Rechenaufgaben

[giffi marauder]

Spoiler

Beide dürfen noch ein bisschen hirnen bezüglich der Anzahl.


@eisrose: Erstes mal nach ungefähr 16 Minuten….. stimmt. Kannst du es genauer sagen

Spoiler

Genau sinds
90=s/12-s/120
90*120=11s
s=981,81
0:16:21,81 (rechts der zwölf)
Für das letzte mal dann 23:43:38,19 (links der zwölf)

Da man ca. 16 Minuten für eine Differenz von 90 Grad benötigt, sinds ca. 32 Minuten für ein DIfferenz von -90 auf +90 Grad

Dies ist also die notwendige Zeit für den Minutenzeiger von senkrecht zu senkrecht.
Binnen 24h kann dieser Weg somit nur 24*60*60/(2*981,81)=44 mal zurückgelegt werden.

[giffi marauder]

Spoiler

Mein erste Lösung war somit doppelt falsch.
Richtig hingegen war:
-> Erstes Treffen nach 1h 5 min 27,27 Sekunden

Logischerweise gilt diese Zeitdifferenz von 3.927,27 Sekunden nicht nur für das erste sondern auch für jedes weitere Treffen der beiden Zeiger.
Binnen 24h treffen sich die beiden Zeiger also nur 22 mal (inkl. 0:00, excl. 24:00)
Wenn sie dann 16 min vor und 16 min nach jedem Treffen "senkrecht" zueinander stehen, tun sie das 44 mal.

[kad]

Die erste Ziffer einer bestimmten 8-stelligen ganzen Zahl N ist die Anzahl der Nullen in der (gewöhnlichen, dezimalen) Darstellung von N. Die zweite Ziffer ist die Anzahl der Einsen, die dritte die Anzahl der Zweien, die vierte die Anzahl der Dreien, die fünfte die Anzahl der Vieren, die sechste die Anzahl der Fünfen, die siebte die Anzahl der Sechsen und die achte schließlich ist die Gesamtzahl der verschiedenen Ziffern in N. Was ist N?

[giffi marauder]

Die erste Ziffer einer bestimmten 8-stelligen ganzen Zahl N ist die Anzahl der Nullen in der (gewöhnlichen, dezimalen) Darstellung von N. Die zweite Ziffer ist die Anzahl der Einsen, die dritte die Anzahl der Zweien, die vierte die Anzahl der Dreien, die fünfte die Anzahl der Vieren, die sechste die Anzahl der Fünfen, die siebte die Anzahl der Sechsen und die achte schließlich ist die Gesamtzahl der verschiedenen Ziffern in N. Was ist N?

Spoiler

(erste Ziffer ist hier links)
0123456V
23110105


Excel ist dein Freund
mit ein bisschen "zählen wenn" und die Anzahl der verschiedenen Zahlen per Hand
konvergiert die Lösung überraschend schnell.

Unbenannt.png (6.92 KiB) 415 mal betrachtet

[kad]

Spoiler

Beide dürfen noch ein bisschen hirnen bezüglich der Anzahl.


@eisrose: Erstes mal nach ungefähr 16 Minuten….. stimmt. Kannst du es genauer sagen

Spoiler

Genau sinds
90=s/12-s/120
90*120=11s
s=981,81
0:16:21,81 (rechts der zwölf)
Für das letzte mal dann 23:43:38,19 (links der zwölf)

Da man ca. 16 Minuten für eine Differenz von 90 Grad benötigt, sinds ca. 32 Minuten für ein DIfferenz von -90 auf +90 Grad

Dies ist also die notwendige Zeit für den Minutenzeiger von senkrecht zu senkrecht.
Binnen 24h kann dieser Weg somit nur 24*60*60/(2*981,81)=44 mal zurückgelegt werden.

Stimmt genau!

Spoiler

In der ersten Zeile wolltest du wahrscheinlich schreiben

90=s/10 - s/120



Zu 44 könnte man auch so kommen:

In 24 Stunden vollführt der Stundenzeiger zwei, der Minutenzeiger 24
Umdrehungen auf dem Ziffernblatt. Wenn wir die Uhr so mitdrehen, dass der Stundenzeiger immer nach oben zeigt, sieht man folglich (wegen des gleichen Drehsinns) den Minutenzeiger 22 Umdrehungen machen. Während jeder dieser Umdrehungen steht er genau zweimal senkrecht zum Stundenzeiger, nämlich einmal nach rechts und einmal nach links zeigend. Insgesamt stehen die beiden Zeiger also am Tag genau 44-mal senkrecht zueinander.

Zum Zeitpunkt

Eine andere Möglichkeit, diesen Zeitpunkt zu berechnen, wäre übrigens die folgende:
Drehen wir die Uhr nach wie vor so mit, dass der Stundenzeiger immer nach oben
zeigt, so brauchen wir nur den Zeitpunkt zu bestimmen, an dem der Minutenzeiger
eine Vierteldrehung vollführt hat. Da er sich, wie oben gesehen, in 24 Stunden genau
22-mal dreht, braucht er für diese Vierteldrehung genau 1/4 * 24/22 = 3/11 Stunden, was
wieder 180/11 Minuten entspricht.

[kad]

Die erste Ziffer einer bestimmten 8-stelligen ganzen Zahl N ist die Anzahl der Nullen in der (gewöhnlichen, dezimalen) Darstellung von N. Die zweite Ziffer ist die Anzahl der Einsen, die dritte die Anzahl der Zweien, die vierte die Anzahl der Dreien, die fünfte die Anzahl der Vieren, die sechste die Anzahl der Fünfen, die siebte die Anzahl der Sechsen und die achte schließlich ist die Gesamtzahl der verschiedenen Ziffern in N. Was ist N?

Spoiler

(erste Ziffer ist hier links)
0123456V
23110105


Excel ist dein Freund
mit ein bisschen "zählen wenn" und die Anzahl der verschiedenen Zahlen per Hand
konvergiert die Lösung überraschend schnell.

Unbenannt.png

Perfekt

Spoiler

Es ist unbekannt, ob deine Methode bei jeder Anfangszahl konvergiert.

[kad]

Eine Motte setzt sich auf die „12“ eines Zifferblatts und beginnt, nach dem Zufallsprinzip um das Zifferblatt zu laufen. Jedes Mal, wenn sie eine Zahl erreicht, geht sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit zur nächsten Zahl im Uhrzeigersinn oder zur nächsten Zahl gegen den Uhrzeigersinn weiter. So geht es weiter, bis sie bei jeder Zahl gewesen ist.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Motte bei der Zahl "6" endet?

[giffi marauder]

Eine Motte setzt sich auf die „12“ eines Zifferblatts und beginnt, nach dem Zufallsprinzip um das Zifferblatt zu laufen. Jedes Mal, wenn sie eine Zahl erreicht, geht sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit zur nächsten Zahl im Uhrzeigersinn oder zur nächsten Zahl gegen den Uhrzeigersinn weiter. So geht es weiter, bis sie bei jeder Zahl gewesen ist.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Motte bei der Zahl "6" endet?

Spoiler

Mal ein paar Überlegungen zum Aufwärmen.
Erst reduzieren wir die Uhr mal auf 0,3,6,9 um nicht gleich den Überblick zu verlieren.
Dann sehen wir uns einige Wege (Ketten) mit unterschiedlichen Längen an.
1. Stelle: immer 0
2. Stelle: 3 (50%) oder 9 (50%)
3. Stelle: 0 (50%) oder 6 (50%)
4. Stelle: 3 (50%) oder 9 (50%)
Offensichtlich enden Viererketten immer auf 3 oder 9 und nie auf 6
5. Stelle: 0 (50%) oder 6 (50%)
Hier ist die 6 das erste Mal als letzte Zahl in einer "fertigen" Kette.

Von den 16 möglichen 5'ern enden
4 schon vorher (je zwei mit 3 oder 9)
2 auf 6.
10 noch nicht, aber davon
3x "069" -> Enden irgendwann auf 3
3x "036" -> Enden irgendwann auf 9
2x "093" -> Enden irgendwann auf 6
1x "09" -> Enden irgendwann auf 3 oder 6
1x "03" -> Enden irgendwann auf 9 oder 6

Nach 4 Zügen wissen wir also
5x endet auf 3
5x endet auf 9
4x endet auf 6
2x endet zu 50% auf 6 (und zu je 25% auf 3 oder 9)

Was dann sysnomym wäre zu:
endet auf 0: 0%
endet auf 3/9: je 5,5/16 = 34,4% (>1/3)
endet auf 6: 5/16 = 31,25% (<1/3)

Umgelegt auf die ganze Uhr wäre dann die Wahrscheinlichkeit für die 6 als letzte Ziffer
etwas kleiner als 1/11 also um die 9%.

Just a guess.

[kad]

Eine Motte setzt sich auf die „12“ eines Zifferblatts und beginnt, nach dem Zufallsprinzip um das Zifferblatt zu laufen. Jedes Mal, wenn sie eine Zahl erreicht, geht sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit zur nächsten Zahl im Uhrzeigersinn oder zur nächsten Zahl gegen den Uhrzeigersinn weiter. So geht es weiter, bis sie bei jeder Zahl gewesen ist.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Motte bei der Zahl "6" endet?

Spoiler

Mal ein paar Überlegungen zum Aufwärmen.
Erst reduzieren wir die Uhr mal auf 0,3,6,9 um nicht gleich den Überblick zu verlieren.
Dann sehen wir uns einige Wege (Ketten) mit unterschiedlichen Längen an.
1. Stelle: immer 0
2. Stelle: 3 (50%) oder 9 (50%)
3. Stelle: 0 (50%) oder 6 (50%)
4. Stelle: 3 (50%) oder 9 (50%)
Offensichtlich enden Viererketten immer auf 3 oder 9 und nie auf 6
5. Stelle: 0 (50%) oder 6 (50%)
Hier ist die 6 das erste Mal als letzte Zahl in einer "fertigen" Kette.

Von den 16 möglichen 5'ern enden
4 schon vorher (je zwei mit 3 oder 9)
2 auf 6.
10 noch nicht, aber davon
3x "069" -> Enden irgendwann auf 3
3x "036" -> Enden irgendwann auf 9
2x "093" -> Enden irgendwann auf 6
1x "09" -> Enden irgendwann auf 3 oder 6
1x "03" -> Enden irgendwann auf 9 oder 6

Nach 4 Zügen wissen wir also
5x endet auf 3
5x endet auf 9
4x endet auf 6
2x endet zu 50% auf 6 (und zu je 25% auf 3 oder 9)

Was dann sysnomym wäre zu:
endet auf 0: 0%
endet auf 3/9: je 5,5/16 = 34,4% (>1/3)
endet auf 6: 5/16 = 31,25% (<1/3)

Umgelegt auf die ganze Uhr wäre dann die Wahrscheinlichkeit für die 6 als letzte Ziffer
etwas kleiner als 1/11 also um die 9%.

Just a guess.

Spoiler

Sogar genau 1/11!
Ohne Rechnung

Keine Überraschung: Es lohnt sich, darüber nachzudenken, wie der Prozess endet. Verallgemeinern wir ein wenig und denken wir über die Wahrscheinlichkeit nach, dass die Tour der Motte bei i endet, wobei i eine beliebige Zahl auf dem Zifferblatt außer 12 ist. Nehmen wir an, die Motte kommt zum ersten Mal in die Nähe von i. Nehmen wir an, dies geschieht, wenn die Motte i - 1 erreicht (das Argument ist ähnlich, wenn es bei i + 1 geschieht). Dann ist i die letzte besuchte Zahl, und zwar nur dann, wenn die Motte ganz bis i+1 kommt, bevor sie i erreicht. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses hängt jedoch nicht von i ab. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Tour bei 6 endet, ist also dieselbe wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie bei jeder anderen Zahl außer 12 endet. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Reise der Motte bei 6 endet, ist also 1/11.

[kad]

In Vorbereitung einer Werbekampagne muss die Strausseneier Ltd. ihre Eier auf ihre Härte testen. Der Weltstandard für die Härte von Eiern sieht vor, dass ein Ei nach dem höchsten Stockwerk des Empire State Building bewertet wird, aus dem das Ei fallen kann, ohne zu zerbrechen. Oskar, der offizielle Tester von Strausseneier Ltd. stellt fest, dass er, wenn er nur ein Ei auf seine Reise nach New York mitnimmt, dieses aus (potenziell) jedem der 102 Stockwerke des Gebäudes fallen lassen muss, beginnend mit dem ersten, um seine Bewertung zu ermitteln. Wie viele Versuche braucht er im schlechtesten Fall, wenn er zwei Eier mitnimmt?

[giffi marauder]

Eine Motte setzt sich auf die „12“ eines Zifferblatts und beginnt, nach dem Zufallsprinzip um das Zifferblatt zu laufen. Jedes Mal, wenn sie eine Zahl erreicht, geht sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit zur nächsten Zahl im Uhrzeigersinn oder zur nächsten Zahl gegen den Uhrzeigersinn weiter. So geht es weiter, bis sie bei jeder Zahl gewesen ist.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Motte bei der Zahl "6" endet?

Spoiler

Mal ein paar Überlegungen zum Aufwärmen.
Erst reduzieren wir die Uhr mal auf 0,3,6,9 um nicht gleich den Überblick zu verlieren.
Dann sehen wir uns einige Wege (Ketten) mit unterschiedlichen Längen an.
1. Stelle: immer 0
2. Stelle: 3 (50%) oder 9 (50%)
3. Stelle: 0 (50%) oder 6 (50%)
4. Stelle: 3 (50%) oder 9 (50%)
Offensichtlich enden Viererketten immer auf 3 oder 9 und nie auf 6
5. Stelle: 0 (50%) oder 6 (50%)
Hier ist die 6 das erste Mal als letzte Zahl in einer "fertigen" Kette.

Von den 16 möglichen 5'ern enden
4 schon vorher (je zwei mit 3 oder 9)
2 auf 6.
10 noch nicht, aber davon
3x "069" -> Enden irgendwann auf 3
3x "036" -> Enden irgendwann auf 9
2x "093" -> Enden irgendwann auf 6
1x "09" -> Enden irgendwann auf 3 oder 6
1x "03" -> Enden irgendwann auf 9 oder 6

Nach 4 Zügen wissen wir also
5x endet auf 3
5x endet auf 9
4x endet auf 6
2x endet zu 50% auf 6 (und zu je 25% auf 3 oder 9)

Was dann sysnomym wäre zu:
endet auf 0: 0%
endet auf 3/9: je 5,5/16 = 34,4% (>1/3)
endet auf 6: 5/16 = 31,25% (<1/3)

Umgelegt auf die ganze Uhr wäre dann die Wahrscheinlichkeit für die 6 als letzte Ziffer
etwas kleiner als 1/11 also um die 9%.

Just a guess.

Spoiler

Sogar genau 1/11!
Ohne Rechnung

Keine Überraschung: Es lohnt sich, darüber nachzudenken, wie der Prozess endet. Verallgemeinern wir ein wenig und denken wir über die Wahrscheinlichkeit nach, dass die Tour der Motte bei i endet, wobei i eine beliebige Zahl auf dem Zifferblatt außer 12 ist. Nehmen wir an, die Motte kommt zum ersten Mal in die Nähe von i. Nehmen wir an, dies geschieht, wenn die Motte i - 1 erreicht (das Argument ist ähnlich, wenn es bei i + 1 geschieht). Dann ist i die letzte besuchte Zahl, und zwar nur dann, wenn die Motte ganz bis i+1 kommt, bevor sie i erreicht. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses hängt jedoch nicht von i ab. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Tour bei 6 endet, ist also dieselbe wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie bei jeder anderen Zahl außer 12 endet. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Reise der Motte bei 6 endet, ist also 1/11.

Klingt einleuchten, ich bin mir aber noch nicht sicher, ob ich dem zustimme.

[kad]

Eine Motte setzt sich auf die „12“ eines Zifferblatts und beginnt, nach dem Zufallsprinzip um das Zifferblatt zu laufen. Jedes Mal, wenn sie eine Zahl erreicht, geht sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit zur nächsten Zahl im Uhrzeigersinn oder zur nächsten Zahl gegen den Uhrzeigersinn weiter. So geht es weiter, bis sie bei jeder Zahl gewesen ist.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Motte bei der Zahl "6" endet?

Spoiler

Mal ein paar Überlegungen zum Aufwärmen.
Erst reduzieren wir die Uhr mal auf 0,3,6,9 um nicht gleich den Überblick zu verlieren.
Dann sehen wir uns einige Wege (Ketten) mit unterschiedlichen Längen an.
1. Stelle: immer 0
2. Stelle: 3 (50%) oder 9 (50%)
3. Stelle: 0 (50%) oder 6 (50%)
4. Stelle: 3 (50%) oder 9 (50%)
Offensichtlich enden Viererketten immer auf 3 oder 9 und nie auf 6
5. Stelle: 0 (50%) oder 6 (50%)
Hier ist die 6 das erste Mal als letzte Zahl in einer "fertigen" Kette.

Von den 16 möglichen 5'ern enden
4 schon vorher (je zwei mit 3 oder 9)
2 auf 6.
10 noch nicht, aber davon
3x "069" -> Enden irgendwann auf 3
3x "036" -> Enden irgendwann auf 9
2x "093" -> Enden irgendwann auf 6
1x "09" -> Enden irgendwann auf 3 oder 6
1x "03" -> Enden irgendwann auf 9 oder 6

Nach 4 Zügen wissen wir also
5x endet auf 3
5x endet auf 9
4x endet auf 6
2x endet zu 50% auf 6 (und zu je 25% auf 3 oder 9)

Was dann sysnomym wäre zu:
endet auf 0: 0%
endet auf 3/9: je 5,5/16 = 34,4% (>1/3)
endet auf 6: 5/16 = 31,25% (<1/3)

Umgelegt auf die ganze Uhr wäre dann die Wahrscheinlichkeit für die 6 als letzte Ziffer
etwas kleiner als 1/11 also um die 9%.

Just a guess.

Spoiler

Sogar genau 1/11!
Ohne Rechnung

Keine Überraschung: Es lohnt sich, darüber nachzudenken, wie der Prozess endet. Verallgemeinern wir ein wenig und denken wir über die Wahrscheinlichkeit nach, dass die Tour der Motte bei i endet, wobei i eine beliebige Zahl auf dem Zifferblatt außer 12 ist. Nehmen wir an, die Motte kommt zum ersten Mal in die Nähe von i. Nehmen wir an, dies geschieht, wenn die Motte i - 1 erreicht (das Argument ist ähnlich, wenn es bei i + 1 geschieht). Dann ist i die letzte besuchte Zahl, und zwar nur dann, wenn die Motte ganz bis i+1 kommt, bevor sie i erreicht. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses hängt jedoch nicht von i ab. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Tour bei 6 endet, ist also dieselbe wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie bei jeder anderen Zahl außer 12 endet. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Reise der Motte bei 6 endet, ist also 1/11.

Klingt einleuchten, ich bin mir aber noch nicht sicher, ob ich dem zustimme.

So kenne ich dich gar nicht. Du lässt dich dich sonst von schlüssiger Beweisführung überzeugen! Was ist passiert? Kann ich helfen?

[giffi marauder]

Eine Motte setzt sich auf die „12“ eines Zifferblatts und beginnt, nach dem Zufallsprinzip um das Zifferblatt zu laufen. Jedes Mal, wenn sie eine Zahl erreicht, geht sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit zur nächsten Zahl im Uhrzeigersinn oder zur nächsten Zahl gegen den Uhrzeigersinn weiter. So geht es weiter, bis sie bei jeder Zahl gewesen ist.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Motte bei der Zahl "6" endet?

Spoiler

Mal ein paar Überlegungen zum Aufwärmen.
Erst reduzieren wir die Uhr mal auf 0,3,6,9 um nicht gleich den Überblick zu verlieren.
Dann sehen wir uns einige Wege (Ketten) mit unterschiedlichen Längen an.
1. Stelle: immer 0
2. Stelle: 3 (50%) oder 9 (50%)
3. Stelle: 0 (50%) oder 6 (50%)
4. Stelle: 3 (50%) oder 9 (50%)
Offensichtlich enden Viererketten immer auf 3 oder 9 und nie auf 6
5. Stelle: 0 (50%) oder 6 (50%)
Hier ist die 6 das erste Mal als letzte Zahl in einer "fertigen" Kette.

Von den 16 möglichen 5'ern enden
4 schon vorher (je zwei mit 3 oder 9)
2 auf 6.
10 noch nicht, aber davon
3x "069" -> Enden irgendwann auf 3
3x "036" -> Enden irgendwann auf 9
2x "093" -> Enden irgendwann auf 6
1x "09" -> Enden irgendwann auf 3 oder 6
1x "03" -> Enden irgendwann auf 9 oder 6

Nach 4 Zügen wissen wir also
5x endet auf 3
5x endet auf 9
4x endet auf 6
2x endet zu 50% auf 6 (und zu je 25% auf 3 oder 9)

Was dann sysnomym wäre zu:
endet auf 0: 0%
endet auf 3/9: je 5,5/16 = 34,4% (>1/3)
endet auf 6: 5/16 = 31,25% (<1/3)

Umgelegt auf die ganze Uhr wäre dann die Wahrscheinlichkeit für die 6 als letzte Ziffer
etwas kleiner als 1/11 also um die 9%.

Just a guess.

Spoiler

Sogar genau 1/11!
Ohne Rechnung

Keine Überraschung: Es lohnt sich, darüber nachzudenken, wie der Prozess endet. Verallgemeinern wir ein wenig und denken wir über die Wahrscheinlichkeit nach, dass die Tour der Motte bei i endet, wobei i eine beliebige Zahl auf dem Zifferblatt außer 12 ist. Nehmen wir an, die Motte kommt zum ersten Mal in die Nähe von i. Nehmen wir an, dies geschieht, wenn die Motte i - 1 erreicht (das Argument ist ähnlich, wenn es bei i + 1 geschieht). Dann ist i die letzte besuchte Zahl, und zwar nur dann, wenn die Motte ganz bis i+1 kommt, bevor sie i erreicht. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses hängt jedoch nicht von i ab. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Tour bei 6 endet, ist also dieselbe wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie bei jeder anderen Zahl außer 12 endet. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Reise der Motte bei 6 endet, ist also 1/11.

Klingt einleuchten, ich bin mir aber noch nicht sicher, ob ich dem zustimme.

So kenne ich dich gar nicht. Du lässt dich dich sonst von schlüssiger Beweisführung überzeugen! Was ist passiert? Kann ich helfen?

Spoiler

Die Idee dahinter habe ich schon verstanden und wenn der Startpunkt nicht immer die zwölf sondern auch rein zufällig wäre,
würde ich dir uneingeschränkt recht geben, dass die Wahrscheinlichkeit für alle Zahlen gleich 1/12 ist.

Nun starten wir aber immer von der 12 und die i sind unterschiedlich weit weg davon.

Die kürzeste Kette für ein beiliebieges i ist
1.Teil: einmal die kürzeste Strecke von der 12 bis zur Zahl vor dem i und
2.Teil: dann noch mal 11 Hopser in die Gegenrichtung.
Je weiter i von der 12 weg ist, umso länger wird der erste Teil und somit der kürzeste Weg.
L(1,11)=11 (0+11)
L(2,19)=12 (1+11)
...
L(6) = 17 (6+11)
Deine Betrachtung stütz sich auf die Gleichwahrscheinlichkeit des 2. Teiles, der ja für alle Zahlen auch gleich lang ist.
Unschlüssig bin ich mir, ob man den erste Teil tatsächlich völlig ignorieren kann
oder als Vorbedingung für den 2. Teil sehen muss, womit dessen (gleiche) Wahrscheinlichkeit
eine bedingte Wahrscheinlichkeit wäre.

Wenn dem so wäre, könnt es sein, dass die Wahrscheinlichkeit je nach Entfernung sukzessive abnimmt.
W(1,11)>W(2,10)>...>W(11)

Das wär dann wieder "konterintuitiv" wie schon bei einigen Rätseln vorher.
Ev. mit der Erklärung dass kürzere Strecken häufiger auftreten als längere.

Meine "kleine" Uhr läßt da noch nicht allzuviele Rückschlüsse zu.
Wenn mir fad ist, Ich werd mir das mit 12,2,4,6,8,10 mal ansehen ob
W(2,10)=W(4,8)=W(6) oder
W(2,10)>W(4,8)>W(6) gilt.

[kad]

Eine Motte setzt sich auf die „12“ eines Zifferblatts und beginnt, nach dem Zufallsprinzip um das Zifferblatt zu laufen. Jedes Mal, wenn sie eine Zahl erreicht, geht sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit zur nächsten Zahl im Uhrzeigersinn oder zur nächsten Zahl gegen den Uhrzeigersinn weiter. So geht es weiter, bis sie bei jeder Zahl gewesen ist.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Motte bei der Zahl "6" endet?

Spoiler

Mal ein paar Überlegungen zum Aufwärmen.
Erst reduzieren wir die Uhr mal auf 0,3,6,9 um nicht gleich den Überblick zu verlieren.
Dann sehen wir uns einige Wege (Ketten) mit unterschiedlichen Längen an.
1. Stelle: immer 0
2. Stelle: 3 (50%) oder 9 (50%)
3. Stelle: 0 (50%) oder 6 (50%)
4. Stelle: 3 (50%) oder 9 (50%)
Offensichtlich enden Viererketten immer auf 3 oder 9 und nie auf 6
5. Stelle: 0 (50%) oder 6 (50%)
Hier ist die 6 das erste Mal als letzte Zahl in einer "fertigen" Kette.

Von den 16 möglichen 5'ern enden
4 schon vorher (je zwei mit 3 oder 9)
2 auf 6.
10 noch nicht, aber davon
3x "069" -> Enden irgendwann auf 3
3x "036" -> Enden irgendwann auf 9
2x "093" -> Enden irgendwann auf 6
1x "09" -> Enden irgendwann auf 3 oder 6
1x "03" -> Enden irgendwann auf 9 oder 6

Nach 4 Zügen wissen wir also
5x endet auf 3
5x endet auf 9
4x endet auf 6
2x endet zu 50% auf 6 (und zu je 25% auf 3 oder 9)

Was dann sysnomym wäre zu:
endet auf 0: 0%
endet auf 3/9: je 5,5/16 = 34,4% (>1/3)
endet auf 6: 5/16 = 31,25% (<1/3)

Umgelegt auf die ganze Uhr wäre dann die Wahrscheinlichkeit für die 6 als letzte Ziffer
etwas kleiner als 1/11 also um die 9%.

Just a guess.

Spoiler

Sogar genau 1/11!
Ohne Rechnung

Keine Überraschung: Es lohnt sich, darüber nachzudenken, wie der Prozess endet. Verallgemeinern wir ein wenig und denken wir über die Wahrscheinlichkeit nach, dass die Tour der Motte bei i endet, wobei i eine beliebige Zahl auf dem Zifferblatt außer 12 ist. Nehmen wir an, die Motte kommt zum ersten Mal in die Nähe von i. Nehmen wir an, dies geschieht, wenn die Motte i - 1 erreicht (das Argument ist ähnlich, wenn es bei i + 1 geschieht). Dann ist i die letzte besuchte Zahl, und zwar nur dann, wenn die Motte ganz bis i+1 kommt, bevor sie i erreicht. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses hängt jedoch nicht von i ab. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Tour bei 6 endet, ist also dieselbe wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie bei jeder anderen Zahl außer 12 endet. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Reise der Motte bei 6 endet, ist also 1/11.

Klingt einleuchten, ich bin mir aber noch nicht sicher, ob ich dem zustimme.

So kenne ich dich gar nicht. Du lässt dich dich sonst von schlüssiger Beweisführung überzeugen! Was ist passiert? Kann ich helfen?

Spoiler

Die Idee dahinter habe ich schon verstanden und wenn der Startpunkt nicht immer die zwölf sondern auch rein zufällig wäre,
würde ich dir uneingeschränkt recht geben, dass die Wahrscheinlichkeit für alle Zahlen gleich 1/12 ist.

Nun starten wir aber immer von der 12 und die i sind unterschiedlich weit weg davon.

Die kürzeste Kette für ein beiliebieges i ist
1.Teil: einmal die kürzeste Strecke von der 12 bis zur Zahl vor dem i und
2.Teil: dann noch mal 11 Hopser in die Gegenrichtung.
Je weiter i von der 12 weg ist, umso länger wird der erste Teil und somit der kürzeste Weg.
L(1,11)=11 (0+11)
L(2,19)=12 (1+11)
...
L(6) = 17 (6+11)
Deine Betrachtung stütz sich auf die Gleichwahrscheinlichkeit des 2. Teiles, der ja für alle Zahlen auch gleich lang ist.
Unschlüssig bin ich mir, ob man den erste Teil tatsächlich völlig ignorieren kann
oder als Vorbedingung für den 2. Teil sehen muss, womit dessen (gleiche) Wahrscheinlichkeit
eine bedingte Wahrscheinlichkeit wäre.

Wenn dem so wäre, könnt es sein, dass die Wahrscheinlichkeit je nach Entfernung sukzessive abnimmt.
W(1,11)>W(2,10)>...>W(11)

Das wär dann wieder "konterintuitiv" wie schon bei einigen Rätseln vorher.
Ev. mit der Erklärung dass kürzere Strecken häufiger auftreten als längere.

Meine "kleine" Uhr läßt da noch nicht allzuviele Rückschlüsse zu.
Wenn mir fad ist, Ich werd mir das mit 12,2,4,6,8,10 mal ansehen ob
W(2,10)=W(4,8)=W(6) oder
W(2,10)>W(4,8)>W(6) gilt.

Spoiler

Was vielleicht hilft. Schaue Teil 1 nicht durch die Brille Wahrscheinlichkeit, sondern durch die Brille Erwartungswert an.
Sei E(i-1, 12) die erwartete Anzahl „Sprünge“ der Motte von der Zahl 12 zur Zahl i-1 (ohne, dass sie i besucht).
Dieser Erwartungswert hängt klarerweise von 12 und i ab und ist nicht für alle i gleich gross.
Wenn die Motte aber einmal auf i-1 (oder i+1) ist, fängt Teil 2 an, der unabhängig von i ist.

Teil 2 fängt für unterschiedliche i, früher oder später an. Aber es gibt keine bedingte Wahrscheinlichkeit.

[giffi marauder]

Mal wieder was Leichteres zum Rechnen:

Wer das Oktoberfest kennt, weiss, dass die Wiesn ziemlich weitläufig ist.

Nach einer Mass im Festzelt "Tradition" auf der "Oidn Wiesn" macht sich Franz (mit konstanter Geschwindigkeit) auf den Weg zum "Fischer Vroni".
Zur gleichen Zeit bricht der Sepp von der "Fischer Vroni" in Richtung "Tradition" auf.
Bis zum Treffpunkt legt Franz 200 Meter mehr als Sepp zurück.
Nach einem Gespräch gehen sie weiter, wegen Nachsinnen über das zufällige Treffen aber jeweils nur noch mit halber Geschwindigkeit.
Der Franz benötigt noch 8 Minuten bis zur "Fischer Vroni", der Sepp noch 18 Minuten bis zum "Tradition".

Wie weit liegen die beiden Orte auseinander?