Rechenaufgaben

[Eisrose]

Mal in Anlehnung an giffis Aufgabe:

Gegeben sei ein Haus mit einem ganz langem Gang mit 100 Türen, durchnummeriert von 1 bis 100. Durch diesen Gang gehen nacheinander 100 Personen. Die erste Person öffnet jede Tür. Die zweite Person schliesst jede zweite Tür wieder, also Tür 2,4,6,8, usw.. Die dritte Person öffnet jede geschlossene Tür und schliesst jede offene Tür und das bei jeder dritten Tür. Die dritte Person öffnet oder schliesst also die Türen 3,6,9,12,15 usw.. So auch die vierte Person: die vierte Person öffnet jede geschlossene Tür und schliesst jede offene Tür und das bei jeder vierten Tür. Die vierte Person öffnet oder schliesst also die Türen 4,8,12,16,20 usw.. Und so geht es weiter bis zur hundertsten Person, die dann die hundertste Tür öffnet oder schliesst, je nach dem, wie sie die Tür vorfindet.

Welche Türen sind am Ende offen?

Zusatzfrage: Wenn man das gleiche mit 1000 Türen und 1000 Personen macht, ist dann ganz am Ende Tür 576 offen oder geschlossen?

[kad]

Mal in Anlehnung an giffis Aufgabe:

Gegeben sei ein Haus mit einem ganz langem Gang mit 100 Türen, durchnummeriert von 1 bis 100. Durch diesen Gang gehen nacheinander 100 Personen. Die erste Person öffnet jede Tür. Die zweite Person schliesst jede zweite Tür wieder, also Tür 2,4,6,8, usw.. Die dritte Person öffnet jede geschlossene Tür und schliesst jede offene Tür und das bei jeder dritten Tür. Die dritte Person öffnet oder schliesst also die Türen 3,6,9,12,15 usw.. So auch die vierte Person: die vierte Person öffnet jede geschlossene Tür und schliesst jede offene Tür und das bei jeder vierten Tür. Die vierte Person öffnet oder schliesst also die Türen 4,8,12,16,20 usw.. Und so geht es weiter bis zur hundertsten Person, die dann die hundertste Tür öffnet oder schliesst, je nach dem, wie sie die Tür vorfindet.

Welche Türen sind am Ende offen?

Zusatzfrage: Wenn man das gleiche mit 1000 Türen und 1000 Personen macht, ist dann ganz am Ende Tür 576 offen oder geschlossen?

Spoiler

Ausprobieren mit kleinen Zahlen (zb mit 20 Türen und 20 Personen) lässt vermuten, dass die Türen, welche eine Quadratzahlnummer haben, geöffnet sind, am Schluss.
Und wenn man ausprobiert und mit Strichlein arbeitet (1 Strichlein, wenn Türe geöffnet oder geschlossen wird), entdeckt man ein Muster, welches genau die Quadratzahlen erfüllen. Ungerade Anzahl Strichlein, dh Teiler. Ungerade Anzahl Teiler bedeutet, dass die Türe von ungerader Anzahl Personen geöffnet/geschlossen wird und darum am Schluss offen ist. Also sind offen:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
Zusatzfrage: ditto und 576 ist Quadratzahl, also ist die Türe offen. Und es würde reichen nur die ersten 576 Personen arbeiten zu lassen……

[Eisrose]

Mal in Anlehnung an giffis Aufgabe:

Gegeben sei ein Haus mit einem ganz langem Gang mit 100 Türen, durchnummeriert von 1 bis 100. Durch diesen Gang gehen nacheinander 100 Personen. Die erste Person öffnet jede Tür. Die zweite Person schliesst jede zweite Tür wieder, also Tür 2,4,6,8, usw.. Die dritte Person öffnet jede geschlossene Tür und schliesst jede offene Tür und das bei jeder dritten Tür. Die dritte Person öffnet oder schliesst also die Türen 3,6,9,12,15 usw.. So auch die vierte Person: die vierte Person öffnet jede geschlossene Tür und schliesst jede offene Tür und das bei jeder vierten Tür. Die vierte Person öffnet oder schliesst also die Türen 4,8,12,16,20 usw.. Und so geht es weiter bis zur hundertsten Person, die dann die hundertste Tür öffnet oder schliesst, je nach dem, wie sie die Tür vorfindet.

Welche Türen sind am Ende offen?

Zusatzfrage: Wenn man das gleiche mit 1000 Türen und 1000 Personen macht, ist dann ganz am Ende Tür 576 offen oder geschlossen?

Spoiler

Ausprobieren mit kleinen Zahlen (zb mit 20 Türen und 20 Personen) lässt vermuten, dass die Türen, welche eine Quadratzahlnummer haben, geöffnet sind, am Schluss.
Und wenn man ausprobiert und mit Strichlein arbeitet (1 Strichlein, wenn Türe geöffnet oder geschlossen wird), entdeckt man ein Muster, welches genau die Quadratzahlen erfüllen. Ungerade Anzahl Strichlein, dh Teiler. Ungerade Anzahl Teiler bedeutet, dass die Türe von ungerader Anzahl Personen geöffnet/geschlossen wird und darum am Schluss offen ist. Also sind offen:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
Zusatzfrage: ditto und 576 ist Quadratzahl, also ist die Türe offen. Und es würde reichen nur die ersten 576 Personen arbeiten zu lassen……

Perfekt!

[kad]

giffi hat schon Recht, einige Aufgaben sind noch offen. Trotzdem eine weitere, in der Hoffnung, dass es euch wie mir ergeht: wenn ich viel zu tun habe, werde ich effizienter und manchmal sogar effektiver.

Eine natürliche Zahl heisst “interessant“, wenn sie durch alle ihre Ziffern teilbar ist. So ist zum Beispiel 24 interessant, weil sie durch 2 und 4 teilbar ist, hingegen sind 28, 31 und 71 nicht interessant.
Was ist die Summe aller interessanten Zahlen zwischen 10 und 100?

[Eisrose]

giffi hat schon Recht, einige Aufgaben sind noch offen. Trotzdem eine weitere, in der Hoffnung, dass es euch wie mir ergeht: wenn ich viel zu tun habe, werde ich effizienter(und manchmal sogar effektiver.

Eine natürliche Zahl heisst “interessant“, wenn sie durch alle ihre Ziffern teilbar ist. So ist zum Beispiel 24 interessant, weil sie durch 2 und 4 teilbar ist, hingegen sind 28, 31 und 71 nicht interessant.
Was ist die Summe aller interessanten Zahlen zwischen 10 und 100?

Spoiler

11,12,15,22,24,33,36,44,48,55,66,77,88,99

Summe: 630

Muss mir da jetzt was auffallen?

[kad]

giffi hat schon Recht, einige Aufgaben sind noch offen. Trotzdem eine weitere, in der Hoffnung, dass es euch wie mir ergeht: wenn ich viel zu tun habe, werde ich effizienter(und manchmal sogar effektiver.

Eine natürliche Zahl heisst “interessant“, wenn sie durch alle ihre Ziffern teilbar ist. So ist zum Beispiel 24 interessant, weil sie durch 2 und 4 teilbar ist, hingegen sind 28, 31 und 71 nicht interessant.
Was ist die Summe aller interessanten Zahlen zwischen 10 und 100?

Spoiler

11,12,15,22,24,33,36,44,48,55,66,77,88,99

Summe: 630

Muss mir da jetzt was auffallen?

Spoiler

630 ist richtig. Gelöst.
Ich hätte die Aufgabe formulieren können von 10 bis eine sehr grosse Zahl. Dann wärst du mit brute force - selbst mit einem Programm - wahrscheinlich nicht mehr erfolgreich gewesen.
Und du hättest eine “geschlossenene” Form gesucht für die interessanten Zahlen. So wie zb beim giffi tumirnix Rätsel: f(n) = 2l+1

[Eisrose]

giffi hat schon Recht, einige Aufgaben sind noch offen. Trotzdem eine weitere, in der Hoffnung, dass es euch wie mir ergeht: wenn ich viel zu tun habe, werde ich effizienter(und manchmal sogar effektiver.

Eine natürliche Zahl heisst “interessant“, wenn sie durch alle ihre Ziffern teilbar ist. So ist zum Beispiel 24 interessant, weil sie durch 2 und 4 teilbar ist, hingegen sind 28, 31 und 71 nicht interessant.
Was ist die Summe aller interessanten Zahlen zwischen 10 und 100?

Spoiler

11,12,15,22,24,33,36,44,48,55,66,77,88,99

Summe: 630

Muss mir da jetzt was auffallen?

Spoiler

630 ist richtig. Gelöst.
Ich hätte die Aufgabe formulieren können von 10 bis eine sehr grosse Zahl. Dann wärst du mit brute force - selbst mit einem Programm - wahrscheinlich nicht mehr erfolgreich gewesen.
Und du hättest eine “geschlossenene” Form gesucht für die interessanten Zahlen. So wie zb beim giffi tumirnix Rätsel: f(n) = 2l+1

Spoiler

Wusst ich doch, dass ich da die Theorie dahinter nicht gesehen habe. Da muss giffi nochmal ran!

P.S. Also bei "von 10 bis 1000" kommt 24.182 raus und bei "bis 10.000" kommt dann 1.166.166. Für die Kontrolle

[Eisrose]

Hier vielleicht noch meine Lieblingsmatheaufgabe, die, wenn man weiss wies geht, absolut simpel zu lösen ist:

x! / 6! = 7!

[kad]

Hier vielleicht noch meine Lieblingsmatheaufgabe, die, wenn man weiss wies geht, absolut simpel zu lösen ist:

x! / 6! = 7!

Spoiler

x! / 6! = 7!
x! = 6! * 7!
x! = 720 * 7!
x! = 10*9*8* 7!
x! = 10!
x = 10

[Eisrose]

Hier vielleicht noch meine Lieblingsmatheaufgabe, die, wenn man weiss wies geht, absolut simpel zu lösen ist:

x! / 6! = 7!

Spoiler

x! / 6! = 7!
x! = 6! * 7!
x! = 720 * 7!
x! = 10*9*8* 7!
x! = 10!
x = 10

Spoiler

Das ist natürlich richtig!

Man kanns auch so rechnen:

x! / 6! = 7!
x! = 6! * 7!
x! = 6! * 1*2*3*4*5*6*7
x! = 6! * 1*2*3*4*5*(2*3)*7
x! = 6! * (7)*(2*4)*(3*3)*(1*2*5)
x! = 6! * 7*8*9*10
x! = 10!
x = 10

Noch besser gehts auf einem Blatt Papier, da kann man abhaken und durchstreichen, lach. Dann braucht man nur einen Rechenschritt.

P.S. Die Aufgabe stammt übrigens aus der Mathe-Olympiade.

[kad]

Finde alle vierstelligen Zahlen mit der Eigenschaft, dass die Zahl, die man
aus ihr durch Ziffernumkehr erhält, genau viermal so groß ist wie die ursprüngliche Zahl.
Gibt es auch eine 2005-stellige Zahl mit dieser Eigenschaft?

[Eisrose]

Finde alle vierstelligen Zahlen mit der Eigenschaft, dass die Zahl, die man
aus ihr durch Ziffernumkehr erhält, genau viermal so groß ist wie die ursprüngliche Zahl.
Gibt es auch eine 2005-stellige Zahl mit dieser Eigenschaft?

Spoiler

1000d+100c+10b+a = 4*(1000a+100b+10c+d)
1000d+100c+10b+a = 4000a+400b+40c+4d

a<=2 (sonst fünfstellig); a>0 (sonst dreistellig); a ist gerade (4x) ==> a=2 ==> d=8
b<=2 (sonst Übertrag); c>3 (4*8=32) ==> Ausprobieren ==> b=1; c=7

Ich vermute mal, mein Ausprobieren kann man noch begründen, lach.

Lösung: 2178

Check: 2178*4 = 8712

Spoiler

P.S. Zusatzfrage: Für a,b,c,d gelten die selben Eigenschaften auch bei längeren Zahlen. Ausprobieren zeigt, dass zwischen der 21 und 78 beliebig viele Neunen stehen können (21 999...999 78). Es gibt also eine 2005-stellige Zahl mit dieser Eigenschaft.

[kad]

Finde alle vierstelligen Zahlen mit der Eigenschaft, dass die Zahl, die man
aus ihr durch Ziffernumkehr erhält, genau viermal so groß ist wie die ursprüngliche Zahl.
Gibt es auch eine 2005-stellige Zahl mit dieser Eigenschaft?

Spoiler

1000d+100c+10b+a = 4*(1000a+100b+10c+d)
1000d+100c+10b+a = 4000a+400b+40c+4d

a<=2 (sonst fünfstellig); a>0 (sonst dreistellig); a ist gerade (4x) ==> a=2 ==> d=8
b<=2 (sonst Übertrag); c>3 (4*8=32) ==> Ausprobieren ==> b=1; c=7

Ich vermute mal, mein Ausprobieren kann man noch begründen, lach.

Lösung: 2178

Check: 2178*4 = 8712

Spoiler

P.S. Zusatzfrage: Für a,b,c,d gelten die selben Eigenschaften auch bei längeren Zahlen. Ausprobieren zeigt, dass zwischen der 21 und 78 beliebig viele Neunen stehen können (21 999...999 78). Es gibt also eine 2005-stellige Zahl mit dieser Eigenschaft.

Perfetto!

[kad]

Sport ist gesund. Denksport auch.

Roger Nadal und Rafael Federer stehen sich in einem Tennis-Match gegenüber. Beide Spieler sind in etwa gleich gut; das Match gewinnt, wer als Erster drei Sätze für sich entscheidet.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden volle fünf Sätze gespielt?
Ein Jahr später ist Nadal verletzungsbedingt etwas schwächer, und es stellt sich heraus, dass es nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 8/27 zu einem Fünf-Satz- Match kommt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Nadal in diesem Fall einen einzelnen Satz?

[giffi marauder]

Spoiler

Wusst ich doch, dass ich da die Theorie dahinter nicht gesehen habe. Da muss giffi nochmal ran!

P.S. Also bei "von 10 bis 1000" kommt 24.182 raus und bei "bis 10.000" kommt dann 1.166.166. Für die Kontrolle

Wenn du dir deine eigene Liste noch mal ansiehtst, kannst du die Regel schön sehen:

Spoiler

saveplace x = f(n)=2l+1
mit 2^a = größte 2er Potzenz <=n
und l=(n-2^a)

1 1 (l=0)
2 1 (l=0)
3 3 (l=1)
4 1 (l=0)
5 3 (l=1)
6 5 (l=2)
7 7 (l=3)
8 1 (l=0)
9 3 (l=1)
10 5 (l=2)
...
15 15 (l=7)
16 1 (l=0)
17 3 (l=1)
18 5 (l=2)
...
31 31 (l=15)
32 1 (l=0)
...
63 63 (l=31)
64 1