Rechenaufgaben

[giffi marauder]

Finde alle 3-stelligen Zahlen m, welche durch 11 teilbar sind mit der Eigenschaft, dass m/11 gleich der Summe der Quadrate der Ziffern von m ist.

Die zwei Zahlen finden ist ja jetzt nicht das Problem.
Ich grüble noch nach an Anleitung sich die Suche sparen zu können.

Ja, so eine Anleitung gibt es. Und sogar die gute alte 11er Probe findet als Teilschritt Verwendung.

Eine Lösung

Spoiler

Sei N = 100a + 10b+c mit Ziffern a, b und c. Es gilt 100a + 10b + c = 11m und m=a^2+b^2+c^2. Also 100a+10b+c = 11a^2 +11b^2 +11c^2. Wenn eine Zahl durch 11 teilbar ist, dann ist die Summe der Ziffern an den ungeraden Stellen weniger der Summe der Ziffern an den geraden Stellen durch 11 teilbar (Elferprobe). Somit entweder (1) b = a + c oder (2) b = a + c - 11.
Mit dieser Fallunterscheidung rechnet man weiter und erhält bei (1) den Wert 550 und bei (2) den Wert 803.

Spoiler

(2) b = a + c - 10
Bis x=(9h-y+5 +- wurzel(-121h^2 -3y^2+25+22hy+90h-8y)/2 bin ich auch gekommen.
Dann für h mal 0 oder 1 einsetzen....

Allerderings musste ich dann noch immer einige y durchprobieren um die beiden Lösungen (50, 73) zu finden.

[giffi marauder]

Fünf Schüler, A, B, C, D, E, nahmen an einem Wettbewerb teil. Eine Vorhersage war, dass die Teilnehmer in der Reihenfolge ABCDE ins Ziel kommen würden. Diese Vorhersage war sehr schlecht. Tatsächlich erreichte keiner der Teilnehmer die vorhergesagte Position (1), und keine zwei Teilnehmer, von denen vorhergesagt wurde, dass sie nacheinander ins Ziel kommen, taten dies tatsächlich(2). Eine zweite Vorhersage besagte, dass die Teilnehmer in der Reihenfolge DAECB ins Ziel kommen würden. Diese Vorhersage war besser. Genau zwei der Teilnehmer erreichten die vorhergesagten Plätze(3), und zwei disjunkte Schülerpaare, von denen vorhergesagt wurde, dass sie nacheinander ins Ziel kommen, taten dies tatsächlich (4). Bestimme die Reihenfolge, in der die Teilnehmer ins Ziel kamen.

Spoiler

Ich hab die "Bedingungen/Ausschlusskriterien" oben mal durchnummeriert.
Wesentlich ist die Kombination aus 3 und 4.
Wenn zwei Personen richtig sind (3) und 2 disjunkte Paare richtig aufeinanderfolgen (4),
dann ist mindestestens eine Person von den beiden Paaren am richtigen Platz
und somit automatisch auch die 2. Person dieses Paares.
Das zweite Paar und die 5. Person hingegen sind nicht dort, wo es hingehört.

Damit reduzieren sich die möglichen Kombinationen von 120 (5!) auf eine Handvoll.

Annahme DA ist das Paar am richtigen Platz.
dann muss das andere Paar EC oder CB an der falschen Stelle stehen.
DABEC (2) (.AB...)
DACBE (1) (..C.E)
-> DA ist nicht das Paar am richtigen Platz.

Annahme AE ist das Paar am richtigen Platz.
DAECB (3) (DAECB)
-> AE ist nicht das Paar an der richtigen Stelle.

Annahme EC ist das Paar am richtigen Platz.
DAECB (3) (DAECB)
-> EC ist nicht das Paar an der richtigen Stelle.

Annahme CB ist das Paar am richtigen Platz.
dann muss das andere Paar AE oder DA an der falschen Stelle stehen.
AEDCB (1) (A....)
EDACB
1) keiner hat die Position wie in ABCDE
2) keiner folgt auf den anderen wie in ABCDE
3) genau 2 am richtigen Platz (...CB in DAECB)
4) zwei Paare deren Partner aufeinanderfolgen (DA, CB in DAECB)

Bingo.

[kad]

Finde alle 3-stelligen Zahlen m, welche durch 11 teilbar sind mit der Eigenschaft, dass m/11 gleich der Summe der Quadrate der Ziffern von m ist.

Die zwei Zahlen finden ist ja jetzt nicht das Problem.
Ich grüble noch nach an Anleitung sich die Suche sparen zu können.

Ja, so eine Anleitung gibt es. Und sogar die gute alte 11er Probe findet als Teilschritt Verwendung.

Eine Lösung

Spoiler

Sei N = 100a + 10b+c mit Ziffern a, b und c. Es gilt 100a + 10b + c = 11m und m=a^2+b^2+c^2. Also 100a+10b+c = 11a^2 +11b^2 +11c^2. Wenn eine Zahl durch 11 teilbar ist, dann ist die Summe der Ziffern an den ungeraden Stellen weniger der Summe der Ziffern an den geraden Stellen durch 11 teilbar (Elferprobe). Somit entweder (1) b = a + c oder (2) b = a + c - 11.
Mit dieser Fallunterscheidung rechnet man weiter und erhält bei (1) den Wert 550 und bei (2) den Wert 803.

Spoiler

(2) b = a + c - 10
Bis x=(9h-y+5 +- wurzel(-121h^2 -3y^2+25+22hy+90h-8y)/2 bin ich auch gekommen.
Dann für h mal 0 oder 1 einsetzen....

Allerderings musste ich dann noch immer einige y durchprobieren um die beiden Lösungen (50, 73) zu finden.

Spoiler

Wieso schreibst du b=a+c -10

[giffi marauder]

Finde alle 3-stelligen Zahlen m, welche durch 11 teilbar sind mit der Eigenschaft, dass m/11 gleich der Summe der Quadrate der Ziffern von m ist.

Die zwei Zahlen finden ist ja jetzt nicht das Problem.
Ich grüble noch nach an Anleitung sich die Suche sparen zu können.

Ja, so eine Anleitung gibt es. Und sogar die gute alte 11er Probe findet als Teilschritt Verwendung.

Eine Lösung

Spoiler

Sei N = 100a + 10b+c mit Ziffern a, b und c. Es gilt 100a + 10b + c = 11m und m=a^2+b^2+c^2. Also 100a+10b+c = 11a^2 +11b^2 +11c^2. Wenn eine Zahl durch 11 teilbar ist, dann ist die Summe der Ziffern an den ungeraden Stellen weniger der Summe der Ziffern an den geraden Stellen durch 11 teilbar (Elferprobe). Somit entweder (1) b = a + c oder (2) b = a + c - 11.
Mit dieser Fallunterscheidung rechnet man weiter und erhält bei (1) den Wert 550 und bei (2) den Wert 803.

Spoiler

(2) b = a + c - 10
Bis x=(9h-y+5 +- wurzel(-121h^2 -3y^2+25+22hy+90h-8y)/2 bin ich auch gekommen.
Dann für h mal 0 oder 1 einsetzen....

Allerderings musste ich dann noch immer einige y durchprobieren um die beiden Lösungen (50, 73) zu finden.

Spoiler

Wieso schreibst du b=a+c -10

Spoiler

Ah, da hab ich gedanklich (zur Hälfte) den Überhauf aus meiner Formel reingebracht.

abc=xy*11
->
ohne Überlauf: c=y, a=x, b=x+y=a+c
mit Überlauf: c=y,a=x+1,b=x+y-10=a-1+c-10= a+b-11

[kad]

Fünf Schüler, A, B, C, D, E, nahmen an einem Wettbewerb teil. Eine Vorhersage war, dass die Teilnehmer in der Reihenfolge ABCDE ins Ziel kommen würden. Diese Vorhersage war sehr schlecht. Tatsächlich erreichte keiner der Teilnehmer die vorhergesagte Position (1), und keine zwei Teilnehmer, von denen vorhergesagt wurde, dass sie nacheinander ins Ziel kommen, taten dies tatsächlich(2). Eine zweite Vorhersage besagte, dass die Teilnehmer in der Reihenfolge DAECB ins Ziel kommen würden. Diese Vorhersage war besser. Genau zwei der Teilnehmer erreichten die vorhergesagten Plätze(3), und zwei disjunkte Schülerpaare, von denen vorhergesagt wurde, dass sie nacheinander ins Ziel kommen, taten dies tatsächlich (4). Bestimme die Reihenfolge, in der die Teilnehmer ins Ziel kamen.

Spoiler

Ich hab die "Bedingungen/Ausschlusskriterien" oben mal durchnummeriert.
Wesentlich ist die Kombination aus 3 und 4.
Wenn zwei Personen richtig sind (3) und 2 disjunkte Paare richtig aufeinanderfolgen (4),
dann ist mindestestens eine Person von den beiden Paaren am richtigen Platz
und somit automatisch auch die 2. Person dieses Paares.
Das zweite Paar und die 5. Person hingegen sind nicht dort, wo es hingehört.

Damit reduzieren sich die möglichen Kombinationen von 120 (5!) auf eine Handvoll.

Annahme DA ist das Paar am richtigen Platz.
dann muss das andere Paar EC oder CB an der falschen Stelle stehen.
DABEC (2) (.AB...)
DACBE (1) (..C.E)
-> DA ist nicht das Paar am richtigen Platz.

Annahme AE ist das Paar am richtigen Platz.
DAECB (3) (DAECB)
-> AE ist nicht das Paar an der richtigen Stelle.

Annahme EC ist das Paar am richtigen Platz.
DAECB (3) (DAECB)
-> EC ist nicht das Paar an der richtigen Stelle.

Annahme CB ist das Paar am richtigen Platz.
dann muss das andere Paar AE oder DA an der falschen Stelle stehen.
AEDCB (1) (A....)
EDACB
1) keiner hat die Position wie in ABCDE
2) keiner folgt auf den anderen wie in ABCDE
3) genau 2 am richtigen Platz (...CB in DAECB)
4) zwei Paare deren Partner aufeinanderfolgen (DA, CB in DAECB)

Bingo.

Spoiler

Der Kandidat hat 100 Punkte!

[kad]

Finde alle 3-stelligen Zahlen m, welche durch 11 teilbar sind mit der Eigenschaft, dass m/11 gleich der Summe der Quadrate der Ziffern von m ist.

Die zwei Zahlen finden ist ja jetzt nicht das Problem.
Ich grüble noch nach an Anleitung sich die Suche sparen zu können.

Ja, so eine Anleitung gibt es. Und sogar die gute alte 11er Probe findet als Teilschritt Verwendung.

Eine Lösung

Spoiler

Sei N = 100a + 10b+c mit Ziffern a, b und c. Es gilt 100a + 10b + c = 11m und m=a^2+b^2+c^2. Also 100a+10b+c = 11a^2 +11b^2 +11c^2. Wenn eine Zahl durch 11 teilbar ist, dann ist die Summe der Ziffern an den ungeraden Stellen weniger der Summe der Ziffern an den geraden Stellen durch 11 teilbar (Elferprobe). Somit entweder (1) b = a + c oder (2) b = a + c - 11.
Mit dieser Fallunterscheidung rechnet man weiter und erhält bei (1) den Wert 550 und bei (2) den Wert 803.

Spoiler

(2) b = a + c - 10
Bis x=(9h-y+5 +- wurzel(-121h^2 -3y^2+25+22hy+90h-8y)/2 bin ich auch gekommen.
Dann für h mal 0 oder 1 einsetzen....

Allerderings musste ich dann noch immer einige y durchprobieren um die beiden Lösungen (50, 73) zu finden.

Spoiler

Ich kenne keine Lösung, wo man nicht noch ein paar Zahlen einsetzen muss.

[kad]

In einem mathematischen Wettbewerb wurden drei Probleme, A, B und C, gestellt. Unter den Teilnehmern befanden sich 25 Schüler, die jeweils mindestens ein Problem lösten. Von allen Teilnehmern, die Problem A nicht lösten, war die Anzahl derer, die B lösten, doppelt so hoch wie die Anzahl derer, die C lösten. Die Anzahl der Schüler, die nur Problem A lösten, war um eins höher als die Anzahl der Schüler, die A und mindestens ein weiteres Problem lösten. Von allen Schülern, die nur ein Problem lösten, löste die Hälfte Problem A nicht. Wie viele Schüler lösten nur Problem B?

[kad]

Rätsel für Leser:innen von PR 3322

Was ist das Volumen (in Kubiklichtjahren) eines Zylinders mit Durchmesser 2200 Lichtjahren und einer Länge von 1.5 Millionen Lichtjahren?

[kad]

[giffi marauder]

In einem mathematischen Wettbewerb wurden drei Probleme, A, B und C, gestellt.
(1) Unter den Teilnehmern befanden sich 25 Schüler, die jeweils mindestens ein Problem lösten.
(2) Von allen Teilnehmern, die Problem A nicht lösten, war die Anzahl derer, die B lösten, doppelt so hoch wie die Anzahl derer, die C lösten.
(3) Die Anzahl der Schüler, die nur Problem A lösten, war um eins höher als die Anzahl der Schüler, die A und mindestens ein weiteres Problem lösten.
(4) Von allen Schülern, die nur ein Problem lösten, löste die Hälfte Problem A nicht.
(5) Wie viele Schüler lösten nur Problem B?

Spoiler

Damit wir da mal weiterkommen führen wir die Anzahlen a,b,c,ab,ac,cb,abc für die Anzahl der Schüler in den disjunkten Teilmengen ein.
a= Anzahl der Schüler die nur A richtig hatten und sonst nichts.
bc = Anzahl der Schüler die b und c richtig hatten, aber nicht a
etc...
Nun machen wir da draus ein paar Formeln
1) a+b+c+ab+ac+bc+abc=25
2) b+bc=2(c+bc)-> b=2c+bc
3) a-1=ab+ac+abc
4) a=b+c -> c=a-b
5) b=?
Setzten wir 3) und 4) in 1) ein, erhalten wir
3a+bc=26
Setzen wir dann noch 4) in 2) ein, erhalten wir
2a+bc=3b
Ziehen wir das eine vom andern ab erhalten wir
a=26-3b
-> b=(26-a)/3
c = a-b
-> c=(4a-26)/3
Da a,b,c ganzahlig sein müssen und a+b+c<= 25 kommen
für abc nur die Trippel 8,6,2 und 11,5,6 in Frage

Aus 2) wissen wir dass b > c sein muss.

-> a=8, b= 6, c=2
a+b+c=2a=16 (4)
ab+ac+abc=a-1=7 (3)
bc=b-2c=2 (2)
a+b+c+ab+ac+bc+abc= 16+2+7=25 (1)

[kad]

In einem mathematischen Wettbewerb wurden drei Probleme, A, B und C, gestellt.
(1) Unter den Teilnehmern befanden sich 25 Schüler, die jeweils mindestens ein Problem lösten.
(2) Von allen Teilnehmern, die Problem A nicht lösten, war die Anzahl derer, die B lösten, doppelt so hoch wie die Anzahl derer, die C lösten.
(3) Die Anzahl der Schüler, die nur Problem A lösten, war um eins höher als die Anzahl der Schüler, die A und mindestens ein weiteres Problem lösten.
(4) Von allen Schülern, die nur ein Problem lösten, löste die Hälfte Problem A nicht.
(5) Wie viele Schüler lösten nur Problem B?

Spoiler

Damit wir da mal weiterkommen führen wir die Anzahlen a,b,c,ab,ac,cb,abc für die Anzahl der Schüler in den disjunkten Teilmengen ein.
a= Anzahl der Schüler die nur A richtig hatten und sonst nichts.
bc = Anzahl der Schüler die b und c richtig hatten, aber nicht a
etc...
Nun machen wir da draus ein paar Formeln
1) a+b+c+ab+ac+bc+abc=25
2) b+bc=2(c+bc)-> b=2c+bc
3) a-1=ab+ac+abc
4) a=b+c -> c=a-b
5) b=?
Setzten wir 3) und 4) in 1) ein, erhalten wir
3a+bc=26
Setzen wir dann noch 4) in 2) ein, erhalten wir
2a+bc=3b
Ziehen wir das eine vom andern ab erhalten wir
a=26-3b
-> b=(26-a)/3
c = a-b
-> c=(4a-26)/3
Da a,b,c ganzahlig sein müssen und a+b+c<= 25 kommen
für abc nur die Trippel 8,6,2 und 11,5,6 in Frage

Aus 2) wissen wir dass b > c sein muss.

-> a=8, b= 6, c=2
a+b+c=2a=16 (4)
ab+ac+abc=a-1=7 (3)
bc=b-2c=2 (2)
a+b+c+ab+ac+bc+abc= 16+2+7=25 (1)

Spoiler

b=6 ist richtig!

[kad]

Die gibt etwas zu tun….

Bei einem Sportwettkampf wurden an n aufeinanderfolgenden Tagen (n > 1) m Medaillen vergeben. Am ersten Tag wurden eine Medaille und 1/7 der verbleibenden m-1 Medaillen vergeben. Am zweiten Tag wurden zwei Medaillen und 1/7 der nun verbleibenden Medaillen vergeben; und so weiter. Am n-ten und letzten Tag wurden die verbleibenden n Medaillen vergeben. Wie viele Tage dauerte der Wettkampf und wie viele Medaillen wurden insgesamt vergeben?

[giffi marauder]

Die gibt etwas zu tun….

Bei einem Sportwettkampf wurden an n aufeinanderfolgenden Tagen (n > 1) m Medaillen vergeben. Am ersten Tag wurden eine Medaille und 1/7 der verbleibenden m-1 Medaillen vergeben. Am zweiten Tag wurden zwei Medaillen und 1/7 der nun verbleibenden Medaillen vergeben; und so weiter. Am n-ten und letzten Tag wurden die verbleibenden n Medaillen vergeben. Wie viele Tage dauerte der Wettkampf und wie viele Medaillen wurden insgesamt vergeben?

Spoiler

36 je 6 an 6 Tagen.


Dass 36 die einzige Lösung ist, daran arbeite ich noch.

[kad]

Die gibt etwas zu tun….

Bei einem Sportwettkampf wurden an n aufeinanderfolgenden Tagen (n > 1) m Medaillen vergeben. Am ersten Tag wurden eine Medaille und 1/7 der verbleibenden m-1 Medaillen vergeben. Am zweiten Tag wurden zwei Medaillen und 1/7 der nun verbleibenden Medaillen vergeben; und so weiter. Am n-ten und letzten Tag wurden die verbleibenden n Medaillen vergeben. Wie viele Tage dauerte der Wettkampf und wie viele Medaillen wurden insgesamt vergeben?

Spoiler

36 je 6 an 6 Tagen.


Dass 36 die einzige Lösung ist, daran arbeite ich noch.

So schnell. Unglaublich. Zu zeigen, dass es die einzige Lösung ist wird bei dir nicht mehr als ein paar Minütli dauern.
PS
Wie bist du auf die Lösung gekommen?

[kad]

Beweise, dass es aus einer Menge von zehn verschiedenen zweistelligen Zahlen (im Dezimalsystem) möglich ist, 2 disjunkte Teilmengen auszuwählen, deren Elemente die gleiche Summe haben.