letzten Ziffer überein und sind somit dasselbe Nummernschild. Wenn sich zwei Nummernschilder nur in einer der ersten n-1 Ziffern unterscheiden, müssen sie sich auch in der letzten Ziffer unterscheiden.

[kad]

Wähle n Zahlen gleichmäßig zufällig aus dem Einheitsintervall [0,1]. Was ist der Erwartungswert ihres Minimums?

[giffi marauder]

Ein bestimmter Land gibt Nummernschilder mit sechs Ziffern (von 0 bis 9) aus. Das Land verlangt, dass sich zwei beliebige Nummernschilder an mindestens zwei Stellen unterscheiden. (Daher können die Nummernschilder 027592 und 020592 nicht beide verwendet werden.) Bestimme die maximale Anzahl unterschiedlicher Nummernschilder, die das Land verwenden kann.

Spoiler

Ziemlich tricky.
Instiktiv hätte ich auf 10^5 geschätzt, aber mehr als 10^3=1.000 komme ich dann doch nicht.

Instinkt hat oft recht.

Spoiler

10^5 stimmt
Wieso?

Spoiler

Betrachten die Kennzeichen mit n Ziffern für eine feste Zahl n, die nach denselben Kriterien ausgegeben wurden.

Wegen des Schubfachprinzips gibt es höchstens 10^n-1 unterschiedliche Kennzeichen (mit der gesuchten Eigenschaft). Wenn es mehr gäbe, dann müsste es zwei Kennzeichen geben, die in den ersten n-1 Ziffern übereinstimmen; diese Kennzeichen unterscheiden sich also nur in einer Ziffer, der letzten.

Es ist möglich, 10^n-1 verschiedene Nummernschilder auszugeben, die die Kriterien des Problems erfüllen. Man nimmt Nummernschilder mit allen 10^n-1 möglichen Kombinationen für die ersten n-1 Ziffern, und für jedes Nummernschild sei die letzte Ziffer die Summe der vorhergehenden Ziffern mod 10. Wenn also zwei Nummernschilder in den ersten n-1 Ziffern übereinstimmen, stimmen sie auch in der letzten Ziffer überein und sind somit dasselbe Nummernschild. Wenn sich zwei Nummernschilder nur in einer der ersten n-1 Ziffern unterscheiden, müssen sie sich auch in der letzten Ziffer unterscheiden.

Spoiler

Ja, das war meine ursprüngliche Idee.
10^(n-1) (an mindestens einer Stelle) unterschiedliche Zahlen durch eine Zusatzstelle so zu ergänzen,
dass die sich dann an mindestens 2 Stellen unterscheiden.
(Stichwort Hamming-Distanz, Parity etc...)

Nur auf die Fallunterscheidung bin ich nicht gekommen.
Die (n-1)-stelligen Zahlen unterscheiden sich an mindestens einer Stelle
Fall 1: Unterschied an genau einer Stelle
-> dann ist die Summe Mod 10 jedenfalls unterschiedlich
-> die (n)-stelligen Zahlen sind an genau 2 Stellen unterschiedlich.
Fall 2: Unterschied an mehr als einer Stelle
-> dann kann deren Summe zwar gleich sein, allerdings ist die zusätzliche Stelle egal,
weil die Anzahl der unterschiedlichen Stellen dadurch ja nur mehr, aber nicht weniger werden.

[kad]

Ich finde diese Aufgabe knackig.

Stell dir vor, es gibt n Parkplätze 1, 2, ..., n (in dieser Reihenfolge), die auf einer Einbahnstraße markiert sind. Autos mit den Nummern 1 bis n fahren in einer bestimmten Reihenfolge in die Straße ein, jedes mit einem bevorzugten Parkplatz (eine Zufallszahl zwischen 1 und n). Jedes Auto fährt zu seinem bevorzugten Parkplatz und parkt dort, wenn der Platz verfügbar ist; andernfalls nimmt es den nächsten verfügbaren Platz. Wenn es hinter dem besetzten bevorzugten Parkplatz keine leeren Plätze gibt, muss das Auto die Straße verlassen, ohne zu parken; Pech gehabt!

Man will wissen: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle n Autos parken können?

[giffi marauder]

Ich finde diese Aufgabe knackig.

Stell dir vor, es gibt n Parkplätze 1, 2, ..., n (in dieser Reihenfolge), die auf einer Einbahnstraße markiert sind. Autos mit den Nummern 1 bis n fahren in einer bestimmten Reihenfolge in die Straße ein, jedes mit einem bevorzugten Parkplatz (eine Zufallszahl zwischen 1 und n). Jedes Auto fährt zu seinem bevorzugten Parkplatz und parkt dort, wenn der Platz verfügbar ist; andernfalls nimmt es den nächsten verfügbaren Platz. Wenn es hinter dem besetzten bevorzugten Parkplatz keine leeren Plätze gibt, muss das Auto die Straße verlassen, ohne zu parken; Pech gehabt!

Man will wissen: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle n Autos parken können?

Spoiler

Also das ist doch einfach.
P(n)= P(n-1)*w(i(n)<=g(n-1))
P(n-1)=Wahrscheinlichkeit, dass n-1 Autos einen Parkplatz fanden
i(n)= Zufällige Parkplatznummer von Auto n
g(n-1)=Größte freie Parkplatznummer nach n-1 Fahrzeugen
w(i(n)<=g(n-1)) = Wahrscheinlichkeit, dass die zufällige Parkplatznummer von Auto n <= der größten freien Nummer ist.

[kad]

Ich finde diese Aufgabe knackig.

Stell dir vor, es gibt n Parkplätze 1, 2, ..., n (in dieser Reihenfolge), die auf einer Einbahnstraße markiert sind. Autos mit den Nummern 1 bis n fahren in einer bestimmten Reihenfolge in die Straße ein, jedes mit einem bevorzugten Parkplatz (eine Zufallszahl zwischen 1 und n). Jedes Auto fährt zu seinem bevorzugten Parkplatz und parkt dort, wenn der Platz verfügbar ist; andernfalls nimmt es den nächsten verfügbaren Platz. Wenn es hinter dem besetzten bevorzugten Parkplatz keine leeren Plätze gibt, muss das Auto die Straße verlassen, ohne zu parken; Pech gehabt!

Man will wissen: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle n Autos parken können?

Spoiler

Also das ist doch einfach.
P(n)= P(n-1)*w(i(n)<=g(n-1))
P(n-1)=Wahrscheinlichkeit, dass n-1 Autos einen Parkplatz fanden
i(n)= Zufällige Parkplatznummer von Auto n
g(n-1)=Größte freie Parkplatznummer nach n-1 Fahrzeugen
w(i(n)<=g(n-1)) = Wahrscheinlichkeit, dass die zufällige Parkplatznummer von Auto n <= der größten freien Nummer ist.

Spoiler

Wie immer schnell und sauber gelöst!
Ähh, und was ist jetzt die Antwort?

[giffi marauder]

Spoiler

Ähh, und was ist jetzt die Antwort?

Spoiler

Nach der suche ich noch.

Wären die freie Stelle nach n-1 Autos gleichwahrscheinlich, dann wäre die Wahrscheinlicheit für das n-te Auto,
bzw. dessen Parkplatznummer einfach n(n+1)/2.

Allerdings gehe ich davon aus, dass die Wahrscheinlichkeiten der freien Stellen,
durch die "nächste freie"-Regel nicht gleichwahrscheinlich sind.
Größer Nummern dadurch eher schon belegt sind, als kleinere.

Die n Autos 1 bis n bekommen eine zufällige Parkplatznummer zugeteilt
und fahren dann der Reihe nach auf den Parkpaltz.
Die Gesamtzzahl der Möglichkeiten ist damit N=n^n
Sei die Menge P jene "Zahlen", die zum geschwünschten Ergebnis führen und p deren Anzahl,
dann ist p/N die gesuchte Wahrscheinlichkeit w.

n=1 : P={1}1,N={}-> w=1
n=2 : P={11,12,21}, N={22}-> w=3/4
n=3 :
P={111,112,113,121,122,123,131,132,211,212,213,221,231,311,312,313,321}
N={133,222,223,232,233,322,323,331,332,333}
-> w=16/27

Am Beispiel von n=3 sollte ich die Gewichtung der freien Stellen (1,2,3) nach 2 Autos ev. schon rausfinden lassen.
11x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
12x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
13x-> 3x die 2 (x=1,2)
21x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
22x-> 3x die 1 (x=1)
23x-> 3x die 1 (x=1)
31x-> 3x die 2 (x=1,2)
32x-> 3x die 1 (x=1)
33x-> 3x endet vorher.

Die freie Stelle 1 hat somit eine Wahrscheinlichkeit von 9/27,
die 3 ebenfalls und die 2 nur 6/27.
In 3/27 Fällen endet das Spiel schon vorher.

[kad]

Zum Zeitpunkt t = 0 wird ein Roboter an einem unbekannten Gitterpunkt im dreidimensionalen Raum platziert. Jede Minute bewegt sich der Roboter eine feste, unbekannte Distanz in eine feste, unbekannte Richtung zu einem neuen Gitterpunkt. Jede Minute kann ein beliebiger einzelner Punkt im Raum untersucht werden. Entwickle einen Algorithmus, der den Roboter garantiert in endlicher Zeit findet

[kad]

Spoiler

Ähh, und was ist jetzt die Antwort?

Spoiler

Nach der suche ich noch.

Wären die freie Stelle nach n-1 Autos gleichwahrscheinlich, dann wäre die Wahrscheinlicheit für das n-te Auto,
bzw. dessen Parkplatznummer einfach n(n+1)/2.

Allerdings gehe ich davon aus, dass die Wahrscheinlichkeiten der freien Stellen,
durch die "nächste freie"-Regel nicht gleichwahrscheinlich sind.
Größer Nummern dadurch eher schon belegt sind, als kleinere.

Die n Autos 1 bis n bekommen eine zufällige Parkplatznummer zugeteilt
und fahren dann der Reihe nach auf den Parkpaltz.
Die Gesamtzzahl der Möglichkeiten ist damit N=n^n
Sei die Menge P jene "Zahlen", die zum geschwünschten Ergebnis führen und p deren Anzahl,
dann ist p/N die gesuchte Wahrscheinlichkeit w.

n=1 : P={1}1,N={}-> w=1
n=2 : P={11,12,21}, N={22}-> w=3/4
n=3 :
P={111,112,113,121,122,123,131,132,211,212,213,221,231,311,312,313,321}
N={133,222,223,232,233,322,323,331,332,333}
-> w=16/27

Am Beispiel von n=3 sollte ich die Gewichtung der freien Stellen (1,2,3) nach 2 Autos ev. schon rausfinden lassen.
11x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
12x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
13x-> 3x die 2 (x=1,2)
21x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
22x-> 3x die 1 (x=1)
23x-> 3x die 1 (x=1)
31x-> 3x die 2 (x=1,2)
32x-> 3x die 1 (x=1)
33x-> 3x endet vorher.

Die freie Stelle 1 hat somit eine Wahrscheinlichkeit von 9/27,
die 3 ebenfalls und die 2 nur 6/27.
In 3/27 Fällen endet das Spiel schon vorher.

Spoiler

Zu P und p.

Hier hilft der Trick, der schon bei der Aufgabe mit dem Intervall und der Frage nach dem Erwartungswert des Minimus half. Aus dem Intervall einen Kreis machen und dann Symmetrie-Argumente verwenden. Bleibt auch mit diesem Trick nicht trivial.

[giffi marauder]

Spoiler

Ähh, und was ist jetzt die Antwort?

Spoiler

Nach der suche ich noch.

Wären die freie Stelle nach n-1 Autos gleichwahrscheinlich, dann wäre die Wahrscheinlicheit für das n-te Auto,
bzw. dessen Parkplatznummer einfach n(n+1)/2.

Allerdings gehe ich davon aus, dass die Wahrscheinlichkeiten der freien Stellen,
durch die "nächste freie"-Regel nicht gleichwahrscheinlich sind.
Größer Nummern dadurch eher schon belegt sind, als kleinere.

Die n Autos 1 bis n bekommen eine zufällige Parkplatznummer zugeteilt
und fahren dann der Reihe nach auf den Parkpaltz.
Die Gesamtzzahl der Möglichkeiten ist damit N=n^n
Sei die Menge P jene "Zahlen", die zum geschwünschten Ergebnis führen und p deren Anzahl,
dann ist p/N die gesuchte Wahrscheinlichkeit w.

n=1 : P={1}1,N={}-> w=1
n=2 : P={11,12,21}, N={22}-> w=3/4
n=3 :
P={111,112,113,121,122,123,131,132,211,212,213,221,231,311,312,313,321}
N={133,222,223,232,233,322,323,331,332,333}
-> w=16/27

Am Beispiel von n=3 sollte ich die Gewichtung der freien Stellen (1,2,3) nach 2 Autos ev. schon rausfinden lassen.
11x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
12x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
13x-> 3x die 2 (x=1,2)
21x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
22x-> 3x die 1 (x=1)
23x-> 3x die 1 (x=1)
31x-> 3x die 2 (x=1,2)
32x-> 3x die 1 (x=1)
33x-> 3x endet vorher.

Die freie Stelle 1 hat somit eine Wahrscheinlichkeit von 9/27,
die 3 ebenfalls und die 2 nur 6/27.
In 3/27 Fällen endet das Spiel schon vorher.

Spoiler

Zu P und p.

Hier hilft der Trick, der schon bei der Aufgabe mit dem Intervall und der Frage nach dem Erwartungswert des Minimus half. Aus dem Intervall einen Kreis machen und dann Symmetrie-Argumente verwenden. Bleibt auch mit diesem Trick nicht trivial.

Leider siehtst du ja nicht, wie ich mich abmühe.
Jeden Tag schreib ich hier eine Lösung hin und lösch sie dann wieder, weil sie Blödsinn ist.
Die Lösung für heute lautet:

Spoiler

w=(n+1)^(n-1)/n^n

[kad]

Spoiler

Ähh, und was ist jetzt die Antwort?

Spoiler

Nach der suche ich noch.

Wären die freie Stelle nach n-1 Autos gleichwahrscheinlich, dann wäre die Wahrscheinlicheit für das n-te Auto,
bzw. dessen Parkplatznummer einfach n(n+1)/2.

Allerdings gehe ich davon aus, dass die Wahrscheinlichkeiten der freien Stellen,
durch die "nächste freie"-Regel nicht gleichwahrscheinlich sind.
Größer Nummern dadurch eher schon belegt sind, als kleinere.

Die n Autos 1 bis n bekommen eine zufällige Parkplatznummer zugeteilt
und fahren dann der Reihe nach auf den Parkpaltz.
Die Gesamtzzahl der Möglichkeiten ist damit N=n^n
Sei die Menge P jene "Zahlen", die zum geschwünschten Ergebnis führen und p deren Anzahl,
dann ist p/N die gesuchte Wahrscheinlichkeit w.

n=1 : P={1}1,N={}-> w=1
n=2 : P={11,12,21}, N={22}-> w=3/4
n=3 :
P={111,112,113,121,122,123,131,132,211,212,213,221,231,311,312,313,321}
N={133,222,223,232,233,322,323,331,332,333}
-> w=16/27

Am Beispiel von n=3 sollte ich die Gewichtung der freien Stellen (1,2,3) nach 2 Autos ev. schon rausfinden lassen.
11x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
12x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
13x-> 3x die 2 (x=1,2)
21x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
22x-> 3x die 1 (x=1)
23x-> 3x die 1 (x=1)
31x-> 3x die 2 (x=1,2)
32x-> 3x die 1 (x=1)
33x-> 3x endet vorher.

Die freie Stelle 1 hat somit eine Wahrscheinlichkeit von 9/27,
die 3 ebenfalls und die 2 nur 6/27.
In 3/27 Fällen endet das Spiel schon vorher.

Spoiler

Zu P und p.

Hier hilft der Trick, der schon bei der Aufgabe mit dem Intervall und der Frage nach dem Erwartungswert des Minimus half. Aus dem Intervall einen Kreis machen und dann Symmetrie-Argumente verwenden. Bleibt auch mit diesem Trick nicht trivial.

Leider siehtst du ja nicht, wie ich mich abmühe.
Jeden Tag schreib ich hier eine Lösung hin und lösch sie dann wieder, weil sie Blödsinn ist.
Die Lösung für heute lautet:

Spoiler

w=(n+1)^(n-1)/n^n

So gut!
Ich muss zugeben, dass ich an dieser Aufgabe gescheitert bin.
Sind für n=100 etwa 2.7%.

Spoiler

Wie hast du (n+1)^(n-1) bestimmt?

[kad]

Soeben auf youtube entdeckt:
Ein Bauer vererbt sein Land an seine Frau und seine beiden Kinder. Die Frau soll viermal so viel Fläche Land bekommen wie jedes der Kinder. Das Grundstück hat kurioserweise exakt die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Aus Gerechtigkeitsgründen soll jedes der drei Teilstücke die gleiche Form haben. (Das Teilstück der Frau soll also um den Faktor zwei vergrößert sein, ansonsten aber dieselbe Form haben wie die Stücke der Kinder.) Wie wird das Land geteilt?

Lösung

Spoiler

image001.jpeg (166.36 KiB) 37 mal betrachtet

https://youtu.be/ydy-C94Izxc?si=B0uukG5GTlE_CTK4

[giffi marauder]

Soeben auf youtube entdeckt:
Ein Bauer vererbt sein Land an seine Frau und seine beiden Kinder. Die Frau soll viermal so viel Fläche Land bekommen wie jedes der Kinder. Das Grundstück hat kurioserweise exakt die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Aus Gerechtigkeitsgründen soll jedes der drei Teilstücke die gleiche Form haben. (Das Teilstück der Frau soll also um den Faktor zwei vergrößert sein, ansonsten aber dieselbe Form haben wie die Stücke der Kinder.) Wie wird das Land geteilt?

Lösung

Spoiler

image001.jpeg

https://youtu.be/ydy-C94Izxc?si=B0uukG5GTlE_CTK4

Ah schön.
Die halben Dreiecke sind der Clou.

[giffi marauder]

Spoiler

Ähh, und was ist jetzt die Antwort?

Spoiler

Nach der suche ich noch.

Wären die freie Stelle nach n-1 Autos gleichwahrscheinlich, dann wäre die Wahrscheinlicheit für das n-te Auto,
bzw. dessen Parkplatznummer einfach n(n+1)/2.

Allerdings gehe ich davon aus, dass die Wahrscheinlichkeiten der freien Stellen,
durch die "nächste freie"-Regel nicht gleichwahrscheinlich sind.
Größer Nummern dadurch eher schon belegt sind, als kleinere.

Die n Autos 1 bis n bekommen eine zufällige Parkplatznummer zugeteilt
und fahren dann der Reihe nach auf den Parkpaltz.
Die Gesamtzzahl der Möglichkeiten ist damit N=n^n
Sei die Menge P jene "Zahlen", die zum geschwünschten Ergebnis führen und p deren Anzahl,
dann ist p/N die gesuchte Wahrscheinlichkeit w.

n=1 : P={1}1,N={}-> w=1
n=2 : P={11,12,21}, N={22}-> w=3/4
n=3 :
P={111,112,113,121,122,123,131,132,211,212,213,221,231,311,312,313,321}
N={133,222,223,232,233,322,323,331,332,333}
-> w=16/27

Am Beispiel von n=3 sollte ich die Gewichtung der freien Stellen (1,2,3) nach 2 Autos ev. schon rausfinden lassen.
11x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
12x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
13x-> 3x die 2 (x=1,2)
21x-> 3x die 3 (x=1,2,3)
22x-> 3x die 1 (x=1)
23x-> 3x die 1 (x=1)
31x-> 3x die 2 (x=1,2)
32x-> 3x die 1 (x=1)
33x-> 3x endet vorher.

Die freie Stelle 1 hat somit eine Wahrscheinlichkeit von 9/27,
die 3 ebenfalls und die 2 nur 6/27.
In 3/27 Fällen endet das Spiel schon vorher.

Spoiler

Zu P und p.

Hier hilft der Trick, der schon bei der Aufgabe mit dem Intervall und der Frage nach dem Erwartungswert des Minimus half. Aus dem Intervall einen Kreis machen und dann Symmetrie-Argumente verwenden. Bleibt auch mit diesem Trick nicht trivial.

Leider siehtst du ja nicht, wie ich mich abmühe.
Jeden Tag schreib ich hier eine Lösung hin und lösch sie dann wieder, weil sie Blödsinn ist.
Die Lösung für heute lautet:

Spoiler

w=(n+1)^(n-1)/n^n

So gut!
Ich muss zugeben, dass ich an dieser Aufgabe gescheitert bin.
Sind für n=100 etwa 2.7%.

Spoiler

Wie hast du (n+1)^(n-1) bestimmt?

Spoiler

War nur meine Vermutung von gestern.
Bin eh noch nicht sicher, ob das wirklich die Lösung ist.
Aber die Tendenz sollte stimmen.

Zu Fuß sieht die Lösung so aus.
a) jedes Auto bekommt eine Parkplatz Nummer (Ziffern für n<10) zugewiesen, die nicht eindeutig sein muss.
b) Die Reihenfolge, in der die Autos auf den Parkplatz fahren, spielt für das Ergebnis keine Rolle
c) Die Nummern (Ziffern für n<10) können deshalb auch sortiert werden.
d) daraus ergeben sich Zahlen mit aufsteigenden Ziffern samt deren Permutationen
e) Weiters sind die gültigen Ziffern bei den (sortierten) Zahlen mit positivem Ergebnis (alle finden einen Platz) an den einzelnen Stellen begrenzt.
1. Stelle (1)
2. Stelle (1,2)
3. Stelle (1,2,3)
....
n. Stelle (1,2,3,...n)

n=1
sortierte Zahl (# Permutationen)
1 (1)
macht genau 1 gültige Kombination
w(1) = 1/1 = 2^0/1^1 = (n+1)^(n-1)/n^n

n= 2
11 (2!/2!=1)
12 (2!/1!1!=2)
=3
w(2) = 3/4 = 3^1/2^2 = (n+1)^(n-1)/n^n

n= 3 :
111 (3!/3!=1)
112 (3!/2!1!=3)
113 (3!/2!1!=3)
122 (3!/1!2!=3)
123 (3!/1!1!1!=6)
= 16
w(3) = 16/27 = 4^2/3^3 = (n+1)^(n-1)/n^n

bei n=4
1111 (4!/4!=1)
1112 (4!/3!1!=4)
1113 (4!/3!1!=4)
1114 (4!/3!1!=4)
1122 (4!/2!2!=6)
1123 (4!/2!1!1!=12)
1124 (4!/2!1!1!=12)
1133 (4!/2!2!=6)
1134 (4!/2!1!1!=12)
1222 (4!/1!3!=4)
1223 (4!/1!2!1!=12)
1224 (4!/1!2!1!=12)
1233 (4!/1!1!2!=12)
1234 (4!/1!1!1!1!=24)
= 125
w(4) = 125/256 = 5^3/4^4 = (n+1)^(n-1)/n^n
...
Eine mathematische Erklärung habe ich damit ja noch nicht.
Ev. wäre es hilfreich, die Formel anders hinzuschreiben
[(n+1)/n]^(n-1)*1/n

Für 100 wäre das dann 1,01^99/100=0,02678=2,678%